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第七章 采样控制系统分析基础
2、两个环节没有采样开关时
rt
r*t G1s
G2s
Y (z) G(z) R(z) G1G2 (z)
y*t yt
当串联环节之间无采样开关时,系统脉冲传递函 数为各串联环节传递函数乘积的z变换。
G1G2 (z) G1(z)G2 (z)
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第七章 采样控制系统分析基础
对于线性采样系统, 不能直接应用劳斯判据, 因为劳斯判据只能判断系统特征方程式的根是否 在s平面虚轴的左半部, 而采样系统中希望判别的 是特征方程式的根是否在z平面单位圆的内部。
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第七章 采样控制系统分析基础
因此, 必须采用一种线性变换方法,使z平面上的 单位圆映射为新坐标系的虚轴。这种坐标变换称为 双线性变换, 又称为W变换。
第七章 采样控制系统分析基础
应该指出，多数实际采样系统的输出信号是连 续信号，在这种情况下，可以在输出端虚设一个采 样开关，并设它与输入采样开关以相同的采样周期 T同步工作。
这样就可以沿用脉冲传递函数的概念。
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第七章 采样控制系统分析基础
脉冲传递函数和连续系统的传递函数一样表 征了采样系统的固有特性；
系统输出
Y
(
z
)
G1G2
(
z
)
E
(
z)
1
G1G2 (z) G1G2H (
z
)
R(
z
)
闭环系统的误差脉冲传递函数
E(z)
1
Ge (z) R(z) 1 G1G2H (z)
闭环系统脉冲传递函数为
GB (z)
Y (z) R(z)
G1G2 (z) 1 G1G2H (z)
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第七章 采样控制系统分析基础
注意, 因z=eTs是超越方程, 故不能将特征方程式变 换为代数方程。令
z w1 w 1
则 w z 1 z 1
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第七章 采样控制系统分析基础
令复变量 z=x+jy w=u+jv
代入双线性变换公式得
u
jv
x x
jy jy
1 1
( x2 y2 1) 2 yj ( x 1)2 y2
j s平 面
jπ T
0
－
j
π T
Im z平 面
π T
－1 π 0
T
＝ 1 Re
图 s平面上虚轴在z平面上的映像
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第七章 采样控制系统分析基础
3）稳定条件
对于采样控制系统, 其特征方程式为 1+GH(z)=0
系统的特征根为z1,z2, …, zn即为闭环脉冲传递函数 的极点。
对于w平面上的虚轴, 实部u=0, 即
x2+y2-1=0 这就是z平面上以坐标原点为圆心的单位圆的方程。单
位圆内x2+y2＜1, 对应于w平面上u为负数的虚轴左半部;
单位圆外x2+y2＞1, 对应于w平面上u为正数的虚轴右半
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第七章 采样控制系统分析基础
根据以上分析可知, 闭环采样系统稳定的充 分必要条件是: 系统特征方程的所有根均分布在 z平面的单位圆内, 或者所有根的模均小于1, 即 |zi|＜1(i=1, 2, …, n)。
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第七章 采样控制系统分析基础
4）线性采样系统劳斯判据
Z
G(s)
1
G(s)
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• 对于有些采样控制系统，无法写出闭环脉冲传 递函数只能写出输出的Z变换
Rs
Y s Gs Hs
Y
z
1
RG z HG z
Rs
G1s Hs
Ys
G2s
Y
z
RG1 zG2
1 G1G2H
z z
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7.5 采样控制系统的性能分析
7.5.1 采样控制系统的稳态性能分析
1）稳定性的基本概念 • 稳定性是指在扰动的作用下，系统会偏离原来
的平衡位置，在扰动撤除后，系统恢复到原来 平衡状态的能力； • 根据稳定性的定义，可以采用脉冲响应的情况 来研究系统的稳定性；
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第七章 采样控制系统分析基础
它除了与系统的结构、参数有关系，还与采 样开关在系统中的具体位置有关。
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第七章 采样控制系统分析基础
二、串联环节的脉冲传函
1、两个环节有采样1*t G2s
y*t yt
根据脉冲传递函数的定义：
G(z)
Y (z) R(z)
G1(z)G2 (z)
当环节之间有采样开关时，等效脉冲传递函数为 各串联环节脉冲传递函数之积。
3、有零阶保持器时的开环系统脉冲传递函数
rt
r* t
Gh
s
1
eTs s
Gs
y* t yt
a)
rt r*t
1
Gs
s
eTs
y* t yt
b)
有零阶保持器时的开环采样系统
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第七章 采样控制系统分析基础
有零阶保持器时，开环系统脉冲传递函数
G(z) Y (z) (1 z 1)Z[Gp (s)]
当系统有扰动作用时 ,可得闭环系统的误差与扰动间 的脉冲传递函数为
E(z) G2H (z) D(z) 1 G1G2H (z)
系统输出与扰动之间的脉冲传递函数
Y (z) D(z)
G2
(z)
G1G2 (z)G2H (z) 1 G1G2H (z)
由于系统中有采样器的存在，所以一般情况下
G(z) 1 G(z)
• 系统的脉冲响应如果能够衰减到0，则系统是 稳定的；
• 否则系统是不稳定的。
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2） s平面与z平面的映射关系
Z变换称为采样拉氏变换, 它是从拉氏变换直 接引申出来的一种变换方法。
为了把连续系统在s平面上分析稳态性能的结 果移植到z平面上分析离散系统的稳态性能,首先需 要研究这两个复平面的关系。
X (z)
s
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三、闭环系统的脉冲传递函数
dt d*t
rt
et
e*t G1s
G2 s
H s
y* t yt
E(z) R(z) B(z) B(z) E(z)G1G2H (z)
R(z) E(z)
1 G1G2H (z)
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第七章 采样控制系统分析基础
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第七章 采样控制系统分析基础
z eTs , s j
z eT , arg z T 2 s
• S平面的左半平面 ，0 z的幅值在0和1之间
变化，对应z平面单位圆内；
• S平面的虚轴 ，0对应z平面的单位圆；
• 当 由
变 到s
2
时， s
2
z
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