dX X1 2
dM MK LP P
X X1 2 dLX nX1 2 dLn X X1 2 1
M MK LP P dLM n MK LP P dL n12X X21
6
CES生产函数
允许规模报酬变化的不变替代弹性函数：
Y0 1X 1 211X 2 2 32
式中
0为技术效率系数，0>0 1为分配系数，0<1≤1 2为替代系数，-1≤2 3为规模报酬系数，3>0
Y T fX d d T g T或 Y Y Y T d g T T g dT
对于函数eaT，其一阶导数为a•eaT ，参数a常被解 释为研究时期内的平均技术进步率。
思考：对技术进步的这种设定存在哪些问题 ？
13
随机前沿生产函数
早期的研究仅测算不同生产单位技术效率的高低，在以后 的发展中，人们开始关注为什么不同生产单位之间存在技 术效率差别，即试图解释造成技术效率差别的原因。
3
生产函数
根据数学函数形式：
投入产出函数 线性函数/多项式函数 C-D函数/超对数函数
根据要素替代弹性
CES VES
根据误差项的性质
平均生产函数 边沿生产函数
4
生产函数
主要形式(以包括两个解释变量的情况为例)
投入产出：Y
Min
X1
1
,
X2
2
线性：
Y 01 X 12X 2
与C-D生产函数的关系
当从统计上接受H0：3=4=5=0 时，C-D函数成立。
应用价值
作为任意未知形式的生产函数的二阶近似 更灵活的产出对投入的弹性系数 更灵活的投入替代弹性
问题：自由度损失/多重共线
11
技术进步的影响和测量
应用模型对技术进步有两种处理方式：
外生的技术进步 内生的技术进步
C-D生产函数在应用研究中使用最为广泛 一般形式的C-D函数为
L n Y 0 1 L n X 1 2 L n X 2
利用该生产函数可以得出：
第i种投入的边际产出 MPi iY Xi
第i种投入产出对投入的弹性系数 ei M P i Xi Yi
不变规模报酬对应于 12 1
投入替代弹性
敏感； 后者利用计量经济学方法得到参数估计，可以进行有
关的假说检验。
以下仅介绍随机前沿函数。
生产函数/成本函数/利润函数
17
前沿生产(成本)函数估计
随机前沿生产函数可以表示为：
Yit = xitb + (Vit - Uit)
式中：
i=1,...,N; t=1,...,T,
Yit为生产单位i在第t年的产量（或其对数） xit为与之相对应的k种投入数量（或其对数） b为随机前沿生产函数的未知参数（1k向量）
最初采用的测算方法
利用适当的方法估计随机前沿生产函数； 以计算出的效率指标为因变量，与所选择的解释变量做回归； 根据回归结果识别影响因素。
从统计技术角度说，利用这种两阶段估计技术得到的参数 是有偏的和低效的。
14
技术效率与前沿生产函数
(Frontier production function)
高级计量经济学 第十一章 生产行为和供给模型
本章内容
生产函数 技术进步与技术效率 生产者的优化行为检验 产品供给函数和投入需求函数 案例分析
2
生产函数
基本形式：Y=f(X|Z) 投入产出关系的性质
一阶导数 二阶导数 规模报酬 要素替代弹性
选择生产函数的数学形式在很大程度上取 决于对上述方面的考虑。
ESdLnX1 X2 1 dLnMRS 12
8
CES生产函数
用二阶泰勒级数在2＝0处展开有：
LnYL n013Ln1 X113Ln2X 123121Ln1 XLn2X 2
该式的前三项对应于CD生产函数
2＝0时，最后一项的系数为零，因而可以通过检验该
系数是否显著的不等于0来验证是否应接受CD函数。
在前一情况下，技术进步由某个外生变量来代表， 例如：
时间趋势 科技投入 …
在后一情况下，技术进步取决于系统内部机制， 因而需要利用联立方程组模型来表示。
12
技术进步的影响和测量
我国的很多研究中，常常用时间趋势代表技术进 步，其一般形式为：
Y=f(X)•g(T)
上述函数对时间趋势变量T求导得到：
7
CES生产函数
边际产出
M P 1 X Y 130 23 1X 1 1 2Y 1 23
要素的边际替代率 M P 2 X Y 230 2 31 M R 1SX 2 1 Y Y 2 Y X X 1 1 2 2 13 11•X X1 212
要素的替代弹性
多项式： Y 0 1 X 1 2 X 2 3 X 1 2 4 X 2 2 5 X 1 X 2
CD：
L n Y 0 1 L n X 1 2 L n X 2
超对数： Ln Y01Ln 1X 2Ln 2X 3Ln 12X 4Ln 22X 5Ln 1LXn 2 X
5
C-D生产函数
• 上述产出可以由投入组合aXA实 现，因而a反映了该企业的技术 效率；
Q • 上述产出还可以由与投入组合
Hale Waihona Puke bXA相等的成本实现，因而b反
W
映了该企业的经济效率，b/a被
X1 称作配置效率。
16
前沿函数概念
从估计方法角度看，前沿函数可以分为两类：
确定性前沿函数(Deterministic frontier function) 随机前沿函数(Stochastic frontier function) 前者常常利用数学规划方式得到参数估计，对异常值
Y
f(x)
Y2
c
d
Y1
b a
b点的技术效率为： TE2b=Y1/Y2
X1
X2
X3
X
15
经济效率、技术效率与配置效率
X2
Q
XA
aXA W
bXA
X*
O
• QQ为与某特定产出水平对应的 等产量线；
• WW为实现上述产量的最低等成 本线；
• 最佳产出为X*；
• 考虑某企业生产上述数量产品使 用的投入组合为XA的情况；
3＝1时为不变规模报酬。
9
不同替代弹性的等产量线
替代弹性大 L
替代弹性小 L
K
K
10
VES超对数生产函数(Translog)
形式
L n Y 0 1 L n X 1 2 L n X 2 2 3 L n X 1 2 2 4 L n X 2 2 5 L n X 1 L n X 2