对微分方程
d dr
??r ?
dH dr
?? ?
?
0
进行积分，得r：dH ?
通过任一断面的流量相等，并等于抽水量Qdr，
C1
所以 Q ? K(2?rM ) dH
dr
r dH ? Q
得： dr 2?KM
Q
C1 ? 2?KM
即，
dH ?
Q
1 dr
2?KM r
将上式分离变量，得：
? ? H0 dH ? Q R 1 dr
(4)井径和水井内外的水位降深
一般抽水井有三种类型：未下过滤器、下过滤器 和下过滤器并在过滤器外填砾。如图。
1) 未下过滤器的井：井的半径就是钻孔的半径， 井壁和井中的水位降深一致。
2) 下过滤器的井：井的直径为过滤器的直径，井 内水位比井壁水位低。
井损：水流流经过滤器的水头损失和在井内部水 向上运动至水泵吸水口时的水头损失统称为井损。
上二式为 Dupuit 公式。
对于无限含水层，可以当作似稳定处理， R取从抽 水井到明显观测不出水位降深处的径向距离。
但是，对于无限含水层，难以确定 R。当有一个观 测孔时，可用一个观测孔的水位或降深。
H
?
hW
?
Q
2? KM
ln
r rW
或
Qr
sw ? s ? 2?KM ln rW
同理得，有两个观测孔时
2) 抽水前的地下水面是水平的，并视为稳定的；
3) 含水层中的水流服从 Darcy定律，并在水头下降 的瞬间水就释放出来。如有弱透水层，则忽略其弹 性释水量。
3.2 地下水向承压水井和潜水井的稳定运动
3.2.1承压井的Dupuit公式
在上假设条件的基础上，将含水层视为半径为 R 的圆形岛状含水层，在 R处为定水头 H0。
2) 在有垂向补给的无限含水层中，随着降落漏斗 的扩大，垂向补给量不断增大。当它增大到与抽水 量相等时，将形成稳定的降落漏斗，地下水向井的 运动也进入稳是状态。
3) 在没有补给的无限含水层中，随着抽水时间的 延长，水位降深的速率会越来越小，降落漏斗的扩 展越来越慢，在短时间内观测不到明显的水位下降， 这种情况称为似稳定状态，也称似稳定。
这时，水流有如下特征：
① 水流为水平径向流，即流线为指向井轴的径向 直线，等水头面为以井为共轴的圆柱面，并和过水 断面一致；
② 通过各过水断面的流量处处相等，并等于井的 流量。
上述条件下，给出的数学模型为：
d
? ?
r
dH
? ?
?
0
dr ? dr ?
H r?R ? H0
H r ? rw ? hW
求解模型：
(3) 抽水井附近观测孔的水位
水平的承压含水层：
完整井：水流基本上水平，同一地点不同深度上 的观测孔内的水位也一致。
不完整井：水流不再水平，等势线呈弯曲状，同 一地点不同深度上的观测孔内的水位不同，降深也 不同。
潜水含水层：
无论是完整井还是非完整井，有无均匀入渗，其 等势线非铅直线，在同一铅直面上，不同深度上的 观测孔的水位是不一致的。
3) 过滤器周围填砾的井：井周围的渗透性增大， 水力坡度变小，所以降深变小。但是，井损还存在。 这种条件下，井的半径应用有效井半径。
有效井半径 ：是由井轴到井管外壁某一点的水平 距离。在该点，按稳定流计算的理论降深正好等于 过滤器外壁的实际降深。
(5) 假设条件
本章以后几节中共有的假设条件：
1) 含水层均质、各向同性，产状水平，厚度不变， 分布面积很大，可视为无限延伸；
对于潜水含水层，抽水量主要来自含水层的疏干 量；对于承压水，抽水量主要靠含水层的弹性释水量 来供给。所以，在没有其它补给源时，地下水向井的 运动始终处于非稳定状态。
(2)抽水时，地下水能达到稳定运动的水文地质条 件
1) 在有侧向补给的有限含水层中，当降落漏斗扩 展到补给边界后，侧向补给量和抽水量平衡时，地 下水向井的运动便可达到稳定状态。
或
H2
?
H1
?
Q
2?KM
ln
r2 r1
s1 ?
s2
?
Q
2? KM
ln
r2 r1
此式为 Thiem 公式。
水头方程：
联立方程
H0
?
hW
?
Q
2? KM
ln
R rW
Qr
H
?
hW
?
2?KM
ln rW
(2)/(1) 解得：
ln r
H
?
hw
?
?H0
?
hw ?
ln
rw R
rw
此式为稳定井流井附近的承压水水头分布方程。
hW
2?KM r rW
按给出的定解条件取定积分：
积分得：H 0
?
hW
?
Q
2? KM
ln
R rW
整理，得
QR
sw ? 2?KM ln rW
或
Q ? 2.73 KMsw
R
lg
rw
式中： sw—— 井中水位降深；
Q ——抽水井流量；
M —— 含水层厚度；
K —— 渗透系数；
r w—Байду номын сангаас 井的半径； R —— 影响半径。
?K r
? ? 按给出的定解条件取定积分： H 0 dh2 ? Q R 1 dr
?
hW
求解模型： 对微分方程
d dr
? ??? r
dh 2 dr
? ???
?
0
dh 2
进行积分，得： r dr ? C1
通过任一断面的流量相等，并等于抽水量 Q，所以
Q ? K (2?rh) dh ? ?rK dh2
dr
dr
得：
dh 2 r?
Q
dr ?K
即，
C1
?
Q
?K
将上式分离变量，得：
dh2 ? Q 1 dr
第3章 地下水向完整井的稳定运动
3.1 概 述
3.1.1水井的类型 根据水井井径的大小和开凿方法，分为管井和筒井
两类。
管井：直径通常小于 0.5m，深度大，常用钻机开凿。 筒井：直径大于 1m，深度浅，通常用人工开挖。 根据水井揭露的地下水类型，水井分为潜水井和承 压水井两类。
根据揭露含水层的程度和进水条件不同，可分为完 整井和不完整井两类。
与流量和渗透系数无关。
3.2.2潜水井的Dupuit公式
(1)假设条件：
在第一节假设条件的基础上，再做如下假设：
1) 流向井的潜水流是近似水平的；
2) 通过不同过水断面的流量处处相等，并等于井的 流量。
(2) 数学模型及其解
d dr
???? r
dh 2 dr
???? ?
0
h r? R
?
H0
h r ? rw
完整井 ：水井贯穿整个含水层，在全部含水层厚度 上都安装有过滤器，并能全面进水的井。
不完整井 ：水井没有贯穿整个含水层，只有井底和 含水层的部分厚度上能进水的井。如图。
3.1.2井附近的水位降深
(1) 水位降深
水位降深 ：初始水头减去抽水 t时间后的水头，也 简称降深。用 s表示。
降落漏斗 ：抽水时，井中心降深最大，离井越远， 降深越小，总体上形成的漏斗状水头下降区。