再施行逆变换可求得其解为：
其中，
s

Q
4 T
W

u,
r B

W
u,Biblioteka r B
1
e

y

4
r2 B2
y
dy
uy
u r2
4Tt
(4-33) (4-34)
有关推导过程请参阅文献[2]。(4-33)式为Hantush和
Jacob于1955年建立的有越流补给的承压水完整井公式。其
厚的；
(2)含水层中水流服从Darcy定律； (3)虽然发生越流，但相邻含水层在抽水过程中水头保持不 变(这在径流条件比较好的含水层中不难达到)； (4)弱透水层本身的弹性释水可以忽略，通过弱透水层的水 流可视为垂向一维流；
(5)抽水含水层天然水力坡度为零，抽水后为平面径向流； (6)抽水井为完整井，井径无限小，定流量抽水。
（2）抽水中期，因水位下降变缓而开始偏离Theis曲线， 说明越流已经开始进入抽水含水层。
这时，抽水量由两部分组成：一是抽水含水层的弹性 释水，二是越流补给， r2 值由零进入有限值，即：
4 yB2
W

u,
r B



1

e
y

4
r2 B2
y
dy

uy
1e ydy W uy
出，有越流补给的s-t关系大致可分为三个阶段：
图4-11 越流潜水含水层的标准曲线
（1）抽水早期，降深曲线同Theis曲线一致。这表明越流尚
未进入主含水层，抽水量几乎全部来自主含水层的弹性释
水。在理论上，相当于
K1 m1
=0或B→∞，W

u,
r B
→W（u）此
时和Theis曲线一致。
标准曲线组中又反映出，r
The piezometric surface was horizontal prior to pumping
The well is pumped at a constant rate
The well is fully penetrating
Water removed from storage is discharged instantaneously with decline in head
第四章 地下水向完整井的非稳定运动
MULTIPLE AQUIFERS
Distorted scale!!
1
2009-11
第四章 地下水向完整井的非稳定运动
• §4-1 承压含水层中的完整井流 • §4-2 有越流补给的完整井流 • §4-3 有弱透水层弹性释水补给和越流补给
的完整井流 • §4-4 潜水完整井流
The Hantush-Jacob solution has the following assumptions:
The aquifer is leaky and has an "apparent" infinite extent
The aquifer and the confining layer are homogeneous, isotropic, and of uniform thickness over the area influenced by pumping
r 2 r r B2 T t
相应的定解条件为：
s 0 t 0
0r
s 0 r
lim
r0

r
s r



Q 2T
t 0
t0
(4-29)
(4-30) (4-31) (4-32)
对方程（4-29）施行Hankel变换，于是原定解问题变为常微 分方程的初值问题，可以很容易地求得它的特解。
图4-9 有越流补给时承压含水层中的完整井
第3章探讨了这种情况下的稳定运动(图3-9)。 现在进而探讨这种情况下的非稳定运动。研究时采用了和
研究稳定运动时相同的地质模型(图3-9)和假设，即： (1)越流系统中每一层都是均质各向同性，无限延伸的第一 类越流系统，含水层底部水平，含水层和弱透水层都是等
The well diameter is small, so well storage is negligible
Leakage through the confining layer is vertical and proportional to the drawdown
The head in any un-pumped aquifer(s) remains constant
Storage in the confining layer is negligible
Flow is unsteady.
在上述假设条件下，根据微分方程(1-83)，把水头化为以降深 表示，并改用柱坐标，于是有越流补给的抽水含水层中地 下水运动的基本方程为：
2s 1 s s s
• 天地不可一日无和气， • 人心不可一日无喜神。
§4-2有越流补给的完整井流
4.2.1 基本方程 在第1章中，我们曾谈到在越流含水层中抽水时会发生
越流。有时，人们把这种系统，包括越流含水层、弱透水 层和相邻的含水层(如果有的话)称为越流系统(图1-30)。
越流系统通常可以划分为三种类型: 第一越流系统是不考虑弱透水层弹性释放、忽略补给层 水位变化的越流系统； 第二越流系统是考虑弱透水层弹性释放、不考虑补给层 水位变化的越流系统； 第三越流系统是不考虑弱透水层弹性释放、考虑补给层 水位变化的越流系统。
u
因此，越流含水层的降深小于无越流含水层的降深，而 且随 K1 增大(即 r 越大)，越流含水层的降深比无越 流含水m1层的降深小B得越多。
中W

u,
r B

，为不考虑相邻弱透水层弹性释水时越流系统的
井函数，其值列于教材表4-5中。
4.2.2 公式讨论
1) 降深-时间曲线的形状
s
将（4-33）式写成无量纲降深形式：
Q
4T
W

u,
r B

根据表4-5的井函数表，绘制
W

u,
r B


1 u
曲线（图4-11).曲线反映
B
不同时，与Theis曲线吻合的
时 （间即也Br不越一小样）。，在同其T他he条is曲件线一一定致时的，过如程果就越越流长系。数这mK1说1 越明小，
弱透层透水性越小，厚度越大，阻力越大，越流进入抽水层
的时间越晚。当弱透水层透水性无限小时，在有限的抽水时
间内，可能没有明显的越流反映，而同Theis曲线相一致。