ρUE
边界层方程： 边界层方程：
dUE = pE ( x,0) dx
∂u ∂v + = 0 ∂x ∂y dU E ( x ) µ ∂ 2 u ∂u ∂u u +v = U E ( x) + ∂x ∂y dx ρ ∂y 2
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第三讲 大雷诺数流体力学问题的求解
4、大雷诺数问题解决步骤 、
（1）求解无边界层的欧拉方程，得到边界层外整个流场的 ）求解无边界层的欧拉方程， 速度分布、压强分布； 速度分布、压强分布； （2）确定物体所受的升力值，及 ）确定物体所受的升力值， （3）壁面上的速度值和压强值； ）壁面上的速度值和压强值； （4）计算边界层内的速度分布； ）计算边界层内的速度分布； （5）确定边界层厚度（可用于对欧拉计算的边界修整） ， ）确定边界层厚度（可用于对欧拉计算的边界修整） （6）结算壁面剪应力分布，计算壁面的阻力值。 ）结算壁面剪应力分布，计算壁面的阻力值。
∂ 2ψ ∂ 2ψ + = 0 2 2 ∂x ∂y
注意： 注意：1）流函数仅存在于平面流动或轴对称流动问题； 流函数仅存在于平面流动或轴对称流动问题； 2）无论流动是否无旋，流函数都存在。但只有满 无论流动是否无旋，流函数都存在。 足无旋流动条件，才能满足Laplace方程。 Laplace方程 足无旋流动条件，才能满足Laplace方程。
其中： 其中：
~= p p , 2 ρU ∞ Re =
ρU ∞ L µ
~ ∂ 2u 由此得： 由此得： ~ 2 << ∂x
1
ε
1 Re
2
~ ∂ 2u ∂~ 2 y
及
1
ε
2
1 ~ o (1 ) R e
即： ε ~
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第三讲 大雷诺数流体力学问题的求解
（2）边界层内 ）边界层内N—S方程的量级分析 方程的量级分析
上式称为Laplace方程，为线性方程，解可叠加。 上式称为Laplace方程，为线性方程，解可叠加。 Laplace 对无旋流动的空间问题，也存在势函数φ(x,y,z)，满足Laplace方程。 ，满足Laplace 对无旋流动的空间问题，也存在势函数φ(x,y,z)，满足Laplace方程。
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第三讲 大雷诺数流体力学问题的求解 本讲主要内容
（以平面流动为例） 以平面流动为例）
一、问题概述 欧拉方程的求解（有势流动的基本理论） 二、欧拉方程的求解（有势流动的基本理论） 三、边界层内运动的解析解法
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第三讲 大雷诺数流体力学问题的求解
一、问题概述
1、大雷诺数近似下的欧拉方程（Euler’s Equations） 、大雷诺数近似下的欧拉方程（ ）
按有量纲形式的方程表示
∂u ∂v + = 0 ∂x ∂y ∂u ∂u 1 dp µ ∂ 2 u u +v =− + ∂x ∂y ρ dx ρ ∂y 2
∂p = 0 ∂y
其中： 其中：
v = εU
∞
ε~
定解条件
在边壁上： 在边壁上： y = 0, u( x , y ) = 0,
1 Re
v ( x, y) = 0
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第三讲 大雷诺数流体力学问题的求解
5、流函数与势函数的一些特性 、
（1）流函数ψ(x,y)=const，表示流线； ）流函数ψ(x,y)=const，表示流线； 两流函数之差表示通过两流线间的流量值； （2）两流函数之差表示通过两流线间的流量值； 流线与等势线正交； （3）流线与等势线正交； 速度势函数φ(x,y)不能在域内有极大值与极小值 不能在域内有极大值与极小值； （4）速度势函数φ(x,y)不能在域内有极大值与极小值； 流体质点的速度的模在流域中不能达到极值； （5）流体质点的速度的模在流域中不能达到极值； 压强在域内不能出现极小值； （6）压强在域内不能出现极小值； 在单连同域内， (x,y)、 (x,y)是单值函数，再多连同域内 （7）在单连同域内，ψ(x,y)、 φ(x,y)是单值函数，再多连同域内 可以是多值函数。
长度— 方向： 长度— x 方向： L Y方向：ε L 方向： 方向 速度： 速度： U ∞ 压强： 压强： p ∞
1）连续方程 ）
~ ~ ∂u ∂v ~ + ∂~ = 0 ∂x y
u ~ u = , 其中： 其中： U∞ x ~ x = , L ~ = y , y εL ~ v = v εU
∞
注意v的量级： 注意v的量级： v =
2~ ~ ~ ~ ∂v ~ ∂v ∂~ 1 ∂ 2v p 4 ∂ v 或： ε [ u ~ ~ + v ∂~ ] = − ∂~ + ε ( ∂ ~ 2 + ε 2 ∂~ 2 ) ∂x y y x y
∂~ p 由此得： 由此得： ~ = 0 ∂y
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第三讲 大雷诺数流体力学问题的求解
（3）边界三讲 大雷诺数流体力学问题的求解
（2）边界层内 ）边界层内N—S方程的量级分析 方程的量级分析
长度— 方向： 长度— x 方向： L Y方向：ε L 方向： 方向 速度： 速度： U ∞ 压强： 压强： p ∞
2）运动方程 ）
~ ~ ~ ~ ∂u ~ ∂u ∂~ p 1 ∂ 2u 1 ∂ 2u ~ u ~ +v ~ = − ~ + ( ~2 + 2 ~2 ) ∂x ∂y ∂x R e ∂x ε ∂y
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第三讲 大雷诺数流体力学问题的求解
二、欧拉方程的求解—势流理论 欧拉方程的求解 势流理论
1、基本方程与定界条件 、 r r 重力场中的恒定的平面流动： 重力场中的恒定的平面流动： f = −gk, ∂u ∂v 基本方程： 基本方程： + = 0 ∂x ∂y ∂u ∂u 1 ∂p u +v =− ∂x ∂y ρ ∂x ∂v ∂v 1 ∂p u +v =− ∂x ∂y ρ ∂y 定解条件： 定解条件：
y 在边界层界面上： 在边界层界面上： = δ (x), u(x, y) = UE (x, y), p(x, y) = pE (x, y)
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第三讲 大雷诺数流体力学问题的求解
3、欧拉方程与边界层方程的衔接条件 、
y 在边界层界面上有： 在边界层界面上有： = δ ( x), u( x, y) = UE ( x, y), p(x, y) = pE (x, y)
第三讲 大雷诺数流体力学问题的求解
3、拉格朗日与伯努利方程（积分） 、拉格朗日与伯努利方程（积分）
葛罗米柯（ （1）兰姆 ）兰姆——葛罗米柯（Lamb-Γpombiko）方程 葛罗米柯 ）
r r 1 ∂v r r 对欧拉方程： 对欧拉方程： + v ⋅∇v = f − ∇p ∂t ρ
由矢量恒等式
v2 r r r r v ⋅ ∇v = ∇ − v × (∇ × v ) 2
r r rot v = ∇ × v = 0
∂v ∂u − = 0 ∂x ∂y
r v = ∇ϕ , u= ∂ϕ , ∂x v= ∂ϕ =0 ∂y
对平面问题： 对平面问题： 令
ϕ( x, y)
满足
ϕ( x, y) 必满足无旋条件（有势必无旋） 必满足无旋条件（有势必无旋）
代入连续方程
∂ 2ϕ ∂ 2ϕ + = 0 ∂x 2 ∂y 2
可表示为： y →∞ 可表示为： lim u( x, y ) = lim U E ( x, y ) = U E ( x ) y →0 衔接条件） （衔接条件） lim p( x, y ) = lim p ( x, y ) = p ( x ) E E
y →∞ y →0
对平面绕流边界静止不动的问题，有v（x,0）=0，由x方向 对平面绕流边界静止不动的问题， x,0）=0， 的欧拉方程，可确定边界层压强值， y→0： 的欧拉方程，可确定边界层压强值，即：当 y→0：
当： R e =
ρU ∞ L >> 1 时，有： µ
r ∂v r r r 1 欧拉方程： ∂t + v ⋅ ∇v = f − ρ ∇p 欧拉方程： r ∇⋅v = 0
（Hydrodynamics） ）
理论： 世纪前已比较完善； 成果：流场，升力。 理论：在20世纪前已比较完善； 成果：流场，升力。 世纪前已比较完善 问题：阻力（达朗伯佯谬D‘Alembert’s Paradox）；无滑动条件。 问题：阻力（ ）；无滑动条件。 无滑动条件
∂ ∂ ≡ 0, =0 ∂t ∂z
r r p = p∞ 在无穷远处： 在无穷远处：v = U ∞ , r r ∂v (n) ∂v ⋅ n = v B ( x, y ) 当物体静止时： ⋅ n = 0 在物面上： 在物面上： 当物体静止时： ∂n ∂n
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第三讲 大雷诺数流体力学问题的求解
2、势函数φ(x,y) 、势函数φ 当流动无旋时，有：
N—S方程，用相对值表示为无量纲形式，其中参考量选择如下： 方程，用相对值表示为无量纲形式，其中参考量选择如下： 方程
时间： 时间：T = L / U ∞
长度： 长度： L
速度： 速度： U ∞
压强： 压强： p ∞
r ∂v ′ r 1 r 1 r r + v ′ ⋅ ∇′v ′ = f ′ − E u ∇′p′ + ∆ ′v ′ ∂t ′ Fr Re
兰姆—— ——葛罗米柯型方程 可得兰姆——葛罗米柯型方程
r r 1 ∂v v2 r r + ∇ − v × (∇ × v ) = f − ∇p ∂t 2 ρ r 1 f = −∇Π, ∇Ρ = ∇p （2）力势函数与压力势函数 ） ρ p 对重力场和不可压流体： 对重力场和不可压流体： Π = gz, Ρ= ρ
在运动为恒定条件下，兰姆方程为： 在运动为恒定条件下，兰姆方程为： v2 r r ∇ − v × (∇ × v ) = −∇Π − ∇Ρ 2 沿流线积分，得伯努利方程： 沿流线积分，得伯努利方程：