b x 叫做双曲线的渐近线；双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交
.
a
【高清课堂： 双曲线的性质 356749 知识要点一、 3】
要点五：双曲线两个标准方程几何性质的比较
标准方程
x2 y2 a2 b2 1 (a 0, b 0)
y2 x2 a2 b2 1 (a 0, b 0)
图形
焦点
性 质
焦距 范围 对称 性
方程
Ax
2
+By
2
=C
可化为
Ax 2
C
By 2
x2
C 1，即 C
A
y2 1， C B
所以只有 A 、 B 异号，方程表示双曲线。
CC
当
0,
0 时，双曲线的焦点在 x 轴上；
AB
C
当
0, C
0 时，双曲线的焦点在
y 轴上。
AB
要点诠释：
1. 当且仅当双曲线的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，双曲线的方程才是标准方 程形式。此时，双曲线的焦点在坐标轴上。
3. 若常数 a 满足约束条件： PF1 PF2 2a F1 F2 ，则动点轨迹是以 F1、 F2 为端点
的两条射线（包括端点） ；
4．若常数 a 满足约束条件： PF1 PF2 2a F1F2 ，则动点轨迹不存在； 5．若常数 a 0 ，则动点轨迹为线段 F1F2 的垂直平分线。
要点二：双曲线的标准方程
系数，如果 x2 项的系数是正的，那么焦点在 x 轴上；如果 y 2项的系数是正的，那么焦点在 y
轴上。
4. 对于双曲线， a 不一定大于 b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在
哪一条坐标轴上。
要点三：求双曲线的标准方程
①待定系数法：由题目条件确定焦点的位置，从而确定方程的类型，设出标准方程，再
e 表示，记作 e
2c
c
；
2a a
由 c2=a2+b2，可得 b a
c2 a2 a2
( c )2 1 a
e2 1 ，所以 b 决定双曲线的开口大小， a
b 越大， e 也越大，双曲线开口就越开阔。所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度； a
③等轴双曲线 a b ，所以离心率 e 2 .
渐近线
我们把直线 y
做双曲线的实半轴长， b 叫做双曲线的虚半轴长 .
要点诠释：
①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆；
②双曲线的焦点总在实轴上；
③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线 .
离心率
①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用
②因为 c＞a＞ 0，所以双曲线的离心率 e c 1 ； a
要点一：双曲线的定义
在平面内， 到两个定点 F1 、F2 的距离之差的绝对值等于常数 2a（ a 大于 0 且 2a F1F2 ）
的动点 P 的轨迹叫作双曲线 .这两个定点 F1 、 F2 叫双曲线的焦点， 两焦点的距离叫作双曲线的
焦距 . 要点诠释：
1. 双曲线的定义中， 常数 2a 应当满足的约束条件： PF1 PF2 2a F1F2 ，这可以
由条件确定方程中的参数 a 、 b 、 c 的值。其主要步骤是 “先定型，再定量 ”；
②定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。
要点诠释： 若定义中 “差的绝对值 ”中的绝对值去掉， 点的集合成为双曲线的一支， 先确定
方程类型，再确定参数 a、b，即先定型，再定量。若两种类型都有可能，则需分类讨论
2. 双曲线标准方程中， a、 b、 c 三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身所确定的，
分别表示双曲线的实半轴长、 虚半轴长和半焦距长， 均为正数， 且三个量的大小关系为： c＞a，
c＞ b，且 c2=b 2+a2 。
3. 双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看
x2、 y2 的
借助于三角形中边的相关性质 “两边之差小于第三边 ”来理解；
2. 若去掉定义中的 “绝对值 ”，常数 a 满足约束条件： PF1 PF2 2a F1F2 （ a 0 ），
则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点 F2 的一支； 若 PF2 PF1 2a F1F2 （ a 0 ），则动点
轨迹仅表示双曲线中靠焦点 F1 的一支；
双曲线 x 2 a2
y2 b2
1 （ a＞ 0，b＞ 0）是以 x 轴、 y 轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点
为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心
.
顶点
①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点；
②双曲线
x2
2
y2 2 1 （ a＞ 0，b＞ 0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标
ab
分别为
A 1（ -a， 0）， A 2（ a，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点；
③两个顶点间的线段 A 1A 2 叫作双曲线的实轴；设 B 1（ 0， -b），B2（0， b）为 y 轴上的两
个点，则线段 B 1B 2 叫做双曲线的虚轴。实轴和虚轴的长度分别为
|A1A 2|=2a， |B1B2|=2b。 a 叫
.
【高清课堂： 双曲线的性质 356749 知识要点二】 要点四：双曲线的简单几何性质
x2 y2 双曲线 a 2 b2 1 （ a＞ 0，b＞ 0）的简单几何性质
范围
双曲线上所有的点都在两条平行直线 点的横坐标满足 x≤-a 或 x≥a.
对称性
x=-a 和 x=a 的两侧，是无限延伸的。因此双曲线上
F1( c,0) ， F2 (c,0)
2
2
| F1F2 | 2c (c a b )
{ x x a或x a} ， y R
F1 (0, c) a b )
{ y y a或y a} ， x R
【学习目标】
双曲线
编稿：李霞
责编：张林娟
1. 掌握双曲线的定义和标准方程；
2. 能利用双曲线的定义和标准方程解决简单的实际问题
.
3. 理解双曲线的对称性、范围、定点、离心率、渐近线等简单性质
.
4. 能利用双曲线的简单性质求双曲线的方程 .
5. 能用双曲线的简单性质分析解决一些简单的问题
.
【要点梳理】
双曲线的标准方程：
x2 1. 当焦点在 x 轴上时，双曲线的标准方程： a 2
y2 b2
1 (a
0, b 0) ，其中 c2
a2 b2 ；
y2 2. 当焦点在 y 轴上时， 双曲线的标准方程： a2
x2 b2
1 (a
0,b
0) ，其中 c2
a 2 b2 .
方程
Ax
2
+By
2
=C
（
A
、
B
、
C
均不为零）表示双曲线的条件