一．判断题（易）1、n 阶行列式111212122212n nn n nna a a a a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅是由2n 个数构成的n 行n 列的数表（ ）．答案：×（较容易）2、62162100000000λλλ=λλλ．（ ）．答案：×（较容易）3、82182100000000k k k k k k=．（ ）．答案： √（较容易）4.若方阵A 的各行元素之和为零，则0A = ( ) 答案： √二．填空题（中等）1.设1234577733324523332246523=A ,313233++=A A A _________,3435+=A A ________答案：0，0（中等）2.1234243141321432=D , 求11213141+++A A A A =________答案：0（较容易）3. 5阶行列式D 的第2列元素依次为1,1,0,2,1它们对应的余子式分别为－1,3,－2,0,1，则=D ________. 答案：3（较容易）4.db acd b c a bd c a b d a c = ．答案：0（较容易）5.yx yx x y x y x y x x y x 323222 +++++=．答案：)(2y x xy +-（较容易）6. 6217213424435431014327427246-=答案：510294⨯-（中等）7．已知三阶行列式 987654321 =D ，它的元素ij a 的代数余子式为ij A （3,2,1,3,2,1==j i ），则与232221cA bA aA ++对应的三阶行列式为．答案： 987321 c b a（中等）8． 设行列式30402222,075322D =-- 则第四行各元素余子式之和的值为 .答案：–28（较容易）9．11110011110y y y x xx--= ．答案：22x y（中等）10． 行列式1111111111111111--+---+---x x x x = ．答案：4x（较容易）11． 当λ= 或μ= 时，齐次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+μ+=+μ+=++λ0200321321321x x x x x x x x x 有非零解．答案：1，0（较容易）2. 设222233331111a bcdD ab c da b c d =,则D=______________答案：()()()()()()d c d b d a c b c a b a ------（较容易）13. 已知四阶行列式D 的第二行元素分别为3, 1, -1, 2, 他们对应的余子式分别为1, 2, 2, -1, 则行列式=D ______ 答案：-1（较容易）14. 设A 是三阶方阵, 且3||=A , 则|)2(|1-A =_______答案：124（容易）15. A 为正交矩阵, 则=||A _____________答案：1或-1 （较容易）16. 已知四阶行列式D 的第3列元素分别为1,3,-2,2,他们对应的余子式分别为3,-2,1,1,则行列式D=________ 答案：5（容易）17. 行列式25613412a中元素a 的代数余子式 = _________ 答案：－４（较容易）18.四阶行列式D 的第二行的元素都是2，且第二行元素的代数余子式都是3，则D= _________ 答案：0（较容易）19.设A 是三阶行列式，且1A =，则2A A =______ 答案：512（较容易）20.设五阶矩阵A 的行列式2A =-，则其伴随矩阵*A 的行列式*A = ____ 答案：16（容易）21. 已知三阶行列式251102321-=D , 则第3行第2列元素的代数余子式32A =_____________答案：7（容易）22. 按自然数从小到大为标准顺序，排列4132的逆序数为 ．. 答案：1（容易）23. 当=i =k 时排列1274i 56k 9为偶排列． 答案：8，3（容易）24. 排列1 3 …（12-n ）2 4…（n 2）的逆序数为 _______ ． 答案：(1)2n n - （容易）25. 在五阶行列式中项5541322413a a a a a 前面应冠以 号（填正或负）． 答案：负（容易）26. 四阶行列式中含有因子2311a a 且带负号的项为_____ 答案：44322311a a a a -（容易）27. 设A 为n 阶矩阵,且T A A E =，则必有________A =答案：1 或－1（容易）28. 设A 为n 阶可逆矩阵，如果2A =,则*A =________答案：12n -（容易）29. 设A 为n 阶可逆矩阵，如果 2A =- ,则*A =________答案：1(2)n --（容易）30. 设A 为n 阶矩阵,且TA A E =，则必有T A =________答案：1 或－1（容易）31.设A 是n 阶方阵, *A 为其伴随矩阵, 若a A =||, 则||*A =__________答案：1n a-（容易）32.若2||44-=⨯A , 则=||*A _________ 答案：8（容易）33.设3211111410D -=-,则313233A A A ++=_____ 答案：0（较容易）34. 若0x a aax a a ax=，则a =_____答案：2a -或0（较容易）35.已知3021111xy z =，则33332222x y zx y z x y z ++=+++_____ 答案：2（较容易）36.设12234000000000a a D a a =121340000200003004a a D a a =，则1D =_____2D 答案:24（容易）37.120034000054045D --==-- ____答案:-18（容易）38.1200340000130051D ==- ____答案:32（较容易）39.1111001100111001D == ____答案:0（较容易）40.若齐次线性方程组03030x y z x y z x y z λ+-=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩有非零解,则λ=____答案:12λ=-（容易）41.行列式A 中元素ij a 的代数余子式ij A 与余子式ij M 之间的关系____ 答案:(1)i jij ij A M +=-（较容易）42.若n 阶方阵A 的秩为n-1,在A =____ 答案:0（较容易）43.设A,B 是两个三阶的方阵,且1A =-,2B =,那么133()TA B -=____答案:278-（容易）44.设三阶方阵A 的不同特征值为-1,2,4 ,则A =____ 答案:-8（较容易）45.若A,B 为n 阶方阵,且1,32A B ==-,则*12A B --=____ 答案:12(1)3n +- （容易）为三阶方阵,2A =,则12A =____ 答案:14（较容易）47.设行列式2345246812035643D =,则414243442468A A A A +++=____答案:0（较容易）48.若3022111xy z =-,则413111111x y z ---=____答案:2（较容易）49.8276412549162523451111= ____答案:12（较容易）50. 如果3333231232221131211==a a a a a a a a a D ,则11121321222331323332623a a a a a a a a a ---= ____ 答案:-18（较容易）51. 如果3333231232221131211==a a a a a a a a a D ,则111213212223313233222222222a a a a a a a a a = ____ 答案:24（容易）52.已知三阶方阵A 的三个特征值为1，－2，3 ，则A =____ 答案：－6（容易）53. 010000200000100n D n n ==- 答案：1(1)!n n +-（容易）54. 0x y Dxz y z=---＝答案：0（容易）55.已知125328401390216D ----=,23A = 答案：－9（容易）56. efcfbf de cdbd aeacab ---= 答案：4abcdef（较容易）57. 33221111110011001b b b b b b D ------== 答案：1（较容易）行列式2001021*********＝答案：9三．选择题（容易）1. 如果⎩⎨⎧=-+=+-0)1(202)1(2121x k x x x k 仅有零解,则( ).A. 1≠k ,B. 1-≠k 或3≠k ,C. 3=k ,D. 1-≠k 且3≠k .答案：D（较容易）2. 设,,D αβγ=, ,,αβγ分别表示行列式D 的三个列，则D =（ ）A. ,,γβαB. ,,αββγγα+++C. ,,αβγ---D. ,,ααβαβγ+++答案：D（较容易）3．四阶行列式D=112233440000000a b a b b a b a 的值等于（ ） A. 12341234a a a a b b b b - B. 12341234a a a a b b b b +C. 12123434 ()()a a b b a a b b --D. 23231414()()a a b b a a b b --答案：D（容易）4.如果1112132122233132332a a a a a a a a a =，则111213212223313233222222222a a a a a a a a a =（ ） A. 2 B. 4 C. 12 D. 16 答案:D（较容易）5.已知4阶方阵A ，其第三列元素分别为1，3，－2，2，它们的余子式的值分别为3,-2,1,1则行列式A =( )A. 5B. -5C. -3D. 3 答案:A（中等）6.设231111111()114118x f x x x -=-,则方程()0f x =的三个根分别为( )A. 1,-1,2B. 1,1,4C. 1,-1,8D. 2,4,8 答案: A（较容易）7.行列式112233110a ba ca ba c ab ac ++++++=( )A. 0B. b c -C. 21()()c b a a --D. 21()b a a - 答案:C（容易）8.行列式132520103D -=--中元素32a 的代数余子式为( ) A. 0 B. -10 C. 10 D. 3 答案:B（容易）9.行列式21312201D -=中元素32a 的代数余子式为( ) A. 4 B. -4 C. 0 D. 2 答案:A（较容易）10.若1112132122233132331a a a a a a a a a = 则313233212223111213222333a a a a a a a a a ---=( ) A. -5 B. 6 C. -1 D. 1 答案: B（较容易）11.设22115()114723f x x x =+-,则方程()0f x =的根分别为( )A. 1,1,3,3B. -1,-1,3,3C. -1,-1,-3,-3D. 1,-1,3,-3答案：D (较容易)12.已知111213212223313233a a a a a a d a a a =,则行列式313233111213211122122313333232323a a a a a a a a a a a a ---=+++( )A. 6d -B. 6dC. 3d -D.3d 答案：A（较容易）13.1231231233a a a b b b c c c ⨯=( ) A. 123123123333a a a b b b c c c B. 123123123333333333a a a b b b c c c C. 123123123333a a a b b b c c c -D. 123123123333a a a b b b c c c 答案:D（较容易）14.行列式0003001002000100000002D -==--( ) A. -12 B. 12 C. -6 D. 6 答案:A（较容易）15.设det()n ij D a =,则0n D =的充分必要条件是( ) A. n D 中有两行(列)元素对应成比例 B. n D 中有一行(列)的元素均为零 C.11220()i j i j in jn a A a A a A i j ++⋅⋅⋅+== D. 11220()i j i j in jn a A a A a A i j ++⋅⋅⋅+=≠ 答案:C（中等）16.1223()71043171xx x x f x x--=--是( )次多项式A. 4B. 3C. 2D. 1 答案:C （较容易）17.四阶行列式D 的某行元素依次为-1,0,k,6, 它们的代数余子式分别为3,4,-2,0,且9D =-,则k =( )A. 0B. 3C. 1D. -1 答案:B(较容易)18.若1112132122233132331a a a a a a a a a =,则131112112321222133313231454545a a a a a a a a a a a a --=-( ) A. 5 B. -5 C. 20 D. -20 答案:A（容易）19.222a ab acab bbc ac bc c =( ) A. abc B. 1 C. 0 D. 222a b c 答案:C（较容易）20. 设*1,A A -分别为n 阶方阵A 的伴随矩阵和逆矩阵,则*1A A -=（ ） A. nA B. 1n A- C. 2n A- D. 3n A-答案:C（较容易）21.已知A 为三阶矩阵,其第三行元素分别为1,3,-2,它们的余子式分别为3,-2,1,则A =( )A. 5B. -5C. 7D. -7 答案:C（较容易）22.如果1112132122233132331a a a a a a a a a =,则111112132121222331313233423423423a a a a a a a a a a a a --=-( ) A. 8 B. -12 C. 24 D. -24 答案：B（较容易）23.行列式103100204199200395301300600=（ ）A. 1000B. -1000C. 2000 答案：C（较容易）24.行列式40105022*********D =的值为（ ）A. -12B. -24C. -36D. -72 答案：D（较容易）25.设A 为n 阶方阵，且0=A ，则（ ） A. A 中必有两行(列)的对应元素成比例;B. A 中任意一行(列)向量是其余行（列）向量的线性组合;C. A 中必有一行(列)向量是其余行（列）向量的线性组合;D. A 中至少有一行(列)向量为零向量答案：C（较容易）26. 已知三阶矩阵A 的特征值为1，2，3，则行列式2A =( )A. 0B. 1C. 6D. 36 答案：D（较容易）27. 如果m a a a a a a a a a D ==333231232221131211，1312112322213332311333333333a a a a a a a a a D = 那么=1D （ ）．A.m 3；B.m 3-；C. m 9；D. m 27-．答案：D（较容易）28.已知0001001010001000001D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅，则D =（ ）A. 1B. -1C. (1)2(1)n n -- D. (1)(2)2(1)n n ---答案：D29.行列式D 非零的充要条件是（ ） 的所有元素都不为零 至少有2n n -个元素不为零 的任意两列元素之间不成比例D.以D 为系数行列式的线性方程组有惟一解 答案：D四．解答题（较难）1.123111111111111111(0,1,2,,)111111+++≠=+i na a a a i n a解：123111111111111111111111++++na a a a 11213111111000000+-=--na a a a a a a 112131111110000000+---na a a a a a a 11223111110000000=++=∑ni ina a a a a a 231120000100=⎡⎤=++=⎢⎥⎣⎦∑ni i n a a a a a a 111(1)===+∑∏nni i i i a a（较难）2．12323413452121-nnn 解：12323413452121-nnn ＝1223123411245212121++++++++++++-n n n n n n ＝123011113410111(1)(12)14522011111211121------++++=-----n n n n n n n n n＝1111111111(1)(1)211111111+---------+---------n n n n n n n n ＝11000(1)(1)20001111+-+----n n n nn n n＝12000(1)(1)(1)2n nn n n n n n+-+--＝(1)(4)11322(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)22-++--++----=-n n nn n n n n n n n（较难）3．-=------n x a a a a a xa a a D a axa a a a aax解：00--=+-------n xa a x a a a axaaxaa D a a a x aa a aa＝111000()()()0000---+-+--+=-+++---n n n x a a x x a a x x a D x a D a x a x aaaaa由递推关系有1()()2⎡⎤=++-⎣⎦n n n D x a x a （较难）4．111111-=--n n D n n解：10100111001011111+----==+------n nnn nDn n n n＝111(1)(1)01010+---------n n n n n＝121(1)(1)(1)(1)010111+------------n n n n n n n＝254113112(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)+-+----------=-+n n n n n n n n n＝222(1)1122(1)(1)(1)(1)(1)++-----+=-+n nn n n n n n n（中等）5. 写出四阶行列式23740101201035--=D 中元素4,13323=-=a a 的代数余子式，并求其值.解： 23701135)1(3223-⨯-=+A 237013430---.96102623343=+-=--=2015)1()2(23020135)1(223333++-⨯-=--⨯-=A .2010)2(-=⨯-=.176)20(4960033332323-=-⨯+-=+++=A a A a D（中等）6. 计算行列式7325254346323214-----解:7325254346323214----- =13723103419503100010------1373103195010)1(121----⨯=+137231031500-----.310625)697(5723315=⨯=+-=--=（中等）7. 计算(2)≥n n 阶行列式00010000001000aa D a a = 解: 按第一行展开，得()100000000001000010na aa a D aa a+=+-．再将上式等号右边的第二个行列式按第一列展开，则可得到()()()()1112222111nn n n n n n D a a a a a a +-+---=+--=-=-（中等）8．计算行列式ab b b ba b b D bb a b bbba= 解: D =()()()()1111a n b b b b a n ba b b a n bb a b a n bbba+-+-+-+- []11(1)11b b ba b ba nb b a b bba=+-=[]1(1)b b ba ba nb a ba b-+---（较容易）9.计算行列式 .2143000012009687843415089715032-=D 解:231509750821001414437896823034(83)0340210141021020003400102141111(412)1116176.34D --===+⋅--=⋅=+=⨯=（较容易）10. k 取何值时，下列齐次线性方程组有非零解：⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++-=++.02,0,0321321321x x x x kx x kx x x 解: 方程组有非零解的必要条件是系数行列式等于零.2111111--=kk D kkk k --++2211011kk k --+2201111)1(11(1)011004k k k+-).4)(1(k k -+=即 .0)4)(1(=-+k k所以当1-=k 或4=k 时，齐次线性方程组可能有非零解.（中等）11. 计算行列式1314211311023351-----=D .解： 1192101110160551003351-----=D 1113200112033515----=112320011103351)5(-----=1300320011103351)5(------=211000320011103351)5(-----=55-=（中等）12. 计算行列式x a a a x a aa x D n=．解： xa a a x a a n x D n r r r n111])1([)(21-+=+++ax a x a n x ---+=00111])1([1)]()1([---+=n a x a n x（中等）13. 计算行列式的值1118101711101325--=D解：10113-D=1181107113521101--0217015501101---==8200712055100111---8201790055100111--410017900551001112--=1794100551001112---=38194100551001112-=----=（难）4. 计算n 阶行列式的值52 (00)35...000... 00 (5200) (35)200...035=n D解 按第一行展开，得：21116552 (00)35...000..................00...52000 (350)00 (0323)5-----=-=n n n n n D D D D 按第一列展开得到递推式：2165---=n n n D D D写作）（211232----=-n n n n D D D D ，可得）（1221232D D D D n n n -=--- 写作）（211323----=-n n n n D D D D ，可得）（1221323D D D D n n n -=---而195235,521===D D⎪⎩⎪⎨⎧=-=-∴--nn n nn n D D D D 233211 解之得1123++-=n n n D （中等）15. 计算n 阶行列式xyy x y x yxy x D 0 (00)...0000 00 (000) (00)00...00=的值解 按照第一列展开nn n n n n n n n y x y y x x y y xy x y y x x y x y xx D 111111111)1()1(...000 0...00...00...00)1(...000 0...00...00...0)1(+-+--+-+-+=⨯-⨯+⨯=-⨯+-⨯=（较容易）16. 问λ，μ取何值时，齐次线性方程组 1231231230020x x x x x x x x x λμμ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解解：齐次方程组有非零解的必要条件是系数行列式等于零，故11011111111(1)012200λλμλλμλμμμλμμμ----===--即0μ=或1λ=齐次线性方程组有非零解。