2020年一模汇编——函数一、填空题【杨浦1】函数12()f x x -=的定义域为【答案】(0,)x ∈+∞【解析】12()f x x-==(0,)x ∈+∞ 【长宁，嘉定，金山2】方程27x =的解为 【答案】2log 7x =【解析】本题考察了对数的概念 【杨浦3】已知函数()f x 的反函数12()log fx x -=，则(1)f -=【答案】12【解析】因为21log 12=-，所以1(1)2f -= 【宝山3】函数)1(31<=-x y x 的反函数是 .【答案】1log 3+=xy ，]1,0(∈x 【解析】y x ,互换，13-=y x ⇒1log 3+=xy]1,0(∈x 【普陀5】设函数()log (4)(01)a f x x a a =+≠＞且，若其反函数的零点为2，则a =__________. 【答案】2【解析】反函数-1(2)0f =，有2(0)log (04)=log 2=2a a f =+，易知2a =【崇明5】函数()f x =的反函数是 ．【答案】12()1(0)fx x x -=-≥【解析】令1+=x y ,2211y x x y ∴=+⇒=-【徐汇5】 已知()y f x =是定义在R 上的偶函数，且它在[0,)+∞上单调递增，那么使得(2)()f f a -≤成立的实数a 的取值范围是【答案】(][),22,-∞-+∞【解析】由题，()y f x =是定义在R 上的偶函数，且它在[0,)+∞上单调递增，则()f x 在(],0-∞上单调递减，(2)()f f a -≤，则2a -≤，解得a 的取值范围是(][),22,-∞-+∞【闵行6】设函数22log (1)1()log 1x f x x --=，则方程()1f x =的解为【答案】2x = 【解析】22222log (1)1()=log (1)log log (1)1log 1x f x x x x x x --=-+=-=()()12100x x x x -=⎧⎪∴-⎨⎪⎩＞＞2x ∴= 【奉贤8】已知点()3,9在函数()1x f x a =+的图像上，则()f x 的反函数为()1f x -=__________. 【答案】()2log 1x -【解析】将点()3,9代入函数()1x f x a =+中得2a =，所以()12xf x =+，用y 表示x 得()2log 1x y =-，所以()1f x -=()2log 1x -【虹口8】设1()f x -为函数2()log (41)x f x =-的反函数，则当1()2()f x f x -=时，x 的值为_________. 【答案】1【解析】由于函数2()log (41)x f x =-的反函数为)12(log 4+=xy ，当1()2()f x f x -=， 即)12(log 2)14(log 42+=-xx，计算出1=x 【松江8】已知函数()y f x =存在反函数()-1y f x =，若函数()+2y f x =的图像经过点()16，，则函数()-12+log y f x x =的图像必过点__________. 【答案】()43，.【解析】()y f x =的图像过点()14，，()-1y f x =过点()41，，()-12+log y f x x =的图像过点()43，. 【普陀10】已知函数22()(815)()f x x x ax bx c =++++是偶函数，若方程21ax bx c ++=在区间[]1,2上有解，则实数a 的取值范围是_____________.【答案】11,83⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】函数整理为()()()()432()815815815f x ax a b x a b c x b c x c =+++++++++，因为函数是偶函数，需80a b +=，1580b c +=，即8b a =-，15c 158b a =-=，所以21ax bx c ++=可整理：281510ax ax a -+-=.令()28151g x ax ax a =-+-，对称轴4x =在区间[]1,2的右侧，可保证区间内函数()g x 单调，根据零点存在性定理：()()120g g ⋅≤，即()()81514161510a a a a a a -+-⋅-+-≤，易得11,83a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【崇明10】已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数．当01x <≤时，3(1)f x x ax =-+，则实数a 的值等于 ．【答案】2【解析】函数为奇函数，)()(x f x f -=-，当1-≤x <0时，1)(3--=ax x x f ， 函数周期为2，所以)1()1(f f =-，代入得2=a【黄浦10】已知函数()y f x =与()y g x =的图像关于直线y x =对称，若2()log (22)xf x x =++，则满足2()log 3()f x g x >>的x 的取值范围是 【答案】2(0,log 15)【解析】22223()log (22)log 3log (22)log 02x x x f x x x =++>⇒+>⇒>由题意得2()log (22)xf x x =++单调递增，故反函数单调递增，22(log 3)log 15f =， 112222log 3()log 3(log 15)()log 15g x f f x x -->⇒=>⇒<【青浦10】已知对于任意给定的正实数k ，函数()22x xf x k -=+⋅的图像都关于直线x m=成轴对称图形，则m = 【答案】21log 2k【解析】对任意的R x ∈，)()(x m f m x f -=+成立，故m x x m m x m x k k ----+⋅+=⋅+2222，整理得0)22)(22(=⋅----m m x x k ，所以022=⋅--m m k ，即k m 2log 21=. 【松江10】函数=ax by cx d++的图像如图，若图像经过()()0-1-4,3，，两点，且-1x =和2y =是其两条渐近线，则:::a b c d = __________. 【答案】2:-1:1:1.【解析】()==adb a adc cxd b ax b a c c c y dcx d cx d c x c-++-+=++++，由于-1x =和2y =是其两条渐近线，则12d ac c ==，，又函数图像经过()0-1，，所以-1b d=，所以:::2:-1:1:1a b c d =.【杨浦10】已知六个函数（1）21y x=；（2）cos y x =；（3）12y x =；（4）arcsin y x =；（5）1lg()1xy x+=-；（6）1y x =+，从中任选三个函数，则其中弃既有奇函数又有偶函数的选法有 种。

【答案】12【解析】奇函数有(4)(5)，偶函数有(1)(2)，所以一共有两奇一偶2种，一奇两偶2种，一奇一偶8种，合计12种 【杨浦11】已知函数1()1(0)f x x x=->，若关于x 的方程[]2()()230f x mf x m +++=有三个不相等的实数解，则实数m 的取值范围为 【答案】34(,]23m ∈-- 【解析】设()f x t =，则当(0,1)x ∈时，t 有两个解，当{}1[1,)x ∈⋃+∞时，t 有一个解，因为2230t mt m +++=有三个解，而一个一元二次方程最多两个解，因此这两个解一定一个在(0,1)，另一个在{}1[1,)⋃+∞，当另一个为1x =时，两根之积为0，此时32m =-，而两根之和不可能为32，矛盾，因此另一个在[1,)+∞，因此(0)0(1)0f f >⎧⎨≤⎩，即230340m m +>⎧⎨+≤⎩，所以34(,]23m ∈-- 【闵行11】若()|||3|f x x a x a =-⋅-，且[0,1]x ∈上的值域为[0,(1)]f ，则实数a 的取值范围是 【答案】10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】当0a =时，符合，当0a >时必有14104a a ≤⇒<≤当0a <时，()f x 单调递增，值域为()()()20,13,1f f a f ⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦，不符合【奉贤11】给出下列一组函数：()()212log +23f x x x =+、()()22ln 2+58f x x x =+、()()23lg 3+813f x x x =+、()()240.3log +7.46551713.931034f x x x =+，......，请你通过研究以上所给的四个函数解析式具有的特征，写出一个类似的函数解析式()2log a y Ax Bx C =++()0,1a a >≠：______________.【答案】()23log 4710y x x =++（答案不唯一） 【解析】()222,log 2610A CB y x x +==++【黄浦11】设函数()y f x =的定义域为D ，若对任意的1x D ∈，总存在2x D ∈，使得12()()1f x f x ⋅=，则称函数()f x 具有性质M ，下列结论：① 函数3y x x =-具有性质M ；② 函数35x x y =+具有性质M ；③若函数8log (2)y x =+，[0,]x t ∈具有性质M ，则510t =；④若3sin 4x ay +=具有性质M ，则5a =；其中正确结论的序号是 【答案】②③【解析】①函数3y x x =-，由于(0)0f =，故不成立 ②函数35x x y =+值域(0,)+∞，所以具有性质M ③函数8log (2)y x =+，[0,]x t ∈单调递增，1(0)3f =，故()3510f t t =⇒= ④若3sin 4x ay +=具有性质M ，则5a =±，故不成立 【松江11】若实数,0a b >，满足abc a b c =++，221a b +=，则实数c 的最小值为________.【答案】-【解析】法1（三角换元），令cos ,sin ,0,2a b πθθθ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭代入得cos sin sin cos 1c θθθθ+=-，再设sin cos t θθ=+，可知(t ∈所以222231312t t c t t t t ===----，在(t ∈上单调递减，故t =时c 最小，最小为-法2.根据对称式的形式，大胆猜测当2a b ==时c最小，代入得c =-【静安12】设0,,0,0a a M N >≠1>>，我们可以证明对数的运算性质如下：log log log log a a a a M N M N a a a MN +==，① log log log a a a MN M N ∴=+.我们将①式称为证明的“关键步骤”.则证明log log ra a M r M =（其中0,M r R >∈）的“关键步骤”为________.【答案】log log ra a M r M =【解析】log log ()a a M r M r r a a M ==,log log r a a M r M ∴=.【普陀12】若M N 、两点分别在函数()y f x =与()y g x =的图像上，且关于直线1x =对称，则称M N 、是()y f x =与()y g x =的一对“伴点”（M N 、与N M 、视为相同的一对）。