高考数学 直接证明与间接证明 专题
1.(2010·青岛模拟)已知函数f (x )＝(12)x ，a ，b ∈R ＋，A ＝f (a ＋b 2)，B ＝f (ab )，C ＝f (2ab a ＋b
)，则A 、B 、C 的大小关系为 ( )
A ．A ≤
B ≤
C B ．A ≤C ≤B
C ．B ≤C ≤A
D ．C ≤B ≤A
解析：a ＋b 2≥ab ≥2ab a ＋b ，又f (x )＝(12)x 在R 上是单调减函数，∴f (a ＋b 2)≤f (ab )≤f (2ab a ＋b
)． 答案：A
2．函数y ＝f (x )在(0,2)上是增函数，函数y ＝f (x ＋2)是偶数，则f (1)，f (2.5)，f (3.5)的大小关系是
( )
A ．f (2.5)<f (1)<f (3.5)
B ．f (2.5)>f (1)>f (3.5)
C ．f (3.5)>f (2.5)>f (1)
D ．f (1)>f (3.5)>f (2.5)
解析：因为函数y ＝f (x )在(0,2)上是增函数，函数y ＝f (x ＋2)是偶函数，所以x ＝2是对称轴，在(2,4)上为减函数，由图象知f (2.5)>f (1)>f (3.5)．
答案：B 3．在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c
，试问A 、B 、C 是否成等差数列，若不成等差数列，请说明理由．若成等差数列，请给出证明．
证明：A 、B 、C 成等差数列，下面用综合法给出证明：
∵
1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c ， ∴
a ＋
b ＋
c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c ＝3， ∴c a ＋b ＋a b ＋c
＝1， ∴c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )，
∴b 2＝a 2＋c 2－ac .
在△ABC 中，由余弦定理，得
cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝12
， ∵0°＜B ＜180° ∴B ＝60°.
∴A ＋C ＝2B ＝120°，
∴A 、B 、C 成等差数列．
4.若P ＝a ＋a ＋7，Q ( )
A ．P ＞Q
B ．P ＝Q
C ．P ＜Q
D ．由a 的取值确定
解析：∵要证P ＜Q ，只要证P 2＜Q 2，
只要证：2a ＋7＋2a (a ＋7)＜2a ＋7＋2(a ＋3)(a ＋4)，
只要证：a 2＋7a ＜a 2＋7a ＋12，
只要证：0＜12，
∵0＜12成立，∴P ＜Q 成立．
答案：C
5．设a ，b 均为正数，且a ≠b ，求证：a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2.
证明：法一：(分析法)
要证a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2成立，
只需证(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)＞ab (a ＋b )成立．
又因为a ＋b ＞0，
只需证a 2－ab ＋b 2＞ab 成立．
又需证a 2－2ab ＋b 2＞0成立，
即需证(a －b )2＞0成立．
而依题设a ≠b ，则(a －b )2＞0显然成立，由此命题得证．
法二：(综合法)
a ≠
b ⇒a －b ≠0⇒(a －b )2＞0⇒a 2－2ab ＋b 2＞0
⇒a 2－ab ＋b 2＞ab .(*)
而a ，b 均为正数，∴a ＋b ＞0，
由(*)式即得(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)＞ab (a ＋b )，
∴a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2.
6.用反证法证明：a 、b 、c 中至少有一个偶数时，下列假设正确的是 ( )
A ．假设a 、b 、c 都是偶数
B ．假设a 、b 、c 都不是偶数
C ．假设a 、b 、c 至多有一个偶数
D ．假设a 、b 、c 至多有两个偶数
解析：“至少有一个”的否定“都不是”．
答案：B
7．设a ，b ，c ∈(－∞，0)，则a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a
( ) A ．都不大于－2
B ．都不小于－2
C ．至少有一个不大于－2
D ．至少有一个不小于－2
解析：假设a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a
都小于或等于－2， 即a ＋1b ≤－2，b ＋1c ≤－2，c ＋1a
≤－2， 将三式相加，得a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a
≤－6， 又因为a ＋1a ≤－2，b ＋1b ≤－2，c ＋1c
≤－2， 三式相加，得a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a
≤－6， 所以a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a
≤－6成立． 答案：C
8．某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数f (x )在上有意义，且f (0)＝f (1)，如果对于不同的x 1，x 2∈，都
有|f (x 1)－f (x 2)|<|x 1－x 2|，求证：|f (x 1)－f (x 2)|<12
.那么他的反设应该是________． 解析：该命题为全称命题，其否定为特称命题．
答案：“存在x 1，x 2∈，使得|f (x 1)－f (x 2)|<|x 1－x 2|且|f (x 1)－f (x 2)|≥12
” 9．已知a ，b ，c 是互不相等的实数．
求证：由y ＝ax 2＋2bx ＋c ，y ＝bx 2＋2cx ＋a 和y ＝cx 2＋2ax ＋b 确定的三条抛物线至少有一条与x 轴有两个不同的交点．
证明：假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x 轴有两个不同的交点(即任何一条抛物线与x 轴没有两个不同的交点)，
由y ＝ax 2＋2bx ＋c ，
y ＝bx 2＋2cx ＋a ，
y ＝cx 2＋2ax ＋b ，
得Δ1＝(2b )2－4ac ≤0，
Δ2＝(2c )2－4ab ≤0，
Δ3＝(2a )2－4bc ≤0.
上述三个同向不等式相加得，
4b 2＋4c 2＋4a 2－4ac －4ab －4bc ≤0，
∴2a 2＋2b 2＋2c 2－2ab －2bc －2ca ≤0，
∴(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≤0，
∴a ＝b ＝c ，这与题设a ，b ，c 互不相等矛盾，
因此假设不成立，从而命题得证．
10.设a ，b ，c ，d ∈(0 ( )
A ．ad ＝bc
B ．ad <bc
C ．ad >bc
D ．ad ≤bc
解析：|a －d |<|b －c |⇔(a －d )2<(b －c )2⇔a 2＋d 2－2ad <b 2＋c 2－2bc, 又∵a ＋d ＝b ＋c ⇔(a ＋d )2＝(b ＋c )2⇔a 2＋d 2＋2ad ＝b 2＋c 2＋2bc ，∴－4ad <－4bc ，∴ad >bc .
答案：C
11．已知a ，b ，μ∈(0，＋∞)且1a ＋9b
＝1，则使得a ＋b ≥μ恒成立的μ的取值范围是________． 解析：∵a ，b ∈(0，＋∞)且1a ＋9b
＝1， ∴a ＋b ＝(a ＋b )(1a ＋9b )＝10＋(9a b ＋b a
)≥10＋29＝16，∴a ＋b 的最小值为16. ∴要使a ＋b ≥μ恒成立，需16≥μ，∴0<μ≤16.
答案：(0,16]。