20世纪60年代末，两人开始合作研究期权的定价问 题,并找到了建立期权定价模型的关键突破点,即构造一 个由标的股票和无风险债券的适当组合(买入适当数量的 标的股票,同时按无风险利率借入适当金额的现金)。该 组合具有这样的特点,即无论未来标的资产价格如何变化, 其损益特征都能够完全再现期权在到期日的损益特征。
r(t
,
S
)
0
（7）
(T, ST ) h(ST )
为要套期保值此期权,投资者必须卖空 2 (t, S) 股此股票
下面求复制期权的证券组合 期权价格的分解：
Ct
nt St
Ct
nt St St0
St0
由此可知证券组合（portfolio）(nt ,
Ct
nt St St0
)
是自融资证券组合
(四) 方程（7）解的概率表示
其中
d1
1
T
log
S K
(
1 2
2
)T
,
d2 d1 T
是期权价格的平均增长率。
1969年，他又与其研究生Merton合作，提出了把 期 权价格作为标的股票价格的函数的思想。
我们可以看到，所有这些公式都与后来的BlackScholes公式有许多相似的地方。
在1973年Black和Scholes提出Black—Scholes期权 定价模型.
Deltac Ct St N (d1)
从而 Deltac 可以近似地表示为：
C0 exp{r(t1 t0)}C1 S0 expr(t1 t0)S1
期权组合而言，其Delta值为：
nii
二、 标的资产价格对期权价值的二阶影响
Gamma指的是期权Delta对于股票价格的一阶偏导数,也就 是期权价值对于股票价格的二阶偏导数。买权Gamma的计 算公式为：
Vegac
Ct
St (T t)1 2 N (d1)
Hale Waihona Puke 由买权价值与卖权价值可知卖权Vega与买权Vega完全相同
Vega p Vegac
当期权处于平价状态时，其Vega值较大； 当期权处于较深的盈价或亏价状态时， 相应的Vega值较小。 因此，期权Vega随变化的曲线是一个倒U形。
五、到期时间长短对期权价值的影响
C 18(0.997) 14.6296(0.996) 3.3749
更精确的计算可得: C 3.3714
2. 金融资产的定价问题
金融资产的定价问题(asset valuation)是现代财务 金融理论的一个基本问题。
对于具有固定现金流的金融产品、如债券等金融工具， 其价格都是通过净现值方法来确定的。
注⒉ 设Call option和Put option的价格分别为
C t 和 Pt ，则有
e Ct Pt St X r(Tt)
第二节 期权价值的敏感性因素分析
影响期权价值的因素一共有五个， 即标的资产市场价格St、执行价格X、无风险利率r、 距离到期日时间T-t和标的资产价格的波动率。
一、 标的资产价格变化对期权价值的一阶影响 通常用Delta来表示期权价值对标的资产价格St变动 的敏感性。
C(S,T ) e T SN (d1 ) (1 A)KN (d2 )
其中
d1
1 T
log
S K
(
1
2
2 )T ,
d2 d1 T
是股票价格的平均增长率，
A是对应的风险厌恶程度。
(3) 博内斯 ( Boness, 1964)
1964年，Boness将货币时间价值的概念引入到期权 定价过程，但他没有考虑期权和标的股票之间风险水平 的差异。
Black和Scholes得到了描述期权价格变化所满足的 随机偏微分方程，即所谓的B—S方程。
从而得出了期权定价模型的解析解,这就是B—S模型。
Merton也对期权定价理论和实践的发展做出了独立的 和开创性的贡献,他几乎在与Black和Scholes同一时间,得 到了期权定价模型及其他一些重要的成果。
第三，假设股票的期望报酬(即股价变化的平均值)为零， 这也违背了股票市场的实际情况。
(2) 斯普伦克莱 ( Sprenkle ,1961) 在Bachelier的研究基础上,人们对期权定价问题进行 了长期的研究。
1961年Sprenkle提出了“股票价格服从对数正态分布” 的基本假设，并肯定了股价发生随机漂移的可能性。
二、Black-Scholes期权定价公式
（一）基本假设：
1. 股票价格满足的随机微分方程中,,为常数; 2. 股票市场允许卖空; 3. 没有交易费用或税收; 4. 所有证券都是无限可分的; 5. 证券在有效期内没有红利支付; 6. 不存在无风险套利机会; 7. 交易是连续的; 8. 无风险利率为常数.
第九章 期权定价公式及其应用
第一节Black-Scholes期权定价公式 一、引言
1. Black-Scholes公式 经典的Black-Scholes期权定价公式是 对于欧式股票期权给出的。其公式为
C(S,T ) SN (d1 ) KerT N (d 2 ),
其中T是到期时间，S是当前股价，C(S,T )
e 2 dy
2
图1 期权价格曲线随到期时间T的变化
Black-Scholes公式的方便之处在于除股价的 波动率外，其他参数都是直接在市场上可以找到的。
例如,如果这里价格以元计,时间以年计,从而涉 及的两个比率都指的是年率。那么（以下的等号实 际上都是近似等号）
Ke rT 15e0.1(0.25) 14.6296
权的定价公式
C(S,T ) SN( S K ) KN ( S K ) T n( K S )
T
T
T
n是标准正态分布的密度函数
但他在建立模型时有3个假设与现实不符。
第一，假设标的股票的价格服从标准正态分布。这使得 股价出现负值的概率大于零，从而与现实明显不符。
第二，认为在离到期日足够远的时候,买权的价值可能大 于标的股票的价值，这显然也是不可能的。
(二) 股票价格的轨道 在通常情况下，假设股票价格St满足下列随机微分方程：
dSt St t dt t St dwˆt （1)
dSt0 St0rt dt
wˆ 为概率空间 (, t , P) 上的Brownian运动
(三) 期权套期保值 寻找期权定价公式（函数）的主要思想：
构造以某一种股票以及以该股票为标的的期权的一个证 券组合，所构造的证券组合正好是一个无风险资产的复制。
T
(t,
x)
E
p
[e
t
rs
ds
h(
y (t ,x) T
)
t
]
(x,t) R [0,T ]
(五) Black-Scholes 公式
定理 1 a)股票价格设所满足的方程（1）中的系数均为常数,
则期权价格由下式给出：
T
(t, St ) EQ[et rsdsh(ST ) t ]
e h(S e ) r(T t)
命题 1 设 Ct (t, St ) 为期权现价格(t时刻的价格),
函数 (t, x) 关于t一阶连续偏导数,关于x二阶连续有界 偏 导数,且满足终值条件：
CT (T , ST ) h(ST )
则 (t, S) 是下列偏微分方程的解：
1 2
2
S
222
(t,
S
)
rS2
(t,
S
)
1(t,
S
)
是作为当前股价和到期时间的函 数的欧式买 入期权的价格.
1 S
2
d1
T
log
K
(r
2
)T
d2 d1 T
K是期权的执行价格，r是无风险证券的（瞬时）
收益率， 称为股价的波动率{volatility ,这是一个
需要测算的参数}
N称为累积正态分布函数，定义为
N(d) 1
d y2
⑵ Gamma与st的关系。当期权处于平价状态附近（也就 是在附近），其Gamma相对比较大；当期权处于较深的 亏价或盈价状态时,其Gamma接近于零。
⑶ Gamma与时间变量T-t的关系。如果期权处于平价状 态,在其他因素不变的情况下,其Gamma值随着到期日的 临近而变大。
三、 无风险利率对期权价值的影响
T t y( 1 2 r )(T t )
2 t
1
y2
e 2 dy
2
证明：a) (1)
由于
St
所满足的方程(1)中的系数为常数，
由 S t所满足的随机微分方程可得到,S t 的显示表达式：
(2)
由条件期望性质可得a)的结果。
(3)
对看涨期权（Call option）由于 h(s) (s X )
对于期权来讲，其风险究竟有多大?如何计算出相应 的风险溢价以及未来的现金流? 这都是较为难解决的问题。
3. Black-Scholes公式发展过程
(1) 巴列切尔公式 ( Bachelier 1900)
法国 数学家 Bachelier· Louis,在其博士论文 《The Theory of Speculation》中首次给出了欧式买
由于到期时间的临近,期权的时间价值下降,这就造成 期权的价格下降。
时间价值的消耗用Theta表示，买权Theta的定义为
Ct T t
Thetac St N(d1) [2 T t 1 2 ] rXer(Tt) N(d2 )
可令 为执行集（exercise set）：
Q(1 (g) t ) Q( )
Q(d)
注⒈ Black-Scholes公式不仅告诉我们Call option的 价格,且以证券组合的形式给出：