Miy
zE ydA 0
A
E yzdA 0
A
自然满足
I yz
yzdA 0
A
将应力表达式代入(3)式，得
Miz
yE ydA M
A
E y2dA M
A
E
Iz
M
1M
E Iz
EIz ——梁的抗弯刚度 9
第六章 梁的弯曲应力
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将
1 M
EIz
代入
σE y
得到纯弯曲时横截面上正应力的计算公式:
14
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例题: 悬臂梁荷载及几何尺寸如图所示，试求：
(1) 1-1截面上A、B、C、D四点的正应力。
(2) 求梁上最大正应力。
3m 4m
20kNm 15kN 1
A
B CD
1 1m
90 90
A
150
B
30
50 C
x
150
D
y
15
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解：(1) 画出梁的弯矩图
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4
第六章 梁的弯曲应力
2.提出假设
（a）平面假设：变形前为平面的横截面 变形后仍保持为平面且垂直于变形 后的梁轴线；
（b）单向受力假设：纵向纤维不相互挤 压，只受单向拉压.
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推论：必有一层变形前后长度不变的纤维—中性层
中性层与横截面的交线，称为中性轴。
中性轴⊥横截面对称轴
5
第六章 梁的弯曲应力
3. 变形几何学方面
l bb bb
l
bb
bb oo
oo
yd d
y d
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F
F
mn
o
o
yb
b
x
mn
y
x
dx
d
m
M
y o' b' m
n
M
o'
b'
n
6
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§6.3 纯弯曲梁截面上的正应力
1、物理关系
胡克定律 σ Eε M
13
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弯曲问题中，正应力通常是强度计算的主要因素，切应力
是次要因素。
横跨度 l 与横截面高度 h 之比 l / h > 5 （细长梁）时，纯弯曲正应力公式 对于横力弯曲近似成立。
横力弯曲最大正应力
max
M max ymax IZ
x
dx
1、两点假设： 剪应力与剪力平行；
FS(x)+d FS (x) 矩中性轴等距离处，剪应力 相等。
20kNm
3m
15kN 1
A
B CD
4m
1m
1
M (kNm)
25
+ 20
M11 20kN m
16
第六章 梁的弯曲应力
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(2) 计算A、B、C、D四点的正应力。
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M11 20kN m
90 90
A
Iz
bh3 12
180 300 3 12
10 12
150 B
405106 m4
30
σ My Iz
M为梁横截面上的弯矩； y为梁横截面上任意一点到中性轴的距离； Iz为梁横截面对中性轴的惯性矩.
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10
第六章 梁的弯曲应力
3、最大正应力：
正应力分布
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中性层 M
ymax
M ymax
max
M Wz
Wz
I z ymax
抗弯截面模量。
11
第六章 梁的弯曲应力
4.93MPa
D
M 11 Iz
yD
7.41MPa
A 7.41MPa 18
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(3) 求最大正应力 对任一截面而言，最大正应力发生
在最上缘或最下缘，对全梁而言，最大 正应力发生在最大弯矩所在面的最上或 最下缘。这个面通常称为“ 危险截 面”。
19
第六章 梁的弯曲应力
第六章 梁的弯曲应力
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第六章 梁的弯曲应力
§6.1 梁的弯曲形式 §6.2 弯曲理论的基本假设 §6.3 纯弯曲梁截面上的正应力 §6.4 横力弯曲梁截面上的应力 §6.5 梁的强度条件 §6.6 提高弯曲强度的措施
2
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§6.1 梁的弯曲形式
)
/(h0
/ 2)
12
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§6.4 横力弯曲梁截面上的应力
6.4.1梁横力弯曲时横截面上的正应力
纯弯曲正应力公式成立的前提：平面假设，纵向纤
维间无挤压。
A
Fs
A
对于横力弯曲，纯弯曲时关于变形的两个假设，均不 成立。剪应力（分布不均匀）的存在对正应力分布规律有影 响。
所以
σE y
z
O
x
应力分布规律：
y
直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性 轴的距离成正比.
7
第六章 梁的弯曲应力
2、静力关系
横截面上内力系为垂直于横截
面的空间平行力系，这一力系简化 M
得到三个内力分量. 内力与外力相平衡可得
FN
AdFN
σdA 0
A
（1）
M y
AdM y
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20 +
25 M (kNm)
max
M max Iz
ymax
25 405
10 3 10 6
150
10 3
9.26
10 6
Pa
9.26MPa
最大拉应力在最上缘，最大压应力在最下缘。
20
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6.4.2 梁横力弯曲时横截面上的切应力
y M(x)
FS
一、 矩形截面梁
纯 弯 曲——横截面上只有M、没有FQ的弯曲
剪力弯曲——横截面上既有M、又有FQ的弯曲
F
F
A C
a
F
+
B
D
a
+
F
3
Fa
第六章 梁的弯曲应力
§6.2 弯曲理论的基本假设
1.变形现象
纵向线 各纵向线段弯成弧线， 且靠近顶端的纵向线缩短， 靠近底端的纵向线段伸长.
横向线 各横向线仍保持为直线， 相对转过了一个角度， 仍与变形后的纵向弧线垂直.
zσdA 0 （2）
A
M z
AdMz
yσdA M（3）
A
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z
O
x
y
dFN σdA
dM y zdA
dMz y dA
8
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将应力表达式代入（1）式，得
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y
FN
E dA 0
A
E
A
ydA
0
Sz
ydA 0
A
中性轴通过横截面形心
将应力表达式代入（2）式，得
50 C
x
150
A
M11 Iz
yA
20103 405106
150103
D
y
7.41106 7.41MPa
17
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90 90
A
B 0（在中性轴上）
150
B
C
M 11 Iz
yc
30
50 C
x
150
D
y
20 103 100 10 3 405 10 6
4.93 106
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常见截面的 IZ 和 WZ
IZ y2dA
A
WZ
IZ y max
空心矩形截面
圆截面 空心圆截面
矩形截面
IZ
d 4
64
WZ
d 3
32
IZ
D4
64
(1
4)
WZ
D3
32
(1
4)
bh3 IZ 12
WZ
bh2 6
IZ
b0h03 12
bh3 12
WZ
( b0 h03 12
bh3 12