【巩固练习】
一.选择题
1. 下列说法中：
①P是线段AB上的一点，直线l经过点P且l⊥AB，则l是线段AB的垂直平分线；
②直线l经过线段AB的中点，则l是线段AB的垂直平分线；
③若AP=PB，且直线l垂直于线段AB，则l是线段AB的垂直平分线；
④经过线段AB的中点P且垂直于AB的直线l是线段AB的垂直平分线．
其中正确的个数有（）
A．1个 B．2个C．3个 D．4个
2.（2016秋•桐乡市期中）下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（）
A．a=3，b=3，c=4 B．a：b：c=2：3：4
C．∠B=50°，∠C=80°D．∠A：∠B：∠C=1：1：2
3. 下列命题中正确的命题有（）
①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端距离
相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN，则MN是线段AB的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4. 如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于F，过F作DE∥BC，交AB于D，交AC
于E，那么下列结论正确的有( )
①△BDF，△CEF都是等腰三角形；②DE＝DB＋CE；
③AD＋DE＋AE＝AB＋AC；④BF＝CF.
A．1个B．2个C．3个D．4个
∆沿过D的直线折叠，使点A落在BC上F处，若5. 如图，D是AB边上的中点，将ABC
∠度数是（）
∠=︒，则BDF
50
B
A．60° B．70° C．80° D．不确定
6.在直角坐标系中，已知A（1，1），在x轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二.填空题
7.写出“对顶角相等”的逆命题．
8.如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于1
2
AB的长为半径画弧，两弧交于点M，
N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为12，AB=16，则△ABC的周长为________．
9. 已知线段AB，分别以A、B为圆心，大于1
2
AB长为半径画弧，两弧相交于点C、Q，连结
CQ与AB相交于点D．则∠ADQ=__________.
10. 如图，在直角△ABC中，∠C=90°，AD、AE把∠CAB三等分，AD交BC于D，AE交BC
于E，且EF⊥AB，AF=FB，则∠B =______°；
11. 如图，△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，OM∥AB，ON∥AC，BC＝10cm，则Δ
OMN的周长＝______cm．
12.（2016•山西模拟）如图，在4×5的点阵图中，每两个横向和纵向相邻阵点的距离均为1，该点阵图中已有两个阵点分别标为A、B，请在此点阵图中找一个阵点C，使得以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形，则符合条件的点C有个．
三.解答题
13．如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F．
（1）求证：OE是CD的垂直平分线．
（2）若∠AOB=60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论．
14. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为CD中点，连接AE并延长AE交BC的延长线于点F （1）求证：CF=AD；
（2）若AD=2，AB=8，当BC为多少时，点B在线段AF的垂直平分线上，为什么？
15.如图，请在下列四个等式中，选出两个作为条件，推出△AED是等腰三角形，
并予以证明．（写出一种即可）
等式：①AB=DC，②BE=CE，③∠B=∠C，④∠BAE=∠CDE．
已知：
求证：△AED是等腰三角形．
证明：
【答案与解析】
一.选择题
1. 【答案】A；
【解析】解：①P不是AB的中点，则l不平分线段AB，故错误；
②直线l经过线段AB的中点，且垂直于AB则l是线段AB的垂直平分线，故错
误；
③若AP=PB，则P在线段AB的垂直平分线上，但l不一定是线段AB的垂直平
分线，故错误；
④正确．
2. 【答案】B；
【解析】A、∵a=3，b=3，c=4，∴a=b，∴△ABC是等腰三角形；
B、∵a：b：c=2：3：4∴a≠b≠c，∴△ABC不是等腰三角形；
C、∵∠B=50°，∠C=80°，∴∠A =50°，∴AC=BC，∴△ABC是等腰三角形；
D、∵∠A：∠B：∠C=1：1：2，∴∠A=∠B，∴AC=BC，∴△ABC是等腰三角形．故选B．
3. 【答案】A；
【解析】解：①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等，是线段垂直平分线的性质，符合逆定理，正确；
②错误；这是对线段垂直平分线的误解；
③有无数条，错误；
④点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN⊥AB，则MN是线段AB的垂直平分
线，错误；如图
⑤错误，这是对线段垂直平分线的误解；
4. 【答案】C ；
【解析】①②③正确.
5. 【答案】C；
＝180°－50°－50°＝80°.
【解析】AD＝DF＝BD，∠B＝∠BFD＝50°，BDF
6. 【答案】D；
【解析】解：如图，
∵以点O为圆心，以OA为半径画弧，交x轴于点B、C；
以点A为圆心，以AO为半径画弧，交x轴于一点D（点O除外），
∴以OA为腰的等腰三角形有3个；
作OA的垂直平分线，交x轴于一点，
∴以OA为底的等腰三角形有1个，
综上所述，符合条件的点P共有4个，
故选：D．
二.填空题
7. 【答案】如两个角相等，那么这两个角是对顶角；
【解析】解：∵原命题的条件是：如果两个角是对顶角，结论是：那么这两个角相等；
∴其逆命题应该为：如两个角相等，那么这两个角是对顶角.
8. 【答案】28；
【解析】解：由题意得：MN是线段AB的垂直平分线，
则AD=BD，
∵△ADC的周长为12，
∴AC+CD+AD=12，
∴AC+CD+DB=12，
即：AC+BC=12，
∵AB=16，
∴△ABC的周长为：AC+BC+AB=12+16=28，
故答案为：28．
9. 【答案】90°；
【解析】解：由做法可知AC=BC=AQ=BQ，
∴C和Q都在线段AB的垂直平分线上，
即CQ是线段AB的垂直平分线，
∴∠ADQ=90°，
故答案为：90°．
10.【答案】22.5；
【解析】解：∵EF⊥AB，AF=FB，
∴EF是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴∠EAB=∠B，
∵AD、AE把∠CAB三等分，
∴∠CAD=∠DAE=∠EAB，
∵∠C=90°，
∴∠BAC+∠B=4∠B=90°，
解得∠B=22.5°．
故答案为：22.5°.
11.【答案】10；
【解析】OM＝BM，ON＝CN，∴△OMN的周长等于BC. 12.【答案】5；
【解析】画出图形得：
三.解答题
13.【解析】
解：（1）∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，∴DE=CE，OE=OE，
∴Rt△ODE≌Rt△OCE，
∴OD=OC，
∴△DOC是等腰三角形，
∵OE是∠AOB的平分线，
∴OE是CD的垂直平分线；
（2）∵OE是∠AOB的平分线，∠AOB=60°，
∴∠AOE=∠BOE=30°，
∵EC⊥OB，ED⊥OA，
∴OE=2DE，∠ODF=∠OED=60°，
∴∠EDF=30°，
∴DE=2EF，
∴OE=4EF ．
14.【解析】解：当BC=6时，点B 在线段AF 的垂直平分线上，其理由是：
∵BC=6，AD=2，AB=8，
∴AB=BC+AD ．
又∵CF=AD ，BC+CF=BF ，
∴AB=BF ．
∴△ABF 是等腰三角形，
∴点B 在AF 的垂直平分线上．
15.【解析】解：已知：①③（或①④，或②③，或②④）
证明：在△ABE 和△DCE 中
B C AEB DEC AB DC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝
∴△ABE ≌△DCE ；
∴AE=DE ；
△AED 是等腰三角形．。