2021届四川省成都市第七中学高三入学考试数学（理）试题一、单选题 1．已知集合(){},21A x y y x ==-，(){}2,B x y y x ==，则AB =（ ）A ．∅B ．{}1C ．(){}1,1D ．(){}1,1-【答案】C【解析】由题意可知A B 是直线21y x =-与抛物线2y x 的交点，所以两关系式联立成方程组求解即可 【详解】解：由221y x y x=-⎧⎨=⎩，得2210x x -+=，解得1x =，1y =， 所以A B =(){}1,1，故选：C 【点睛】此题考查集合的交集运算，考查两曲线的交点问题，属于基础题2．复数z =的模是（ ）A ．1BC ．2D【答案】B【解析】先算1的模，再利用复数的除法计算z . 【详解】因为()()()2121111i z i i i i -===-++-，所以z =B .【点睛】本题考查复数的除法及其复数的模的计算，属于基础题. 3．已知命题():,0,23xxp x ∃∈-∞<；命题:0,,sin 2q x x x π⎛⎫∀∈< ⎪⎝⎭，则下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．()p q ∨⌝C ．()p q ⌝∧D ．()p q ∧⌝【答案】C【解析】试题分析：因为当0x <时，213x⎛⎫> ⎪⎝⎭即23x x >，所以命题p 为假，从而p ⌝为真.因为当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，即sin x x >，所以命题q 为真，所以()p q ⌝∧为真，故选C.【考点】命题的真假.4．抛物线2:4W y x =的焦点为F ，点A 在抛物线上，且点A 到直线3x =-的距离是线段AF 长度的2倍，则线段AF 的长度为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】利用抛物线定义可得点A 到直线3x =-的距离是点A 到准线x ＝－1的距离的2倍，从而可得结果. 【详解】解：依题意，得F （1,0），抛物线的准线为x ＝－1， 线段AF 的长等于点A 到准线x ＝－1的距离，因为点A 到直线3x =-的距离是线段AF 长度的2倍，所以，点A 到直线3x =-的距离是点A 到准线x ＝－1的距离的2倍 设A 点横坐标为0x ，是0x ＋3＝2（0x ＋1），解得：0x ＝1， 所以，｜AF ｜＝1－（－1）＝2 故选B 【点睛】本题考查了抛物线定义，考查了数形结合的思想，属于基础题.5．一组数据的平均数是4.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是( ) A ．55.2,3.6 B ．55.2,56.4 C ．64.8,63.6 D ．64.8,3.6【答案】D【解析】首先写出原来数据的平均数的公式和方差的公式，把数据都加上60以后，再表示出新数据的平均数和方差的公式，两部分进行比较，即可得到结果.【详解】设这组数据分别为12,,,n x x x ，由其平均数为4.8，方差是3.6，则有1121() 4.8n x x x x n=+++=，方差22221121[()()()] 3.6n S x x x x x x n=-+-++-=，若将这组数据中每一个数据都加上60，则数据为1260,60,,60n x x x +++，则其平均数为1121[(60)(60)(60)] 4.86064.8n x x x x n=++++++=+=，方差为22222121[(6064.8)(6064.8)(6064.8)] 3.6n S x x x n=+-++-+++-=，故选D. 【点睛】本题主要考查了数据的平均数和方差公式的计算与应用，其中熟记数据的平均数和方差的公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.6．设1323a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2313b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1313c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b c a >>【答案】B【解析】先利用13y x =的单调性比较a ，c 的大小，再利用1()3xy =比较b ，c 的大小可得. 【详解】先比较a ，c 的大小关系，由13y x =在R 上是增函数可得：a c >， 再比较b ，c 的大小关系，由1()3xy =在R 上是减函数可得：b c <， 综上可得：a c b >>， 故选：B. 【点睛】比较数的大小时，我们要找到它们的共性，合理利用对应函数的单调性是解决此类问题的关键，属于简单题目.7．一空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积可能为（ ）A ．12π+B ．22π+C ．1π+D ．2π+【答案】B【解析】由三视图理解该几何体：一个长、宽、高分别为2、1、1的长方体和两个底面半径为1，高为1的四分之一圆柱组成，即可求体积； 【详解】由三视图可知：该几何体可看作由一个长、宽、高分别为2、1、1的长方体和两个底面半径为1，高为1的四分之一圆柱组成， ∴12111222V ππ=⨯⨯+⨯⨯=+. 故选：B 【点睛】本题考查了利用三视图求几何体体积，注意几何体的组合分别求体积后加总，属于简单题；8．若,αβ为锐角，且满足4cos 5α=，5cos()13αβ+=，则sin β的值为（ ） A ．1665-B ．3365C ．5665D ．6365 【答案】B【解析】根据,αβ为锐角，且4cos 5α=，5cos()13αβ+=，利用平方关系求得sin ,sin()ααβ+，再由sin sin[()]βαβα=+-，利用两角差的正弦公式求解.【详解】因为,αβ为锐角，且4cos 5α=，5cos()13αβ+=， 所以312sin ,sin()513ααβ=+=，所以故sin sin[()]βαβα=+-，124533313513565=⨯-⨯=，故选：B. 【点睛】本题主要考查两角和与差的三角函数的应用以及平方关系的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.9．已知数列{}n a 满足132n n a -=⨯，*n ∈N ，现将该数列按下图规律排成蛇形数阵（第i 行有i 个数，*i ∈N ），从左至右第i 行第j 个数记为(),i j a （i 、*j ∈N 且j i ≤），则()21,20a =（ ） 123654789101514131211a a a a a a a a a a a a a a aA ．23132⨯B ．21232⨯C ．23032⨯D ．21132⨯【答案】D【解析】推导出当i 为偶数时，()(),12i i i i a a +=，再利用奇数行中，从右到左，项的序数依次增大可求得()21,20a 的值. 【详解】由数阵可知，第二行右边最后一项的序数为312=+，第四行右边最后一项的序数为101234=+++，由上可知，当i 为偶数时，第()i i N*∈行最后一项的序数为()11232i i i +++++=， 所以，()202121020,202a a a ⨯==，结合数阵中的规律可知，在奇数行中，从右到左，项的序数依次增大，所以()21121221,2032a a ==⨯.故选：D. 【点睛】本题考查归纳推理，推导出数阵中偶数行最后一项的序数是解题的关键，考查推理能力，属于中等题.10．已知函数()sin()f x x ωϕ=+，其中0>ω，0ϕπ<<，()4f x f π⎛⎫⎪⎝⎭恒成立，且()f x 在区间0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上恰有两个零点，则ω的取值范围是（ ） A ．(6,10) B ．(6,8)C ．(8,10)D ．(6,12)【答案】A【解析】根据题干得到函数在4π处取得最大值，当x ∈0,4π⎛⎫⎪⎝⎭时，,4x πωϕϕϕω⎛⎫+∈+⎪⎝⎭，()sin ,?f t t t x ωϕ==+有两个零点,故这两个零点应该是,2ππ，得到()50,24πϕπωπ=-∈进而求解.【详解】函数()()sin f x x ωϕ=+，其中0ω>，0ϕπ<<，()4f x f π⎛⎫⎪⎝⎭恒成立,说明函数在4π处取得最大值，又因为()f x 在区间0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上恰有两个零点，当x ∈0,4π⎛⎫⎪⎝⎭时，,4x πωϕϕϕω⎛⎫+∈+⎪⎝⎭在这个范围内()sin ,?f t t t x ωϕ==+有两个零点,故这两个零点应该是,2ππ 结合条件：当4t πϕω=+时取得最大值，故根据三角函数的图像的性质得到542πϕωπ+=，()50,24πϕπωπ=-∈，解得()6,10ω∈.故答案为A. 【点睛】这个题目考查了三角函数的性质的应用，整体思想的应用，整体思想是将ω x +φ看做一个整体，地位等同于sinx 中的x ．11．正方形1111ABCD A B C D -中，若12CM MC =，P 在底面ABCD 内运动，且满足1DP CP D P MP=，则点P 的轨迹为（ ）A ．圆弧B ．线段C ．椭圆的一部分D ．抛物线的一部分 【答案】A【解析】根据题意,以D 为原点,DA 所在直线为x 轴,DC 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系,设正方体棱长为1,(),P x y .由1DP CPD P MP=及两点间距离公式,表示出P 的轨迹方程.即可判断轨迹的形状. 【详解】由题意以D 为原点,DA 所在直线为x 轴,DC 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系,设正方体棱长为1,(),P x y 则()0,1C , 由12CM MC =,可得23MC =因为P 在底面ABCD 内运动,且满足1DP CPD P MP=.由勾股定理及两点间距离公式代入可()()2222222214119x y x y x y x y +-+=+++-+两边同时平方,并展开可得222222222113129x y x y y x y x y y ++-+=+++-+交叉相乘,化简可得22189055x y y +-+= 化为标准方程可得 22936525x y ⎛⎫+-=⎪⎝⎭而因为P 在底面ABCD 内运动,所以其轨迹为一段圆弧 故选:A 【点睛】本题考查了空间几何体中的轨迹方程问题,几何关系式的应用,计算量较为复杂,属于中档题.12．已知函数()212ln xf x x -=的定义域为10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦，若对任意的121,0,x x e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，()()()1212221212f x f x m x x x x x x-+>-恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）A ．(],3-∞B ．(],4-∞C ．(],5-∞D ．(],6-∞【答案】B【解析】由题意可知，()f x 在10,e⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，将不等式()()()1212221212f x f x m x x x x x x -+>-两边同时乘以12x x -，变形为()()12221211f x f x m x x ->-，不妨设12x x >，则()()122212f x f x x x m m -<-，构造新函数()()21,0,mg x f x x x e ⎛⎫⎛⎤=-∈ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭，根据函数单调性定义可知，若使得对任意的121,0,x x e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，()()()1212221212f x f x m x x x x x x -+>-恒成立，则需()10,0,g x x e ⎛⎫⎛⎤'≤∈ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭恒成立，即min22ln m x，求解即可.【详解】()212ln x f x x -=∴()()()()()()2223212ln 12ln 4ln 1x x x x x f x xx ''----'== 函数()f x 的定义域为10,e⎛⎤ ⎥⎝⎦∴()0f x '<，即函数()f x 在10,e⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减.121,0,x x e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦1222120x x x x +∴> ∴()()()1212221212f x f x m x x x x x x -+>-变形为()()()()1212122212x x f x f x mx x x x +->-即()()12221211f x f x mx x ->- 不妨设12x x >，则()()12f x f x <，221211x x < 即()()122212f x f x x x m m -<- 令2212ln 1()(),0,m m x g x f x x x x e ⎛⎫--⎛⎤=-=∈ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭ 则()()()()()2223212ln 1ln 424ln m x x x m x m xg x x x ''------++'==若使得对任意的121,0,x x e⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，()()()1212221212f x f x m x x x x x x -+>-恒成立.则需()10,0,g x x e⎛⎫⎛⎤'≤∈ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭恒成立.则1424ln 0,0,m x x e ⎛⎫⎛⎤-++≤∈ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭恒成立.即122ln ,0,m x x e⎛⎫⎛⎤≤-∈ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭恒成立.所以()min 122ln 22ln 4m x e≤-=-=. 即实数m 的取值范围是(],4-∞. 故选：B 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，等价变形，构造新函数，是解决本题的关键，本题属于难题.二、填空题13．在空间直角坐标系O xyz -中，记点()1,2,3A 在xOz 平面内的正投影为点B ，则OB =________．【解析】根据正投影定义确定点B 坐标，再根据空间两点距离公式求结果. 【详解】因为点()1,2,3A 在xOz 平面内的正投影为()1,0,3，即B ()1,0,3，所以OB =【点睛】本题考查空间直角坐标正投影以及空间两点距离公式，考查基本分析求解能力，属基础题.14．已知x ，y 满足22x y x x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =-+的最大值为____________.【答案】1-【解析】作可行域，作目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解． 【详解】作可行域，如图ABC 内部（含边界），作直线:20l x y -+=，由2y x x y =⎧⎨+=⎩得11x y =⎧⎨=⎩，即(1,1)C ，平移直线l ，向上平移时2z x y =-+增大，∴当直线l 过点(1,1)C 时，2z x y =-+取得最大值1-． 故答案为：1-．【点睛】本题考查简单的线性规划，作出可行域是解题关键．15．在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且cos cos 2B bC a c=-+，若13b =4a c +=，则a 的值为______.【答案】1或3【解析】利用正弦定理把边角关系式转化为角的三角函数关系式，再利用两角和的正弦公式化简该式可得23B π=，利用余弦定理可求a 的值． 【详解】cos cos 2B bC a c=-+， 即有2cos cos cos -=+a B b C c B ，即()2sin cos sin cos cos sin sin sin -=+=+=A B B C C B B C A ， 即有1cos 2B =-，由于B 为三角形的内角，则23B π=， 又2222cos b a c ac B =+-，即有2213a c ac =++， 又4a c +=，解得，1a =，3c =或3a =，1c =. 故答案为：1或3． 【点睛】在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式.另外，注意分析三边三角中哪些是已知的，哪些是未知的，从而确定用什么定理解决问题．16．已知椭圆22221x y a b Γ+=：与双曲线22221x y m nΩ-=：共焦点，F 1、F 2分别为左、右焦点，曲线Γ与Ω在第一象限交点为P ，且离心率之积为1.若1212sin 2sin F PF PF F ∠=∠，则该双曲线的离心率为____________.【解析】根据正弦定理，可得2PF c =，根据椭圆与双曲线定义可求得a m c =+，结合椭圆与双曲线的离心率乘积为1，可得220c m mc --=，进而求得双曲线的离心率c e m=． 【详解】 设焦距为2c在三角形PF 1F 2中，根据正弦定理可得2121212sin sin PF F F F PF PF F =∠∠因为1212sin 2sin F PF PF F ∠=∠，代入可得1222F F PF =，所以2PF c =在椭圆中，1212PF PF PF c a +=+= 在双曲线中，1212PF PF PF c m -=-= 所以112,2PF a c PF m c =-=+ 即22a c m c -=+ 所以a m c =+因为椭圆与双曲线的离心率乘积为1即1c c a m ⨯= ，即2c a m= 所以2c m c m+=化简得220c m mc --=，等号两边同时除以2m得210c c m m⎛⎫--= ⎪⎝⎭，因为c m 即为双曲线离心率所以若双曲线离心率为e ，则上式可化为210e e --=由一元二次方程求根公式可求得12e ±= 因为双曲线中1e >所以12e +=【点睛】本题考查了椭圆与双曲线性质的综合应用，正弦定理的应用，双曲线离心率的表示方法，计算量复杂，属于难题．三、解答题17．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且111,21n n a a S +==+，数列{}n b 满足11a b =，点()1,n n P b b +在20x y -+=上，*.n N ∈（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设nn nb c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 【答案】（1）13n n a -=，1(1)221n b n n =+-⋅=-（2）2112132323n n n n T ---=--⋅⋅1133n n -+=-.【解析】（1）利用n a 与n S 的递推关系可以n a 的通项公式；P 点代入直线方程得12n n b b +-=，可知数列{}n b 是等差数列，用公式求解即可.(2)用错位相减法求数列的和. 【详解】()1由121n n a S +=+可得()1212n n a S n -=+≥，两式相减得12n n n a a a +-=，()132n n a a n +=≥．又21213a S =+=，所以213a a =．故{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列．所以13n n a -=．由点()1,n n P b b +在直线20x y -+=上，所以12n n b b +-=．则数列{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列．则()11221n b n n =+-⋅=-()2因为1213n n n n b n c a --==，所以0121135213333n n n T --=+++⋯+． 则123111352321333333n n n n n T ---=+++⋯++， 两式相减得：21222221133333n n n n T --=+++⋯+-． 所以21112113323233n n n n n n T ----+=--=-⋅⋅． 【点睛】用递推关系1=(2)n n n a S S n --≥求通项公式时注意n 的取值范围，所求结果要注意检验1n =的情况；由一个等差数列和一个等比数列的积组成的数列求和，常用错位相减法求解.18．某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量()g y 与尺寸(mm)x 之间近似满足关系式b y c x =⋅（b ，c 为大于0的常数）.按照某指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间(0.302,0.388)内时为优等品.现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：（1）现从抽取的6件合格产品中再任选2件，求选中的2件均为优等品的概率； （2）根据测得数据作了初步处理，得相关统计量的值如下表：根据所给统计量，求y 关于x 的回归方程. 附：对于样本(),(1,2,,6)i i v u i =，其回归直线u b v a =⋅+的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：()()()1122211ˆnniii i i i nniii i v v u u v u nvub v v vnv ====---==--∑∑∑∑，ˆˆau bv =-， 2.7183e ≈. 【答案】（1）15；（2）0.5ˆyex =. 【解析】（1）根据优等品的质量与尺寸的比(0.302,0.388)yx∈，得到随机抽取的6件合格产品中，有3件为优等品，有3件为优等品，有3件为非优等品，列出所有从6件中取2件的所有基本事件和2件均为优等品的基本事件，再用古典概型的概率公式求得答案；（2）对b y c x =⋅两边取自然对数得ln ln ln y c b x =+，令ln ,ln i i i i v x u y ==，则u b v a =⋅+，根据表中的数据，先求得u 关于v 的回归方程，从而求得y 关于x 的回归方程. 【详解】（1）由已知，优等品的质量与尺寸的比(0.302,0.388)yx∈， 则随机抽取的6件合格产品中，有3件为优等品，记为,,a b c ， 有3件为非优等品，记为,,d e f ，现从抽取的6件合格产品中再任选2件，基本事件为：(,),(,),(,),(,)(,),(,),(,),(,),(,),(,)a b a c a d a e a f b c b d b e b f c d(,),(,),(,),(,),(,)c e c f d e d f e f ，选中的两件均为优等品的事件为(,),(,),(,)a b a c b c ， 所以所求概率为31155=. （2）对b y c x =⋅两边取自然对数得ln ln ln y c b x =+ 令ln ,ln i i i i v x u y ==，则u b v a =⋅+，且ln a c =由所给统计量及最小二乘估计公式有：6162221675.324.618.360.271101.424.660.5426ˆi i i i i v u uvbvv ==--⨯÷====-÷-∑∑ 118.324.62ˆˆ16au bv ⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭=-==， 由ˆˆln ac =得ˆc e =， 所以y 关于x 的回归方程为0.5ˆyex =. 【点睛】本题考查了古典概型的概率公式，换元法的应用，用最小二乘法公式求回归方程，考查了分析理解能力，转化与化归思想，计算能力，属于中档题.19．如图，在以P 为顶点的圆锥中，母线长为2，底面圆的直径AB 长为2，O 为圆心.C 是圆O 所在平面上一点，且AC 与圆O 相切.连接BC 交圆于点D ，连接PD ，PC ，E 是PC 的中点，连接OE ，ED .（1）求证：平面PBC ⊥平面PAC ； （2）若二面角B PO D --的大小为23π，求面PAC 与面DOE 所成锐．二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（226 【解析】（1）由AC AB ⊥，得AC ⊥面PAB AC PB ⇒⊥，再得PA PB ⊥，从而可得线面垂直，于是有面面垂直；（2）二面角B PO D --的平面角为BOD ∠，大小为23π，这样以,OB OP 为.y z 轴，在底面上作x 轴建立如图的空间直角坐标系，用向量法求二面角． 【详解】（1）证明：AB 是底面圆的直径，AC 与圆切于点A ，所以AC AB ⊥，又PO ⊥底面，则PO AC ⊥，PO AB O ⋂=， 所以：AC ⊥面PAB AC PB ⇒⊥， 又因为，在三角形P AB 中，22PA PB AB PA PB ==⇒⊥ PA AC A =，所以PB ⊥面P AC ，PB ⊂面PBC所以：平面PBC ⊥平面P AC ； （2）因为OB PO ⊥，OD PO ⊥，BOD ∴∠为二面角B PO D --的平面角，23BOD π∴∠=，如图建立坐标系，易知1OB =， 则()0,1,0A -，()0,1,0B ，31,,022D ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 23,1,03C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()0,0,1P ，311,,322E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，由（1）知()0,1,1BP =-为平面P AC 的一个法向量， 设平面ODE 的法向量为(),,n x y z =，311311,,0322322OE x y z ⎛⎫=-⇒-+= ⎪ ⎪⎝⎭， 3131,,002222OD x y ⎛⎫=-⇒-= ⎪ ⎪⎝⎭， 解得：()3,3,1n =，26cos 13n BP n BPθ⋅==.【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查用向量法二面角．面面垂直，线面垂直，线线垂直，在立体几何证明垂直问题时常常相互转换，要灵活运用．20．已知抛物线24x y =，F 为其焦点，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，1F ，2F 为其左右焦点，离心率12e =，过F 作x 轴的平行线交椭圆于,P Q 两点，46||3PQ =.（1）求椭圆的标准方程；（2）过抛物线上一点A 作切线l 交椭圆于,B C 两点，设l 与x 轴的交点为D ，BC 的中点为E ，BC 的中垂线交x 轴为K ，KED ∆，FOD ∆的面积分别记为1S ，2S ，若121849S S =，且点A 在第一象限．求点A 的坐标． 【答案】(1) 22143x y +=. (2) ()2,1【解析】（1）由题设可知26P ⎫⎪⎝⎭，又12e =，把,a b 均用c 表示，并把点26P ⎫⎪⎝⎭代入标圆方程，求得1c =；（2）根据导数的几可意义求得直线BC 的方程，根据韦达定理及中点坐标公式求得点E 的坐标，求得中垂线方程，即可求得K 点坐标，根据三角形面积公式，即可求得点A 坐标. 【详解】（1）不妨设P 在第一象限，由题可知26P ⎫⎪⎝⎭，228113a b ∴+=，又12e =，22811123c c ∴+=， 可得1c =，椭圆的方程为22143x y +=.（2）设200,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭则切线l 的方程为20024x x y x =-代入椭圆方程得：()4223031204x x x x x +-+-=，设()()()112233,,,,,B x y C x y E x y ，则()3012320223x x x x x +==+，()22000332032443x x x y x x =-=-+， KE 的方程为()()230022000324323x x y x x x x ⎡⎤+=--⎢⎥++⎢⎥⎣⎦， 即()20200243x y x x x =-++， 令0y =得()32083K x x x =+， 在直线l 方程中令0y =得02D x x =， 222004124x x FD +⎛⎫=+=⎪⎝⎭()()()23000022003428383x x x x DK x x +=-=++，002,2FD BC x k k x =-=， 1FD BC k k ∴⋅=-，FD BC ⊥，DEK FOD ∴∆∆∽，()()22200122220941849163x x S DK S FD x +∴===+.化简得()()2200177240x x+-=，02x ∴=（02x =-舍去）A ∴的坐标为()2,1.()4223031204x x x x x +-+-=，()()462420000431234814404x x x x x ⎛⎫∆=-+-=---≥ ⎪⎝⎭，因为2008x ≤≤+【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理、中点坐标公式、三角形的面积公式，考查逻辑推理和运算求解能力.21．已知函数()()1xf x x e =-，()lng x a x =+，其中e 是自然对数的底数.（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线与曲线()y g x =也相切.求实数a 的值； （2）设()()()h x bf x g x a =-+，求证：当10b e<<时，()h x 恰好有2个零点. 【答案】（1）2a e =-；（2）证明见解析.【解析】（1）求出函数的导数，计算f （1），f '（1），求出切线方程，利用曲线()y g x =的切点1,1a e ⎛⎫- ⎪⎝⎭在切线上列方程求解即可；（2）求出()h x 的导数，通过讨论b 的范围，求出()h x 的最小值，判断函数的零点个数，从而确定b 的范围即可． 【详解】（1）由()()1xf x x e =-得()xf x xe '=，所以切线的斜率()1k f e '==.因为切点坐标为()1,0，所以切线的方程为()1y e x =-. 设曲线()y g x =的切点坐标为()11,x y . 由()ln g x a x =+得()1g x x'=，所以()111g x e x '==，得11x e =. 所以切点坐标为1,1a e ⎛⎫- ⎪⎝⎭.因为对1,1a e⎛⎫- ⎪⎝⎭也在直线()1y e x =-上.所以2a e =-.（2）由()()1ln xh x b x e x =--，得()211x xbx e h x bxe x x-'=-=. 令()21xm x bx e =-，0x >，当10b e<<时，()()220xm x bx bx e '=+>， 故()m x 在()0,∞+上单调递增.又因为()110m be =-<，且221111ln ln 1ln 10m b b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-=-> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 所以()0m x =在()0,∞+上有唯一解，从而()0h x '=在()0,∞+上有唯一解. 不妨设为0x ，则011lnx b<<. 当()00,x x ∈时，()()()00m x m x h x x x '=<=，所以()h x 在()00,x 上单调递减； 当()0,x x ∈+∞时，()()()00m x m x h x x x'=>=，所以()h x 在()0,x +∞上单调递增. 故0x 是()h x 的唯一极值点.令()ln 1t x x x =-+，则当1x >时，()110t x x'=-<，所以()t x 在()1,+∞上单调递减，从而当1x >时，()()10t x t <=，即ln 1x x <-，所以1ln 111ln ln 1ln ln b h b e b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111ln 1ln ln ln 0t b b b ⎛⎫⎛⎫=--=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为()()010h x h <=，所以()h x 在()0,x +∞上有唯一零点. 又因为()h x 在()00,x 上有唯一零点，为1， 所以()h x 在()0,∞+上恰好有2个零点. 【点睛】本题考查了切线方程，函数的单调性，极值，零点问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22114x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩（t 为参数）.（1）求曲线C 的普通方程；（2）以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为6πθ=，（R ρ∈），直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求线段AB 的长度AB . 【答案】（1）26y x =-（2x ≤-或2x ≥）；（2）2373. 【解析】（1）根据参数方程，消去参数，得到曲线普通方程，再由题意求出定义域即可；（2）先将（1）中的曲线方程化为极坐标方程，得到226sin cos ρθρθ=-，（2cos ρθ≥），设,A B 的极坐标分别为12,,,66A B ππρρ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，将6πθ=代入曲线的极坐标方程，由根与系数关系，以及()21212124AB ρρρρρρ=-=+-，即可得出结果. 【详解】（1）曲线C 的参数方程为22114x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩①②（t 为参数）.将①式两边平方，得22212x t t =++③， ③②，得26x y -=，即26y x =-，因为1112?2t t t t t t+=+≥=，当且仅当1t t =，即1t =±时取“=”，所以2x ≥，即2x -≤或2x ≥， 所以曲线C 的普通方程为26y x =-（2x -≤或2x ≥）.（2）因为曲线C 的直角坐标系方程为26y x =-（2x -≤或2x ≥），所以把x cos y sin ρθρθ==，代入得：226sin cos ρθρθ=-，（2cos ρθ≥），则曲线C 的极坐标方程为226sin cos ρθρθ=-，（2cos ρθ≥）设,A B 的极坐标分别为12,,,66A B ππρρ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，将6πθ=代入曲线C 的极坐标方程 得232240ρρ--=，43ρ≥,因为∆=4+4×3×24=4×73>0,∴1211ρ?ρ33==，满足ρ≥， 所以|12|AB ρρ=-=【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，以及极坐标的方法求弦长的问题，属于常考题型.23．已知函数()1144f x x x =-++，M 为不等式()2f x ≤的解集． （1）求M ；（2）证明：当a ，b M ∈时，a b -． 【答案】（1）[]1,1M =-；（2）证明见解析.【解析】（1）根据绝对值定义化简函数，再解三个不等式组，最后求并集得结果； （2）利用分析法证明不等式 【详解】（1）()12,,411111,,4424412,4x x f x x x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=-++=-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩()12422x f x x ⎧≤-⎪≤∴⎨⎪-≤⎩或1144122x ⎧-<<⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩或1422x x ⎧≥⎪⎨⎪≤⎩114x ∴-≤≤-或1144x -<<或114x ≤≤所以不等式的解集为[]1,1M =-．（2）要证a b -，只需证a b ≥-，即证()241ab a b -≥-，只需证22442ab a ab b --+≥，即2242a ab b ++≥， 即证()24a b ≥+，只需证2a b ≥+ 因为a ，b M ∈，所以2a b +≤， 所以所证不等式成立．【点睛】本题考查含绝对值不等式解法、分析法证明不等式，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.。