2018年一模汇编——函数专题一、知识梳理【知识点1】函数的概念与函数三要素【例1】设函数2log ,0()4,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则((1))f f -= . 【例2】函数11,02()1,0x x f x x x⎧-≥⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩，若()f a a >，则实数a 的取值范围是 .【知识点2】函数的奇偶性【例1】已知()f x 、g()x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()g()2xf x x x -=+，则(1)g(1)f += .【例2】已知函数()121x f x a =-+为奇函数，求实数a 的值.【知识点3】函数的单调性【例1】已知定义在(2,2)-上的函数()f x 满足()()f x f x -=-，且在(2,2)-上单调递增， 若(2)(12)0f a f a ++->，求a 的取值范围.【例2】如果定义在R 上的函数()f x 满足：对于任意12x x ≠，都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +>+，则称()f x 为“H 函数”。

给出下列函数：①1y x =+；②21y x =+；③1x y e =+；④000ln x x y x ⎧≠=⎨=⎩，其中“H 函数”的序号是 .【知识点4】函数的最值与恒成立有解问题【例1】函数)(4)2(2)2()(2R a x a x a x f ∈--+-=且0)(<x f 在)3,1(∈x 上恒成立。

求a 的取值范围.【例2】已知()22ax xf x x=-（a 为常数），221()x g x x +=，且当1x 、2[1,4]x ∈时，总有12()()f x g x ≤，则实数a 的取值范围是 .【知识点5】函数的零点【例1】设是定义在R 上的偶函数，对任意x R ∈，都有且当时，1()()12x f x =-.若函数()()log (2)(1)a g x f x x a =-+>在区间(]2,6-恰有3个不同的零点，则a 的取值范围是 .【例2】已知函数()()()()21010x x f x f x x -⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，若方程()f x x a =+有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是 .()f x (2)(2),f x f x -=+[2,0]x ∈-【知识点6】函数的对称性和周期性【例1】已知b a ,是常数，0ab ≠，若函数3()arcsin 3f x ax b x =++的最大值为10，则)(x f 的最小值为__________．【例2】函数()y f x =是最小正周期为4的偶函数，且在[]2,0x ∈-时，()21f x x =+，若存在12,,,n x x x L 满足120n x x x ≤<<<L ，且()()()()()()122312016n n f x f x f x f x f x f x --+-++-=L ，则n n x +最小值为 .【知识点7】反函数【例1】若点(8,4)在函数()1log a f x x =+图像上，则()f x 的反函数为 ______________.【例2】若函数()2log 1x a f x x -=+的反函数的图像过点()2,3-，则a =_______.【知识点8】幂指对方程【例1】方程22log (95)2log (32)x x -=+-的解x = . 【例2】方程lg(34)1x +=的解x = .【知识点9】新定义【例1】在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，若函数()y f x =的图像恰好经过k 个格点，则称函数()y f x =为k 阶格点函数，已知函数：①2y x =；②2sin y x =；③1x y π=-；④cos()3y x π=+；其中为一阶格点函数的序号为 ___________.（注：把你认为正确的序号都填上） 【例2】设函数y f x =（）的定义域为D ，如果存在非零常数T ，对于任意x ∈D ，都有•()f x T T f x +=（），则称函数y f x =（）是“似周期函数”，非零常数T 为函数y f x =（）的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题：① 如果“似周期函数”y f x =（）的“似周期”为﹣1，那么它是周期为2的周期函数；② 函数f x x =（）是“似周期函数”； ③ 函数2xf x =﹣（）是“似周期函数”； ④ 如果函数f x cos x ω=（）是“似周期函数”，那么“k k Z ωπ=∈，”． 其中是真命题的序号是 ．（写出所有满足条件的命题序号）【知识点10】函数综合【例1】已知二次函数()24f x ax x c =-+的值域为[)0+∞，. （1）判断此函数的奇偶性，并说明理由；（2）判断此函数在2,a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；（3）求出()f x 在[)1+∞，上的最小值()g a ，并求()g a 的值域.【例2】 如图，有一块平行四边形绿地ABCD ，经测量2,1BC CD ==百米百米，120BCD ∠=o ，拟过线段BC 上一点E 设计一条直路EF （点F 在四边形ABCD 的边上，不计路的宽度），将绿地分为面积之比为1︰3的左右两部分，分别种植不同的花卉，设EC x =百米，EF y =百米．（1）当点F 与点D 重合时，试确定点E 的位置；（2）试求x 的值，使路EF 的长度y 最短．二、一模真题汇编一、填空题1.已知，函数在区间上有最小值为且有最大值为，则实数a 的取值范围是________.2.若函数a x x f =)(的反函数的图像经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛41,21，则=a ________. 3.已知函数)(x f y =是奇函数，当0<x 时，ax x f x -=2)(，且2)2(=f ，则=a ________.4.给出函数2()g x x bx =-+，2()4h x mx x =-+-，这里,,b m x R ∈，若不等式()10g x b ++≤（x R ∈）恒成立，()4h x +为奇函数，且函数()()()()()g x x t f x h x x t ≤⎧=⎨>⎩恰有 两个零点，则实数t 的取值范围为 .5.若n （3n ≥，*n N ∈）个不同的点111(,)Q a b 、222(,)Q a b 、⋅⋅⋅、(,)n n n Q a b 满足：12n a a a <<⋅⋅⋅<，则称点1Q 、2Q 、⋅⋅⋅、n Q 按横序排列，设四个实数k 、1x 、2x 、3x使得312()k x x -，23x ，222x 成等差数列，且两函数2y x =、13y x=+图像的所有交点 111(,)P x y 、222(,)P x y 、333(,)Px y 按横序排列，则实数k 的值为 . 6.已知函数()1log a f x x =+，1()y f x -=是函数()y f x =的反函数，若1()y f x -=的图像过点(2,4)，则a 的值为 .7.已知函数()f x 是定义在R 上且周期为4的偶函数，当时[2,4]x ∈，43()|log ()|2f x x =-，则1()2f 的值为 . 8.关于函数||()|||1|x f x x =-，给出以下四个命题：①当0x >时，()y f x =单调递减且没有最值；②方程()f x kx b =+（0k ≠）一定有实数解；③如果方程()f x m =（m 为常数）有解，则解的个数一定是偶数；④()y f x =是偶函数且有最小值；其中假命题的序号是 .9.方程222log (2)log (3)log 12x x -+-=的解x = .10.函数()f x =的定义域为 .11.已知函数22log ()0()30x a x f x x ax a x +≤⎧=⎨-+>⎩有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是 . 13a >()lg(||1)f x x a =-+[0,31]a -0lg(1)a +12.已知函数()()(2)f x m x m x m =-++和()33x g x =-同时满足以下两个条件：① 对任意实数x 都有()0f x <或()0g x <；② 总存在0(,2)x ∈-∞-，使00()()0f x g x <成立；则m 的取值范围是 .13.若不等式1(1)(1)31n na n +--⋅<++对任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是 . 14. 已知函数()y f x =与()y g x =的图像关于y 轴对称，当函数()y f x =与()y g x =在区间[,]a b 上同时递增或同时递减时，把区间[,]a b 叫做函数()y f x =的“不动区间”，若区间[1,2]为函数|2|x y t =-的“不动区间”，则实数t 的取值范围是 .15.函数()lg(2)f x x =-的定义域是 .16.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，则(1)(0)(1)f f f -++= .17.设2()22x f x x a x b =+⋅+⋅，其中,a b N ∈，x R ∈，如果函数()y f x =与函数(())y f f x =都有零点且它们的零点完全相同，则(,)a b 为 .18.已知函数()21f x x =-的反函数是1()f x -，则1(5)f -= .19.已知函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，且在[0,)+∞上是增函数，若(1)(4)f a f +≤，则实数a 的取值范围是 .20.已知函数2()log ()f x x a =+的反函数为1()y f x -=，且1(2)1f -=，则实数a = .21.已知函数()|2|1f x x x a =--有三个零点，则实数a 的取值范围为 .22.定义(,)a a b F a b b a b≤⎧=⎨>⎩，已知函数()f x 、()g x 的定义域都是R ，则下列四个命题中为真命题的是 .（写出所有真命题的序号）① 若()f x 、()g x 都是奇函数，则函数((),())F f x g x 为奇函数；② 若()f x 、()g x 都是偶函数，则函数((),())F f x g x 为偶函数；③ 若()f x 、()g x 都是增函数，则函数((),())F f x g x 为增函数；④ 若()f x 、()g x 都是减函数，则函数((),())F f x g x 为减函数；二、选择题1.给出下列函数：①2log y x =；②2y x =；③||2x y =；④arcsin y x =.其中图像关于y 轴对称的函数的序号是（ ）A. ①②；B. ②③；C. ①③；D. ②④.2.“0t ≥”是“函数2()f x x tx t =+-在(,)-∞+∞内存在零点”的（ ）A. 充分非必要条件；B. 必要非充分条件；C. 充要条件；D. 既非充分也非必要条件.3.若函数(2)y f x =-的图像与函数3log 2y =的图像关于直线y x =对称，则()f x =（ ）A. 223x - ；B. 213x -；C. 23x ；D. 213x +.4.已知函数1202()12212x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩，且1()()f x f x =，1()(())n n f x f f x -=， 1,2,3,n =⋅⋅⋅，则满足方程()n f x x =的根的个数为（ ）A. 2n 个；B. 22n 个；C. 2n 个；D. 2(21)n -个.5.“0m >”是“函数()|(2)|f x x mx =+在区间(0,)+∞上为增函数”的（ ）A. 充分非必要条件；B. 必要非充分条件；C. 充要条件；D. 既非充分也非必要条件.6.定义在R 上的函数()f x 满足2201()4210x x x f x x -⎧+≤<=⎨--≤<⎩，且(1)(1)f x f x -=+，则 函数35()()2x g x f x x -=--在区间[1,5]-上的所有零点之和为（ ） A. 4； B. 5； C. 7； D. 8.7.设()f x 是定义在R 上的奇函数,当0x >时,()()1,0≠>+=a a b a x f x，若()f x 在R 上存在反函数，则下列结论正确是（ ）． A ．11a b >⎧⎨<-⎩或0110a b <<⎧⎨-<<⎩； B ．11a b >⎧⎨≥-⎩或⎩⎨⎧≥-≤<<0110b b a 或； C ．⎩⎨⎧-<<->121b a 或⎩⎨⎧-<<-<<5.0110b a ；D ．⎩⎨⎧-≤>21b a 或 ⎩⎨⎧<<-<<05.010b a .8.已知函数20()(2)0x x f x f x x ⎧≤=⎨->⎩，则(1)(2)(3)(2017)f f f f +++⋅⋅⋅+=（ ）A. 2017 ；B. 1513；C. 20172；D. 30252. 9.已知函数122|1|log (1)1()23x x x n f x n x m ----≤≤⎧⎪=⎨⎪-<≤⎩（n m <）的值域是[1,1]-，有下列结论：① 当0n =时，(0,2]m ∈；② 当12n =时，1(,2]2m ∈；③ 当1[0,)2n ∈时，[1,2]m ∈； ④ 当1[0,)2n ∈时，(,2]m n ∈； 其中结论正确的所有的序号是（ ）A. ①②；B. ③④；C. ②③；D. ②④.10.某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储存温度x （单位：℃）满足函数关系kx b y e+=（ 2.718e =⋅⋅⋅为自然对数的底数，k 、b 为常数），若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（ ）小时A. 22；B. 23 ；C. 24；D. 33.11. 已知()f x 是R 上的偶函数，则“120x x +=”是“12()()0f x f x -=”的（ ）A. 充分而不必要条件；B. 必要而不充分条件；C. 充分必要条件；D. 既不充分也不必要条件.三、解答题1. 如图所示，用总长为定值l 的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开.（1）设场地面积为y ，垂直于墙的边长为x ，试用解析式将y 表示成x 的函数，并确定这个函数的定义域；（2）怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？2. 已知函数1()ln 1x f x x+=-的定义域为集合A ，集合(,1)B a a =+，且B A ⊆.（1）求实数a 的取值范围；（2）求证：函数()f x 是奇函数但不是偶函数.3. 若存在常数)0(>k k ，使得对定义域D 内的任意)(,2121x x x x ≠，都有2121)()(x x k x f x f -≤-成立，则称函数)(x f 在定义域D 是“-k 利普希兹条件函数”。