第八章非线性系统分析8-1 概述一、教学目的和要求了解研究非线性系统的意义、方法，常见非线性特性种类。

二、重点非线性概念，常见非线性特性。

三、教学内容：1 非线性系统概述非线性系统运动的规律，其形式多样，线性系统只是一种近似描述。

（1）非线性系统特征—不满足迭加原理1)稳定性：平衡点可能不只一个，系统的稳定性与系统结构参数、初始条件及输入有关。

2)自由运动形式，与初条件，输入大小有关。

3)自振，自振是非线性系统特有的运动形式，它是在一定条件下，受初始扰动表现出的频率，振幅稳定的周期运动。

（2）非线性系统研究方法1)小扰动线性化处理（第二章介绍）2)相平面法-----分析二阶非线性系统运动形式3)描述函数法-----分析非线性系统的稳定性研究及自振。

2、常见非线性因素对系统运动特性的影响：1）死区：(如：水表，电表，肌肉电特性等等)饱和对系统运动特性的影响：进入饱和后等效K ↓⎪⎩⎪⎨⎧↓↑↓↓，快速性差限制跟踪速度，跟踪误统最多是等幅振荡）（原来不稳，非线性系振荡性统一定稳定）原来系统稳定，此时系(%σ死区对系统运动特性的影响：⎪⎩⎪⎨⎧↓↓↑↓动不大时）］此时可能稳定（初始扰［原来不稳定的系统，，振荡性声，提高抗干扰能力差），能滤去小幅值噪跟踪阶跃信号有稳态误等效%(e K ssσ 可见：非线性系统稳定性与自由响应和初始扰动的大小有关。

2） 饱和(如运算放大器，学习效率等等)3） 间隙：(如齿轮，磁性体的磁带特性等)间隙对系统影响：1) 间隙宽度有死区的特点----使ss e ↓2) 相当于一个延迟τ时间的延迟环节,%σ→↑ 振荡性减小间隙的因素的方法：(1)提高齿轮精度 ； (2)采用双片齿轮； (3)用校正装置补偿。

5） 摩擦(如手指擦纸) 摩擦引起慢爬现象的机理改善慢变化过程平稳性的方法1)2)3)⎧⎪⎨⎪⎩、良好润滑、采用干扰补偿、增加阻尼，减少脉冲，提高平衡性摩擦对系统运动的影响：影响系统慢速运动的平稳性6)继电特性：对系统运动的影响：1)K (2K %3)ss e σ⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎧↑⎪⎪⎪⎧↓⎨⎨⎪⎨⎪⎪↓⎪⎩⎩⎪⎪⎪⎪⎩一、二阶系统可以稳定、理想继电特性　等效： 一般地，很多情况下非线性系统会自振带死区))、带死区继电特性　等效： 快态影响（死区+饷）的综合效果振荡性、一般继电特性：除3、2中听情况外，多出一个延迟效果（对稳定性不利）8-2 相平面法一、教学目的和要求：掌握相平面概念及分析方法。

二、重点相平面法。

三、教学内容：1 相平面法基础(适用于二阶系统) 1）相平面 相轨迹二阶非线性系统运动方程：()[(),()]x t f x t x t =――定常非线性运动方程[,][,]dx dxf x x dx dtdx f x x dx x⋅==（1）相平面：由)(1x x 为横坐标，)(2xx 为纵坐标的直角坐标平面，称为相平面或状态平面。

（2）相轨迹：由))()((12x f xx f x == 在相平面上描绘的曲线叫做相轨迹； （3）相变量（状态变量）：独立变量21x x 、（或)(),(t x x x ）叫做相变量。

（4）相平面图：根据不同初始条件所描绘的相轨迹曲线的集合（曲线族），叫做相平面图。

（5）奇点或平衡点：即当同时满足021==xx （或0,0==x x ）解出的点称为奇点。

在奇点处，速度和加速度都为0，因此系统处于平衡状态（即静止状态）。

奇点是所有相轨迹曲线分离或汇合的点。

（6）极限环：当系统出现等幅振荡时，其相轨迹为一闭合的曲线，此称之为极限环。

2、相轨迹的绘制方法三种方法（1）解析法（2）图解法 1.解析法解析法就是用求解微分方程的办法找出)(t x和)(t x 的关系，从而在相平 面上绘制相轨迹。

有两种方法。

（1）消除参变量t直接从方程),(x x f x=解出)(t x ，再由)(t x 求出)(t x ，消除)(t x ,)(t x 中的t ，即得x与x 的关系。

（2）直接积分：因为 dxxd x dt dx dx x d dt x d x=⋅==故 ),(x x f x =可写成),(x x f dxx d x = 若该式可分解为dx x h x d xg )()(= 则dx x h x d xg xx xx)()(00⎰⎰= 找出x与x 的关系，其中00,x x 为初始条件。

例8-1 已知系统的微分方程02200(0)0(0)122()x m x x x x mx mtMt t x M x x +====-=-=--0对积分得再积分x-x =-消去中间变量，得2.相轨迹绘制的等倾斜线法： 系统方程为：(,)dxx x f x x dx=⋅=-(,)dx f x x dx xα=-=令相轨迹的斜率 得出等斜线方程：(,)f x x x αα⎧=-⎨=⎩相平面上此方程对应曲线点上的相轨迹斜率为等值　给定不同的α值，画出不同的等斜线，在上面画出斜率等于相应α的短线，可以构成相轨迹切线的方向场。

由此可画出非线性运动的相轨迹。

例 8-2 微分方程为 001=++x a x a x绘制出来的相轨迹曲线。

因为：x a x a x 01--=即xxa a dx x d 01--=令 α=dxxd ， 则α=--x x a a 01 ，此方程称为等倾线方程。

由此可求得：α+-=10a a x x令 K x x= ，则Kx x =令 1,110==a a 当1-=α 时，有-∞=+-=11αK4511,0-=-=-===ββtg dxxd Kx x当2-=α时43.63,2,2,1-=-=-===ββtg dxxd x xK当0=α 时,0,0,1==-=-=ββtg x xK当∞=α 时,90,0==βx设A xx ==)0(,0)0( 则得相轨迹曲线如图右所示。

3、线性系统的相轨迹研究相平面法的重要意义不在于用这种方法能够求出某一特定的解，即某一给定初始条件下的一条相轨迹，而是在于通过相平面的研究不必求解微分方程，即可确定全部解的性质。

而全部解的性质又是由奇点和可能存在的极限环所决定。

为了便于研究和掌握，可以从线性系统开始，通过对线性二阶系统的研究，可以得出一些有关奇点和极限环的结论，然后推广到非线性系统。

设线性二阶系统如图右所示。

若0)(≥t r ，则描述系统自由运动的微分方程为：022.=++∙∙∙C C C n n ωξω求出特征根为：22.11ξωξω-±-=n n j S相轨迹方程： 为 cc c dc cd n n 22ωξω--=令 α=dccd 得等倾线方程αωξω=--cc cn n 22即 c c cn n βαξωω=+-=22式中αξωωβ+-=n n 22是等倾线的斜率。

设不同的α求出不同的β绘出若干等倾线，并在等倾线标出表示相轨迹切线斜率的α值短线，形成相轨迹的切线方向场，然后从不同的初始条件出发绘制出相轨迹。

1.奇点类型奇点：00==dx x d α的点叫奇点，相轨迹由奇点离开或趋近。

在奇点处，,0=x 0=x即系统处于静止状态，不再运动。

不满足,0=x0=x的点叫普通点。

奇点可分成六种类型。

1).稳定焦点：当特征根为一对具有负实部的共轭交根时，如图８－９和图８－１１所示，对应于0<ξ<1；2)不稳定焦点：当特征根为一对具有正实部的共轭复根时，如图８－１２所示，对应于－１<ξ<0；3)稳定节点：特征根具有两个负实根，如图８－１３和图８－１４所示，对应于ξ≥1；4) 不稳定节点：特征根具有两个正实根，如图８－１５所示，对应于ξ<－1； 5)中心点：特征根为一对虚根，如图８－１６所示，对应于ξ＝0；6)鞍点：特征根为一对正、负的实根，如图８－１７所示，对应于正反馈系统； 线性二阶系统只有一个平衡点，故只有一个奇点。

如果系统的相轨迹入已知，根据图根据平衡状态的类型，从而分析出系统的运动规律。

2.奇点的求法对于非线性系统可能有多个奇点。

确定出奇点后，如何确定奇点附近相轨迹的形状，近而得到系统性能的信息呢？设微分方程： ),(x x f x所描述的是非线性系统，只要),(x x f 是解析的，即只在奇点附近很小的区域内，将其线性化处理+=)(),(0,0x x f xx f +-=∂∂)(),(00x x x x xxx f +-∂∂)(),(0x x xxx f 式中（),00xx 为奇点略去高次项，只取一次近似式，即得奇点附近的增量方程 xxxx f x x x x x f x ∆∆∆∂∂+∂∂=),(),(0 因为在奇点处，0),(,0===x x f xx，所以上式中 ),()(),(0,0x x f x x f x x f x=-=∆ 0x x x -=∆ x x x x=-=0∆ 将上式写成x x xx f x x x x x f x∂∂+∂∂=),(),(0这样即可求出奇点附近相轨迹的形状。

应用线性二阶系统的结果，可以确定出奇点的类型。

并知道它在奇点附近具有什么样的性质。

例8-2已知非线性系统的微分方程式为025.02=+++x x x x,试求奇点，并绘制出相平面图。

解： x x x x dx xd 225.0---=令0=dx xd 由0=x 和025.02=---x x x 得奇点0,2,0,02211=-===x x xx 因 225.0),(x x x x x f x ---==故()222),(0,0-=--=∂∂x xxx f5.0),()0,0(-=∂∂xx x f()222),(0,2=--=∂∂-x xx x f5.0),()0,2(-=∂∂-xx x f于是在奇点（0,0）的邻域内，可得线性化方程025.0=++x x x特征根为 398.125.02,1j s ±-=,故该奇点为稳定焦点；在奇点（－2，0）的邻域内，得线性化方程025.0=++x x x特征根为19.11=s 和 69.12-=s ，该奇点为鞍点据此分析 可以绘出大致的相轨迹图形 ，如图右所示。

3. 奇线奇线就是特殊的相轨迹，最常见的是极限环。

极限环所对应的是系统的自振现象，在相平面上表现为一条孤立的封闭曲线。

它把相平面分成环内和环外两不分，内外的相轨迹可能是趋近它，也可能是离开它。

因此根据这一情况可以把极限环分为不同的类型。

（1）稳定极限环当t →∞时，环内外的相轨迹都卷向极限环。

环内的相轨迹发散至极限环，为不稳定区域。

环外的相轨迹收敛于极限环，为稳定区域。

系统的运动为稳定的等幅持续震荡，对这种系统希望环越小越好，以使震荡变小或在允许范围内,如图所示。

（2）不稳定极限环当t→∞时，环内外的相轨迹都卷离极限环，称不稳定极限环，如图右所示。