你能在2分钟内打开5位码的密码箱吗?
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例2 袋中装有 个球，其中有 白球和 个黑球，从中任取 问所取的球中恰含有 个黑球的概率。
个 个，
个白球和
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解：设 A=“所取的球中恰含有 和 个黑球” 个白球
A事件的取法为： 而样本空间的基本事件总数为 ：
所以
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称此为超几何分布公式 此例可推广到
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例3 将 只球随机地放入 个盒子中去，每球放入各盒等可能， 试求下列事件的概率： ① ② ③
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解：(1) 这是一个古典概型问题， 由于每个球可落 入 个盒子中的 任一个盒子，故有
种不同放法(重复排列）
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事件Ａ中样本点数取决于ｎ个球 放入ｎ个盒子中的顺序，故Ａ包 含的样本点数为：
所以
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(2) 事件B与事件A的差异仅在于各 含一球的n个盒子没有指定，所以 B的样本点数为：
所以
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(3) 下面我们来求 事件 C所含样
袋中有 个白球， 个彩球， 从中逐一摸出，试求第 次摸得彩 球的概率。
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解：将
只白球和 只彩球都看作
不同的（设想将其编号）若把摸出 的球依次排列在 个空格内， 则可能的排列法相当于把 元素进行全排列，总数为 个
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又设
=“第 k 次摸得彩球的概率” 则第 个空格内可以是 个彩球中 的任一个，共有 种结果,其余 个球在余下的 个空 格内进行任意排列,共有 种排列。
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这种试验是概率论发展早期
研究对象，称古典概型。 古典概型的计算公式：
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计算事件A的概率，关键在于弄
清楚什么是样本点，样本空间中包含
样本点的总数以及A所包含的样本点
数，当样本点较多时，很难将它们一
一列出，需用排列、组合的知识进行
分析。
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二 、排列组合公式 ①从 数为： 个不同元素中取出 个元素 且考虑其顺 序称为排列，其排列总
则称这个随机试验 为几何型随机
或称几何概型， 称为
的样本空
间，（可以是一维区间、二维区域、
三维区域，它们通常用长度，面积、
体积来度量大小）
A
S
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定义：设 是一几何概型， 为它 的样本空间， 且A是可度量的， 以 、 分别表示 S 和 A 的 度量。
设 A=“随机点落在区域A内” 则 称为事件A发生的
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3）对任何事件A有
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4）若 则 且 证：由
A B
，
而 故
S
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移项即得:
又 故
本点数，我们先取m个球放入指 定盒中，共有 种取法，然 后再把剩下的（n-m）个球任意 放入其余（N-1）个盒中,放法有 种，
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根据乘法原理可得C的样本点数为：
所以 注：有不少实际问题与(2)有相同模型
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例如：假设每人的生日在一年365
天中的任一天是等可能的，即都
为： ，则随机选取
个人，它们的生日各不相同的概
生的概率为p。
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四、概率的公理化定义
由于古典定义，几何定义局限 于等可能性，统计定义试验次数的 不确定性，使用现代数学工具的不 便性，限制了概率论的发展，这就 必须给出更一般的，既能概括前三 种定义，具有一般性，又能使用现 代数学工具，这就产生了概率的公 理化定义。
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（一）公理化定义：设
是随机试
率问题，可以将365天看作盒子 ， 个人看作
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个球。
设A=“n个人生日各不相同”
故所求概率为： （生日各不相同的概率） 所以 个人中至少有两人生日 相同的概率为：
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经计算可得下述结果：
从表中可看出，在仅有64人的班 级里“至少有两人生日相同”这 事件的概率与1相差无几。
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例4 公平抽签问题：
性大小, 因此在大量重复试验中 常用频率作为概率的近似值.
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2、频率的稳定性，例如抛硬币(验 证出现正面的概率占0.5，打字机
键盘设计，信息编码(使用频率较
高的字母用较短的码), 密码的破 译。
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3、概率的统计定义 如果随着试验次数 事件A发生的频率在区间 的增大， 上某
个数字p附近摆动，则称事件A发
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② 从 个元素中取出 个元素，而 不考虑其顺序，称为组合，其组合 的总数为：
6
三、举 例
例1 有一号码锁上有6个拨盘，每个 拨盘有 才能将锁打开。 十个数字，给定 一个6位数字暗码，只有拨对号码时，
问：“一次就能打开”的概率是多
少？
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解：样本空间中样本点总数为 设 A=“一次就把锁打开” A所含样本点数
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y
我们关心的事件是 A=“甲乙将会面”
T
t 0 t
T
x
如图 A是正方形S中夹于直线 与直线 间的部分。
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中
由几何概率的计算公式得
y
T t 0 t T x
注意t与T的关系
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三、 概率的统计定义 1、频率：设事件A在 次试验中
出现了 为 次，则称
次试验中事件A出现的频率。 频率能反映事件A发生的可能
验，
是
的样本空间，对于
E的每一事件A，赋于一实数， 称为事件A的概率，记为 并规定 公理：
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必须满足下列三条
1）非负性：
2）规范性：
3）可列可加性：若事件 两两互不相容即 则
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（二） 基本 性质
1）
由公理3）
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2） 有限可加性:若 两两互不相容， 即
则 令 由公理3）及1) 可得 有限可加性
概率，并称为几何概率。
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例:约会问题 甲乙二人约定在[0，T] 时段内去某地会面，规定先到者等 候一段时间 再离去，试求 事会面地
点的时间，则样本点是坐标平面上 一个点 ，而样本空间 是边长为 T的正方形，由于二人到达时刻的任 意性，样本点在S中均匀分布，属几 何概型。
1.2
随机事件的概率
对于一个随机事件来说，在一
次试验中可能发生，也可能不发生， 我们希望有一个能刻划随机事件发 生的可能性大小的数量指标，即概 率，以 表示事件A的概率 。
1
一、概率的古典定义 定义2.1 满足以下两个特征的随 机试验称为古典概型。 （1）有限性：试验E的样本空间 中只有有限个样本点 如： （2）等可能性：每个基本事件出现 的可能 性相同，即：
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所以事件
包含的样本点数为
所以
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二、 概率的几何定义 古典概率局限于试验结果的有
限性，对许多试验结果无限的情况，
有时可用几何的方法来解决（注意
这里也要求等可能性）。
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几何概型 向某一可度量的区域 内投一 点，如果所投的点落在 中任意区
域 内的可能性大小与
正比，而与 试验。
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的度量成
的位置和形状无关，