基本模型： K: 表示第几周； ω(k):表示第k周的体重； C(k):表示第k周吸收的热量； α:表示热量转换系数[α =1/8000(kg/kcal)]; β:表示代谢消耗系数（因人而异）
体重变化基本方程
w(k + 1) = w(k ) + αc(k + 1) − β ' w(k )
其中β’= β+ β1 β1为增加运动时的代谢消耗系数， 由运动的形式和 增加运动时的代谢消耗系数， 增加运动时的代谢消耗系数 时间决定. 时间决定
再确定甲运动后的代谢消耗系数β1 经调查一下各项运动每小时每公斤体重消耗的热量： 自行车(中速 游泳(50米 分 中速) 跑步 跳舞 乒乓 自行车 中速 游泳 米/分) 7.0 3.0 4.4 2.5 7.9 记表中热量消耗γ，每周运动时间 ， 记表中热量消耗 ，每周运动时间t，利用增加运动 后的基本模型，其中β’=β+β1， β1=αγt,即 后的基本模型，其中 即 ， ω(k+1)=ω(k)+αc(k+1)-(β+ αγt )ω(k) 试取β 试取 1=αγt=0.003，即 γt=24 ， 则β’=0.028
αcmin αcmin = (1 − β ' ) [ w(k ) − ]+ β' β'
n
n −1
]
已知ω(k)=81, α, β’, cmin，求ω(k+n)=75，由上式得：
75=0.972n(90-45)+45 解得n=7,即每周吸收热量保持在下限，再过7 周就可减至75kg
第三阶段： 若要维持75kg的体重，最简单的方案是找出 每周吸收热量保持某常数c,使ω(k)不变。 由上式 ω(k+1)=ω(k)+αc(k+1)-(β+ αγt )ω(k) ω=ω+αc-(β+ αγt ) ω
问题分析：
1 通常，人体重的变化是由于体内的能量守恒遭到 破坏。人通过饮食吸收热量并转化为脂肪等，导致 体重增加；又由于代谢和运动消耗热量，引起体重 减少。 2 做适当的假设就可以得到体重变化的关系。 3 减肥应不伤身体，这可以用吸收热量不要过少， 减少体重不要过快来表达
1. 2.
3. 4.
模型假设： 体重增加正比于吸收的热量， 体重增加正比于吸收的热量，平均每 8000kcal增加 增加1kg（1kcal=4.2kj）； 增加 （ ）； 正常代谢引起的体重减少正比于体重， 正常代谢引起的体重减少正比于体重，每 周每公斤体重消耗热量一般在 200kcal~320kcal，且因人而异； ，且因人而异； 运动引起的体重减少正比于体重， 运动引起的体重减少正比于体重，且与运 动形式有关； 动形式有关； 为了安全与健康， 为了安全与健康，每周体重减少不宜超过 1.5kg,每周吸收热量不少于 每周吸收热量不少于10000kcal 每周吸收热量不少于
建立模型：
某甲体重100千克，目前每周吸收20000千卡 千克，目前每周吸收 某甲体重 千克 千卡 热量，体重维持不变。现欲减肥至75千克 千克。 热量，体重维持不变。现欲减肥至 千克。
减肥计划：
在节食加运动的情况下，分为三阶段 第一阶段：每周减肥1Kg,每周吸收热量逐渐 减少，直至达到安全下限（10000Kcal） 第二阶段：每周吸收热量保持下限，持续运 动，体重减至75Kg，减肥成功 第三阶段：保持减肥成果
第二阶段：要求每周吸收热量保持下限cmin，由基 本模型得 ω(k+1)=ω(k)+α cmin - β ’ω(k) =（1- β’）ω(k)+ α cmin 要得到减至75kg所需周数，可将上式递推得
w(k + n) = (1 − β ' ) w(k ) + αcmin [1 + (1 − β ' ) + K + (1 − β ' )
模型求解： 先确定甲不运动时的代谢消耗系数β。 根据已知条件c=20000kcal, α =1/8000,ω=100kg不变，由基本模型得 ω= ω+αc- βω 推出 β=0.025 这相当于每周每公斤体重消耗热量 20000/100=200kcal。从假设2知，甲的代谢 消耗很弱，所以吃得多必将导致他变胖
α
[ β ' w(k ) − b]
根据α,β’,b, cmin已知，取β1=0.03 β ’=0.028， 有 C(k+1)=14400-224k≥ cmin=10000 得 k ≤19.6,即第一重每 周减1kg，至第19周末可减至81kg
数学建模——减肥计划
数学三班 许小红 单厚荣 张茜佳 仙洋 冶青兰 罗静
问题描述： 在国人初步过上小康生活以后，不少自感肥 胖的人纷纷奔向减肥食品的柜台。可是大量 事实说明，多数减肥食品达不到减肥的目的， 或者即使能减肥一时，也难以维持下去。许 多医生和专家意见是，只有通过控制饮食和 运动，才能在不伤害身体的条件下，达到减 轻体重并维持下去的目的。
C=(β+αγt)ω/α 若不运动β1= αγt=0，得c=15000kcal； ， ； 若运动， 若运动，则c=16800kcal
减肥建议
节食加运动能有效减肥，节食时间周期长， 在第一阶段就运动减肥会更快达到预期目标。 通过改变β’，缩短减肥的时间，改变运动的 方式和时间是不错的减肥方式。
第一阶段： 第一阶段： 要求每周体重减少b=1kg,吸收热量减至下限 要求每周体重减少 吸收热量减至下限 cmin=10000kcal,即 即
ω(k)- ω(k+1)=1, ω(0)- ω(k)=bk
ω(k+1)=ω(k)+αc(k+1)- β ’ω(k)
c(k + 1) =
1
β' b = w(0) − (1 + β ' k ) α α