常微分方程一、填空题1 .微分方程(立)n +业—VEX? = 0的阶数是dx dx答：12 .若M (x, V)和N (x, V)在矩形区域R内是(x, V)的连续函数，且有连续的一阶偏导数，则方程M (x,y)dx + N(x, y)dy =0有只与V有关的积分因子的充要条件是血 f N -1答：(亏一寸M)= (V)3. ^为齐次方程.答：形如dV =g(V)的方程dx x4 .如果f (x, V) ___________________________________________ M ,业=f (x, V)存在dx唯一的解y = %x)，定义丁区问x-x o <h上，连续且满足初始条件v^cp(x o)，其中答：在R上连续且关丁y满足利普希兹条件h = mina(,')m5 .对丁任意的(x, V i) ,(x,y2)W R (R为某一矩形区域)，若存在常数N(N A0)使则称f(x, V)在R上关丁y满足利普希兹条件.f(x,y i) —f (x,y2)& N y i —y26. 方程以=乂2+尸2定义在矩形区域R：-2《x《2,-2菱y奖上，则经过点(0,0)的解的dx 存在区间是______________________ 1 1答：-x・兰4 47. 若x(t)(i=1,2,.....n)是齐次线性方程的n个解，w(t)为其伏朗斯基行歹0式，则w(t)满足一阶线性方程________________________________________答：w a1(t)w = 08. 若X i (t)(i =1,2,.....n)为齐次线性方程的一个基本解组，x(t)为非齐次线性方程的一个特解,则非齐次线性方程的所有解可表为答：X =' c i x i - X i 49. 若中(X)为毕卡逼近序列虬(X)}的极限，则有|%x)M n(x)W答：MLh n1 (n 1)!10. 为黎卡提方程，若它有一个特解y(x),则经过变换____________________ ,可化为伯努利方程.答：形如—=p(x)y2+q(x)y + r (x)的方程y = z + ydx11. 一个不可延展解的存在区间一定是区间.答：开12. ______________________________________________________________ 方程业=后〔满足解的存在唯一性定理条件的区域是_______________________________ .dx '答：D ={(x,y)在R2y >0},(或不含x轴的上半平■面)13 .方程华=x2sin y的所有常数解是. dx答：y =k二，k =0, —1, —2,14. 函数组明(x)*2(x)，…，气(x)在区间I上线性无关的条件是它们的朗斯基行列式在区间I上不包等丁零.答：充分15. 二阶线性齐次微分方程的两个解y〔(x), y2(x)为方程的基本解组充分必要条件是.答：线性无关(或：它们的朗斯基行列式不等丁零)16. 方程广-2y'+y=0的基本解组是答：e x, xe X17. 若y =%x)在(s,十8)上连续，则方程d^=<P(x)y的任一非零解与dxx轴相交.答：不能18. 在方程y " + p(x)y' + q(x)y = 0中，如果p(x) , q(x)在(-°o,+°c)上连续，那么它的任一非零解在xoy平面上与x轴相切.答：不能19. 若y=%(x), y = %(x)是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们共同零点.答：没有20. 方程业 =J i -y2的常数解是.dx答：y = 一121 .向量函数组Y i(x), Y2(x)，…，Y n(x)在其定义区问I上线性相关的条件是它们的朗斯基行列式W(x) = 0 , x^I .答：必要22. 方程也=x2 +y2满足解的存在唯一性定理条件的区域是 .dx答：xoy平■面23. 方程x(y2 -1)dx + y(x2 -1)dy = 0 所有常数解是 .答：y = 1, x = 124 .方程y"+4y = 0的基本解组是 .答：sin 2x, cos2x25.一阶微分方程的通解的图像是维空间上的一族曲线.答：2二、单项选择题1. n阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是( A )个.(A) n (B) n-1 (C) n+1 (D) n+22 .如果f(x, y) , > (x, y)都在xoy 平面上连续，那么方程 史=f(x, y)的任一解的存在 ；:y dx 区问(D ).(A)必为(-co , +苗) (B)必为(0,+°o )(C)必为(s , 0)(D)将因解而定3.方程 业=x^ +y 满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是( D ).dx4. 一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差( C ).(A)上半平■面 (B) xoy 平面(C)下半平■面(D)除y 轴外的全平■面(A)不是其对应齐次微分方程组的解 (B)是非齐次微分方程组的解(C) 是其对应齐次微分方程组的解5. 方程也=J i —y 2过点(兰,1)共有(dx 2(A) 一(B)无数6. 方程四=七反-尸+2 ( B )奇解. dx(A)有三个(B)无(D) 是非齐次微分方程组的通解B )个解.(C)两(D)三(C)有一个 (D) 有两个7. n 阶线性齐次方程的所有解构成一个((A) n 维(B) n+1 维8. 方程dy =3y 3过点(A ).dxA )线性空间. (C) n-1 维(D) n + 2维(A)有无数个解(B)只有三个解 (C)只有解y=0 (D)只有两个解 9. f y (x, y)连续是保证f (x, y)对y 满足李普希兹条件的((A)充分(B)充分必要10. 二阶线性非齐次微分方程的所有解((A)构成一个2维线性空间 (C)不能构成一个线性空间B )条件.(C)必要 (D)必要非充分C ).(B) 构成一个3维线性空间 (D)构成一个无限维线性空间11. 方程普=0的奇解是(D ).(A) y=x (B) y=1(C) y = —1(D) y = 012. 若y = R(x) , y=%(x)是一阶线性非齐次微分方程的两个不同特解，则该方程的 通解可用这两个解表示为(C ).(A)1(x) - ’2(x) (B) 1(x) /x)(C) C (1(x) - ；(x)) —(x)(D) C 1(x)2(x)13. fy'(x, y)连续是方程^ = f(x,y)初值解唯一的(D )条件.dx三、求下列方程的通解或通积分解：dx=x + y 3=x+y 2x=/%y 2e 粉dy+c)所以 x=^+cydy y y 2另外 y=0也是方程的解 2.求方程 也=x+y 2经过(0,0)的第三次近似解 dx解：°(x)=0(A)必要 (B)必要非充分14. 方程业=占+1 ( C )奇解.dx(A)有一个(B)有两个15. 方程 W=3y 3 过点(0, 0)有(A )dx(A)无数个解(B)只有一个解(C)充分必要(D)充分(C)无(D)有无数个(C) 只有两个解 (D)只有三个解1.Io1L^2o 9+y=sin(x+c),所以y = ±1是方程的奇解1 1 x5. (cosx +—)dx+(—-一^)dy =0 y y y解：丑=_y 二里=_广，也=型，所以方程是恰当方程:y: x:y: x如,1—=cosx 十一%_1 x y 得 u=sinx +j+%)~2L a y y所以甲(y) =ln y故原方程的解为sinx - In y =c3(x) _ X 七2(x)dx = 1 x 2 1 x 5 —-—x 11x 82 2044001603.讨论方程 座=尸2 , y(1)= 1的解的存在区间dx解：驾=dxy1 两边积分-—=x c y所以方程的通解为尸=二x c 1故过y(1)= 1的解为 y = --------x -2通过点 (1,1)的解向左可以延拓到-但向右只能延拓到 2,所以解的存在区间为(-二,2)4.求方程(dy )2+y 2-1= 0的奇解 dx解：利用p 判别曲线得『2^2』 cp + y T = 02p =0消去p 得y 2 =1即 y =±1所以方程的通解为6. y y2 -2ysinx =cosx-sin2 x解：y'= _y2+2ysinx+cosx—sin2 x故方程为黎卡提方程.它的一个特解为y=sinx ,令y=z+sinx , 贝U方程可化为史 =—z2dx1 1即y—sin x = -------- ,故y=sinx+ -----------------x c x c7. (2xy2 -3y3)dx (7 -3xy2)dy = 0解：两边同除以y2得72xdx -3ydx — d^3xdy =0y,2s ,7-dx - d 3xy - d — = 0 y所以x2-3xy-7=c ,另外y=0 也是方程的解y8. dy xy 丁 = d 2 dx 1 x解当y #0时，分离变量得dyydx等式两端积分得ln y| =；ln(1 + x2) +ln,C 即通解为y = C 1 x29. dy 2x—3y = e dx解齐次方程的通解为3 xy = Ce令非齐次方程的特解为y = C(x)e^x代入原方程，确定出C(x) = 1e5x- C 5原方程的通解为y =Ce 金+ 1e2x510. dy = y xy5dx解方程两端同乘以y乙得dy 3 y — = y x dx令y」=z，贝U -4yW^ =史，代入上式，得dx dx1 dz _ z = x4 dx通解为z = Ce ^x _x — 4原方程通解为-4 八-4x 1y = Ce - x -411. 2xydx (x2 -y2)dy = 0解因为地=2x =主，所以原方程是全微分方程. 一-y :x 取(x°, y。

)=(0, 0),原方程的通积分为x y 22xydx - °y dy = Cc 1 。

即x y y =C312. ^^ = yln ydx解：当y#0, y#1时，分离变量取不定积分，得f-d^=」dx +C 通积分为yl nyIn y =Ce x13. yy“+(y')2+3x2 =0解原方程可化为2(yy x 2) =0丁是y 业，x 2 = C idx 积分得通积分为12 1 3_y =C i X-—x C 2 2 314. 孚 dx x x当tanu#0时，分离变量，再积分，得「du 「dx 卜八f ------- = J ——+ln C tanu xIn sin u = In x +ln C即通积分为： sin y =Cx x16.^ = Y+1dx x解：齐次方程的通解为y =Cx令非齐次方程的特解为解：令y = xu , 则虬udx du . 2 x ——=,1 一 u dx•x 四，代入原方程，得 dx分离变量，取不定积分，得du21 一dx=J — + lnC ( C#0) x通积分为:15.奴= d x 解令y= uxy , 八 arcsin— = In Cx xy_ xdu七tan x dydx x 四=u t anu dx=u +x , dx 代入原方程，得du … x ——=tan u dxy = C(x)x代入原方程，确定出C(x) = ln x C原方程的通解为y = Cx + xln x17. (x2e y -y)dx xdy =0解积分因子为1 」(x)=顶x原方程的通积分为x x y y1 (e - ^2)dx 0dy =C i即e x— = C, C = e C1x18. yy (y)2=0解：原方程为恰当导数方程，可改写为(yy )' = 0即yy = G分离变量得ydy =C1dx积分得通积分1 2y = C〔x C2219. y (x - ln y ) = 1解令y'=p,则原方程的参数形式为1 |x = ln pp、y'= p由基本关系式曳=y‘，有dx, . ,1 1、，dy = y dx = p (-^ _)dpP P1=(1 )dpP积分得y = p - In p C得原方程参数形式通解为1 .x = — ln py = p _ln p + C20. yy'y2 +2x =0解原方程可化为(yy x2) =0丁是y 业x2= C1dx积分得通积分为1 y2= C〔x _ 1x3C22 321. (x3 xy2 )dx (x2y y3)dy =0解：由丁曳=2xy =噩，所以原方程是全微分方程. 一-y :x 取(x。