A
y=log2 x
1 o 1234
x
x 一般地，对于指数函数 y=a30(a>1)和幂函数 y=xn50 (n>0),在区间 20 40 x 0 10 （0，+∞）上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围 y=2x 1 1024 1.05×106 1.07×109 1.10×1012 1.13×1015 400 900 1600 2500 y=x2 x 100 内，a0会小于xn,但由于ax的增长快于xn的增长，因此总存在
一个x0,当x>x0时，必有ax>xn. 60 70 80
1.15×1018 1.18×1021 1.21×1024 3600 4900 6400
… … …
y
1.13×1015
y=2x
对于对数函数 y=log2 x（a>1)和幂函数 y=xn (n>0),在区间（0，+∞）上,随着x 的增大，logax增长的越来越慢，图像
1.149 0.04 1.516 0.36 2 1 0 2.639 1.96 0.485
5 4 3 2 1 y=log2 x
y=log2 x -2.322 -0.737
1.8 2.2 2.6 3.0 8
9
3.4
…
3.482 4.959 6.063
3.24 4.84 6.67
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
10.556 …
11.56 1.766 … …
N 0 10; N 1 2 10 20; N 2 2 20 40; N 3 2 40 80;.
由上述过程归纳成最简单的种群增长模型，由下式表示： Nt+1=R0· t , 其中R0为时代净繁殖率. N 如果种群的R0速率年复一年地增长，则 2 3 t N 1 R0 N 0 , N 2 R0 N 1 R0 N 0 , N 3 R0 N 2 R0 N 0 N t R0 N 0 . 当R0>1时，种群上升；R0=1，种群稳定； 0<1，种群下降； 0<R 当R0=0，雌体没有繁殖，种群在这一代中死亡.
甚远，因此指数增长又称“指数爆炸”.
二、应用示例
例1.试用计算器来计算2500的近似值.
解： 第一步，利用科学计算器算出 第二步，再计算2100， 因为 2100=(210)10=（1.024×103)10=1.02410×1030, 所以，我们只需用科学计算器算出1.02410≈1.2677， 则2100 ≈1.2677×1030； 第三步，再计算2500， 210=1 024=1.024×103；
250 200 150 100 50
o
100
200
300
t
o
50 100 150 200 250 300 t
三、小
结
本节学习了:
（1）指数函数、对数函数、二次函数的增长差异.
（2）幂函数、指数函数、对数函数的应用.
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 一、提出问题 1.在区间（0，+∞）上判断 y=log2 x, y=2x, y=x2 的单调性.
在区间（0，+∞）上函数 y=log2 x, y=2x, y=x2均为单调增函数
2.列表并在同一坐标系中画出上面这三个函数的图像. y=x2 y=2x 0.2 0.6 1.0 1.4 y x y=2x y=x2
就像是渐渐地与x轴平行一样.尽管在x
的一定变化范围内， logax可能会大于 xn，但由于log
a
1.10×1012
y=x2
50 100
x的增长慢于xn的增长，
o
x
因此总存在一个x0,当x>x0时，必有logax<xn.
抽象概括
尽管对数函数 logax(a>1),指数函数 y=ax(a>1)与幂函数
0.848 1.138 1.379 1.585
o
1
2
x
3.结合函数的图像找出其交点坐标.
x 从图像看出 y=log2 6 7 0 1 2 3 4 5 x的图像 8 … 与另外两函数的图像没有交点， y=2x 1 2 4 8 16 32 64 128 256 … 且总在另外两函数图像的下方， y=x2 2的图像与 y=2x 25 36 49 64 … y=x 0 1 4 9 16 的图像有两个 交点(2，4)和（4，16）. 4.根据图像,分别写出使不等式
三、练 习 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一 日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图（1） 的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图 （2）的抛物线段表示. （1）写出图（1）表示的市场售价与时间的函数关系式P=f(t); 写出图（2）表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g(t); （2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西 红柿纯收益最大？ P Q 300 300 200 100
因为 2500=(2100)5=（1.2677×1030)5=1.26775×10150,
所以，我们只需用科学计算器算出1.26775≈3.2740， 从而算出 2500 ≈3.27×10150.
例2.在自然界中，有些种群的世代是隔离的，即每一代的生活 周期是分离的，例如很多一年生草本植物，在当年结实后死亡， 第二年种子萌发产生下一代.假设一个理想种群，其每个个体产 生2个后代，又假定种群开始有10个个体，到第二代时，种群 个体将上升为20个，以后每代增加1倍，依次为40，80， 160，…，试写出计算过程，归纳种群增长模型，说明何种情 况种群上升，种群稳定，种群灭亡. 解：设Nt 表示t 世代种群的大小，Nt+1表示t+1世代种群的大小，
log2 x<2x<x2和 log2 x<x2<2x成立的自
y 23 19
y=2x
y=x2
16
B
变量x的取值范围. 使不等式 log2 x<2x<x2 的x取值范围 是(2，4);
使不等式 log2 x < x2< 2x的x取值范围 是(0，2)∪(4,+∞); 5.由以上问题你能得出怎样的结论？
4
课题引入
国际象棋大师起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋 的发明者，问他要什么，发明者说：
“请在棋盘的第一个格子里放上1颗麦粒，第二个格子里 放上2颗麦粒，第三个格子里放上4颗麦粒，以此类推，每个 格子里的麦粒都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64 个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.” 国王觉得这个要求不高，就欣然同意了. 假定千颗麦粒的质量为40g，据查，目前世界年度小麦 产量为6亿吨，但不能满足发明者要求，这就是指数增长.
y=xn(n>0)在区间（0， +∞）上都是增函数，但它们的增长速度 不同，而且不在同一个“档次”上.随着x的增大，y=ax（a>1） 的 增长速度越来越快，会超过并远远大于y=xn（n>0）的增长速 度，而y=logax(a>1)的增长速度则会越来越慢.因此总会存在一 个x0，当x>x0 时，必有logax<xn<ax.虽然幂函数 y=xn(n>0)增长快 于对数函数 y=logax(a>1)增长，但它们与指数增长比起来相差