《不等式》专题复习知识回顾一．不等式的主要性质：(1)对称性： (2)传递性：(3)加法法则： (同向可加) (4)乘法法则：(同向同正可乘)(5)倒数法则： (6)乘方法则： (7)开方法则：2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论）3、应用不等式性质证明不等式]二．解不等式1.一元二次不等式()00或022≠<++>++a c bx ax c bx ax 的解集：2、简单的一元高次不等式的解法：（穿根法）其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正； （2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶不过；（3）根据曲线显现()f x 的符号变化规律，写出不等式的解集。

()()()如：x x x +--<112023；3、分式不等式的解法（转化为常规不等式）()()0()()0()()0;0()0()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩注意：右边不是零时，先移项再通分，化为上两种情况再处理4、不等式的恒成立问题：应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <。

三、线性规划1、用二元一次不等式（组）表示平面区域2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法：定点法3、线性规划的有关概念：①线性约束条件 ②线性目标函数③线性规划问题 ④可行解、可行域和最优解：4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤： （1）寻找线性约束条件，列出线性目标函数； \（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）依据线性目标函数作参照直线a x +b y ＝0，在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解四．均值不等式1．若a,b ∈R ,则a 2+b 2≥2ab ,当且仅当a=b 时取等号.2．如果a,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab ba变形： ① a+b ≥ab 2；②ab ≤22⎪⎭⎫⎝⎛+b a , 当且仅当a=b 时取等号.注：（1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．)（2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等”3.常用不等式有：（12222211a b a b ab a b++≥≥≥+(根据目标不等式左右的运算结构选用) ； （2）a 、b 、c ∈R ，222a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时，取等号）；（3）若0,0a b m >>>，则b b ma a m+<+（糖水的浓度问题）。

典例剖析题型一：不等式的性质1. 对于实数c b a ,,中，给出下列命题： …①22,bc ac b a >>则若； ②b a bc ac >>则若,22；③22,0b ab a b a >><<则若； ④ba b a 11,0<<<则若；⑤baa b b a ><<则若,0； ⑥b a b a ><<则若,0；⑦b c b a c a b a c ->->>>则若,0； ⑧11,a b a b>>若，则0,0a b ><。

其中正确的命题是______题型二：比较大小（作差法、函数单调性、中间量比较，基本不等式）2. 设2a >，12p a a =+-，2422-+-=a a q ，试比较q p ,的大小'3. 比较1+3log x 与)10(2log 2≠>x x x 且的大小-4. 若)2lg(),lg (lg 21,lg lg ,1ba Rb a Q b a P b a +=+=⋅=>>，则R Q P ,,的大小关系是 .题型三：解不等式5. 解不等式；6. 解不等式2(1)(2)0x x -+≥。

7. 解不等式25123xx x -<---8. 不等式2120ax bx ++>的解集为{x|-1＜x ＜2}，则a =_____, b=_______9. 关于x 的不等式0>-b ax 的解集为),1(+∞，则关于x 的不等式02>-+x bax 的解集为______10. 解关于x 的不等式2(1)10ax a x -++<…题型四：恒成立问题11. 关于x 的不等式a x 2+ a x +1＞0 恒成立，则a 的取值范围是_____________12. 若不等式22210x mx m -++>对01x ≤≤的所有实数x 都成立，求m 的取值范围.,13. 已知0,0x y >>且191x y+=，求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值范围。

三．基本不等式}题型五：求最值14. （直接用注正数）求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x2（2）y ＝x ＋1x15. （配凑项）（1）已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

"（2）当时，求(82)y x x =-的最大值。

16. 求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。

【注意：在应用均值不等式求最值时，若等号取不到，应结合函数()a f x x x=+的单调性。

17. 求函数224y x =+的值域。

18. （条件不等式）（1） 若实数满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是 .（2） 已知0,0x y >>，且191x y+=，求x y +的最小值。

—（3） 已知x ，y 为正实数，且x 2＋y 22＝1，求x 1＋y 2 的最大值.（4） 已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1ab的最小值./题型六：利用基本不等式证明不等式19、已知a , b 都是正数，并且a b ，求证：a 5 + b 5 > a 2b 3 + a 3b 219. 正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，求证：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc》16．（12分）设a >0, b >0，且a + b = 1，求证：225)1()1(22≥+++b b a a ．~题型七：均值定理实际应用问题：20. 某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200m 2的三级污水处理池（平面图如图），如果池外圈周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建筑单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元，池壁的厚度忽略不计，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价。

、。

四.线性规划题型八：目标函数求最值21. 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>≤-+≤-+0,087032y x y x y x ，求目标函数y x k +=3的最大值：22、已知实系数一元二次方程2(1)10x a x a b +++++=的两个实根为1x 、2x ,并且102x <<,22x >．则1ba -的取值范围是23、已知,x y 满足约束条件：03440x x y y ≥⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩ ,则222x y x ++的最小值是 }24、已知变量230,330.10x y x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩满足约束条件若目标函数z ax y =+（其中a>0）仅在点（3，0）处取得最大值，则a 的取值范围为 。

:25、已知实数x y ，满足121y y x x y m ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩，，．如果目标函数z x y =-的最小值为1-，则实数m等于（ ）]题型九：实际应用22. 某饼店制作的豆沙月饼每个成本35元，售价50元；凤梨月饼每个成本20元，售价30元。

现在要将这两种月饼装成一盒，个数不超过10个，售价不超过350元，问豆沙月饼与凤梨月饼各放几个，可使利润最大又利润最大为多少#·】}易错点剖析1、抓住两边结构进行合理转化 抓住两边结构进行转化是不等式应用的重要一环，根据结论与条件，要想促使结论与条件的“沟通”，必须仔细分析结构特点，选用恰当的不等式或变式；例1、正数a 、b 满足 b a +=1， )1)(1(++b a 的最大值 。

分析（1）本题是求“积”的最大值，常规是向“和”或“平方和”转化，并根据“和”或“平方和”是否是定值，做出选择。

（2）要利用b a +=1，就必须去掉根号，因此要向“平方和”转化，那么应用变式①也就顺理成章了。

解：∵ 232)1()1()1)(1(=+++≤++b a b a ， 当且仅当 ⎩⎨⎧=++=+1)1()1(b a b a 即21==b a 时取得“=”。

∴ )1)(1(++b a 的最大值是 23，例2、已知正数a 、b 满足 b a +=1， 求 22)1()1(+++b a 最小值；分析：将条件与结论放在一起，可以看出，要想从条件式推出结论式，必须完成从“和”向“平方和”的转化；若从结论入手转化，再利用条件，就必须完成从“平方和”向“和”的转化。

显然，不管是由条件推出结论还是由结论转化再利用条件，都离不开变式④。

解：∵)(222b a b a +≤+，∴ ])1()1[(2)1()1(22+++≤+++b a b a≤⇒3])1()1[(222+++b a 29)1()1(22≥+++⇒b a ，当且仅当21==b a 时取得“=’。

∴ 22)1()1(+++b a 最小值是29。

注：转化中必要的“技术处理” 对均值不等式的应用，除了要会从结构入手分析外，必要的“技术处理”还必须掌握如： “配系数”（将“x ”写成“x 221⨯”或“x 212⨯”）；“拆项”（将“1332+++x x x ”写成“111)1(++++x x ”）； …“加、减凑项”（将“x ”写成“ 1)1(-+x ” ）；“升降幂” （2)(,0a a a =>） 等都是常用的“技术处理”方法。

例3、 已知 0,0>>b a ，求证：b a ab b a +≥+ 分析：从结构特点和字母的次数看与变式⑤吻合，可从此式入手。

解：∵ 若b>0,则b a b a -≥22， ∴ b a ba -≥2……① ab ab-≥2……② ∴由 ① + ② ⇒ b a a b b a +≥+。