第二章 控制系统 的数学模型
Friday, May 22, 2020
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本章的主要内容
控制系统的微分方程-建立和求解 控制系统的传递函数 控制系统的结构图-等效变换 控制系统的信号流图-梅逊公式 各种数学模型的相互转换
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概述
概述
[数学模型]： 我们把描述系统或元件的动态过程中各变量之间相
这也是一个两阶定常微分方程。X为输出量，F为输入量。
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相似系统和相似量
[需要讨论的几个问题]： 1、相似系统和相似量： 我们注意到例2-2和例2-3的微分方程形式是完全 一样的。
LC
d 2uo dt 2
RC
duo dt
uo
ui
mx fx kx F
可见，同一物理系统有不同形式的数学模型，而不同类型的系 统也可以有相同形式的数学模型。
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概述
[线性系统]：如果系统满足叠加原理，则称其为线性系统。叠 加原理说明，两个不同的作用函数同时作用于系统的响应，等 于两个作用函数单独作用的响应之和。
线性系统对几个输入量同时作用的响应可以一个一个地处 理，然后对每一个输入量响应的结果进行叠加。
[线性定常系统和线性时变系统]：可以用线性定常（常系数）微 分方程描述的系统称为线性定常系统。如果描述系统的微分方 程的系数是时间的函数，则这类系统为线性时变系统。
2.1 控制系统的时域数学模型 ——微分方程
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控制系统的微分方程
微分方程的编写应根据组成系统 各元件工作过程中所遵循的物理定理 来进行。例如：电路中的基尔霍夫电 路定理，力学中的牛顿定理，热力学 中的热力学定理等。
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[例2-3] 求弹簧-阻尼-质量的机械位移系统的微分方程。
输入量为外力F，输出量为位移x。
Fk
F kx
[解]：图1和图2分别为系 统原理结构图和质量块
m
m
f x fx mx
受力分析图。图中，m 为质量，f为粘性阻尼系 数，k为弹性系数。
图1
图2
根据牛顿定理，可列出质量块的力平衡方程如下： mx fx kx F
宇宙飞船控制系统就是时变控制的一个例子（宇宙飞船的 质量随着燃料的消耗而变化）。
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概述
古典控制理论中，采用的是单输入单输出 描述方法。主要是针对线性定常系统，对于 非线性系统和时变系统，解决问题的能力是 极其有限的。
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控制系统的微分方程
[例2-1]：写出RC串联电路的微分方程。
解：根据KVL定律
由②：i C d，uc代入①得： dt
ui Ri uc ①
i c duc
②
dt
uc
Rc duc dt
ui
这是一个线性定常一阶微分方程。
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[例2-2]：写出RLC串联电路的微分方程。
[作用]利用相似系统的概念可以用一个易于实现的系统来模拟 相对复杂的系统，实现仿真研究。
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非线性环节微分方程的线性化
2、非线性元件（环节）微分方程的线性化 在经典控制领域，主要研究的是线性定常控制系
统。如果描述系统的数学模型是线性常系数的微分 方程，则称该系统为线性定常系统，其最重要的特 性： （1）线性叠加原理：系统的总输出可以由若干个输 入引起的输出叠加得到。 （2）均匀性原理：输入输出域内保持比例因子不变
[解]：据基尔霍夫电路定理：
ui
L
R
i
C
uo
ui 输入
uo 输出
L
di dt
Ri
1 C
idt
ui
①
uo
1 C
idt
②
由②：i C d，uo代入①得： dt
LC
d 2uo dt 2
RC
duo dt
uo
ui
这是一个线性定常二阶微分方程。
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控制系统的微分方程
例如对一个微分方程，若已知初值和输入值，对微分方程 求解，就可以得出输出量的时域表达式。据此可对系统进行 分析。所以建立控制系统的数学模型是对系统进行分析的第 一步也是最重要的一步。
控制系统如按照数学模型分类的话，可以分为线性和非线 性系统，定常系统和时变系统。
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在工作点附近用泰勒级数展开，取前面的线性项。可以得到
等效的线性环节。
设具有连续变化的非线性函数为:y=f(x)， y
若的取某一平。衡A点状附态A(近为x0,有工y0点作) 点，如下图中y0
为 B(x x, y y) ，当x 很小时，
y0
y0
B y f (x) A
AB段可近似看做线性的。
0 x0 x0 x x
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线性系统微分方程的编写步骤
3.线性系统微分方的编写步骤： ⑴确定系统和各元部件的输入量和输出量。
⑵对系统中每一个元件列写出与其输入、输出量有关的物理 的方程。 ⑶对上述方程进行适当的简化，比如略去一些对系统影响小 的次要因素，对非线性元部件进行线性化等。 ⑷从系统的输入端开始，按照信号的传递顺序，在所有元部 件的方程中消去中间变量，最后得到描述系统输入和输出关 系的微分方程。
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数学模型的几种表示方式
数学模型
时域模型
频域模型
频率特性，波特图
复域模型
状态空间模型
1传递函数2 结构图－信号流图
1、微分方程－输入量和状态变量都是连续的 2、差分方程－离散系统
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常用的数学模型有微分方程，传递函数，结构图，信号 流图，频率特性以及状态空间描述等。
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非线性环节微分方程的线性化
若描述系统的数学模型是非线性（微分）方程，则相应
的系统称为非线性系统，这种系统不能用线性叠加原理。在
经典控制领域对非线性环节的处理能力是很小的。但在工程
应用中，除了含有强非线性环节或系统参数随时间变化较大
的情况，一般采用近似的线性化方法。对于非线性方程，可
互关系的数学表达式叫做系统或元件的数学模型。
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建立控制系统数学模型的方法
分析法——对系统各部分的运动机理进行分析，物理 规律、化学规律
实验法——人为施加某种测试信号，记录基本输出响 应。
输入（已知） 黑匣子
输出（已知）
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