W
外
0
W非保内 0
机械能守恒
E E k E p 恒量
4、角动量定理 角动量守恒定律
角动量 冲量矩 力矩瞬时作用： 质点： 质点： 质点系： 角动量守恒
L r p r mv
t2 t1

M 0 dt
M合
力矩对时间累积作用： 角动量定理
dL dt
上节主要内容
质点的动能定理：
dW mvdv
1 1 2 2 W mv 2 mv1 Ek 2 Ek1 2 2
微分表示式 积分表示式来自质点系的动能定理：1 1 2 2 W外 W内 mi vi mi vi 0 2 2
保守力： 作功与路径无关，只与始末位置有关的力。
保守力作功的数学表达式
动量守恒
0
系统：
3.动能定理——描写力对空间累积作用的规律。 1 2 1 2 质点： F合 dr 2 mv 2 mv 0 质点系： 1 2 1 2 W外 W内 mi v i mi v i0 2 2 功能原理
W外 W非保内 (E k E p ) (E k0 E p0 )
B
N mg 4mgsin 2 4kR(1 cos )2 2Rk(1 cos )
力学（七）角动量守恒、综合练习 三， 1
mv 0 ( M m )v 1
1 1 2 2 mgh ( m M )v 1 mv 0 2 2
Mv0 h 2( M m ) g
m1 v10 m2 v 20 m1 v1 m2 v 2 v10 v20 v2 v1
(m1 m2 ) v10 2m2 v 20 v1 m1 m2 (m2 m1 ) v 20 2m1 v10 v2 m1 m2
(1) 如果m1= m2 ，则v1 = v20 ，v2 = v10，即两物体 在碰撞时速度发生了交换。 (2) 如果v20 =0 , 且 m2 >> m1, 则v1 = - v10, v2 = 0
W外 0 ， W非保内 0
E E k E p 恒量
机械能守恒定律
当系统只受保守内力作功时，质点系的总机 械能保持不变。
注意：
（1）机械能守恒定律只适用于惯性系，不适合于 非惯性系。这是因为惯性力可能作功。 （2）在某一惯性系中机械能守恒，但在另一惯性 系中机械能不一定守恒。这是因为外力的功与参 考系的选择有关。对一个参考系外力功为零，但 在另一参考系中外力功也许不为零。
2
设m 离 开 轨 道 时 速 度 为 v,小 车 的 速 度 为 V ， 则 在 入 射 到 离开小车的过程中
mv0 MV mv
1 1 1 2 2 mv 0 MV mv 2 2 2 2
( M m) v v0 M m
W外 W保内 W非保内 Ek 2 Ek1
W保内 E p 2 E p1

W外 W非保内 E k 2 Ep 2 Ek1 E p1
机械能
E Ek Ep
W外 W非保内 E2 E1
质点系的功能原理
质点系机械能的增量等于所有外力和所有非保 守内力所作功的代数和。 如果
保守力沿任何闭合路径作功等于零。
F dr 0
保守力的功与势能的关系：
保守力对物体作的功等于物体势能增量的负值。
Wab ( E pb E pa ) E p
四、机械能守恒定律
质点系的动能定理： 其中
W内 W外 Ek 2 Ek1
W内 W保内 W非保内
第二章 动力学基本定律小结
1.牛顿第二定律——描写力的瞬时作用规律。 F ma 2.动量定理——描写力对时间累积作用的规律。
F外 dt mv mv0
t
质点：
质点系：
F dt m v m v i i i i0 合外
F合外 0
M合外dt Li Li0
M合 dt L L0
M合外 0
注意： M、L 都是对点的！
L = 恒矢量
力学（四）功、势能 三、1、 (1) F 力作功 A ， 一直保持 1 F 与圆弧相切
A
y
F
30

C
x
F B 2 A1 F ds Fds Fs 30 94.2 J 2
R
0
Fy dy 40( 3 1) 29.2J
o
（ F F ' cos30 F F ' sin 30 ）
' x
' y
o
力学（五）动能定理 功能原理 机械能守恒 三、2、解 （1）小环下滑过程中，小环、弹簧、地球系统机械能 守恒，设B处重力势能为0
1 1 2 mgh mv k ( l ) 2 2 2
2．完全非弹性碰撞 由动量守恒定律
m1v10 m2 v20 (m1 m2 )v
m1 v10 m2 v 20 v m1 m2
完全非弹性碰撞中动能的损失
1 1 1 2 2 E ( m1 v10 m2 v 20 ) (m1 m2 )v 2 2 2 2
m1 m2 ( v10 v 20 ) 2 2(m1 m2 )
完全非弹性碰撞：碰撞后物体系统的机械能有损失， 且碰撞后物体以同一速度运动。
v10
m1
O
v 20
m2
v1
m m1 1
v2
m2
x
动量守恒
m1v10 m2 v20 m1v1 m2 v2
1.完全弹性碰撞
1 1 1 1 2 2 2 2 m1 v10 m2 v 20 m1 v1 m2 v 2 2 2 2 2
（2）
A2
B A
与 A2， F F力作功 x、y 轴方向不变。
A A
B B F' dr F ' x i F ' y j dxi dyj ( F ' x dx F ' y dy)
R 0
Fx dx
3．非弹性碰撞
牛顿的碰撞定律：在一维对心碰撞中，碰撞后两物 体的分离速度 v2- v1 与碰撞前两物体的接近速度 v10- v20 成正比，比值由两物体的材料性质决定。
e
v2 v1 v10 v20
e 为恢复系数
e = 0，则v2 = v1，为完全非弹性碰撞。 e =1，则分离速度等于接近速度，为完全弹性碰撞。 一般非弹性碰撞：0 < e < 1
1 1 2 mg2 R si n mv k 2 R(1 COS ) 2 2 2 A 4 2 2 2 v 4 gR si n kR (1 cos ) m
2
N
f
an
mg
（2）分析B处受力：
v2 N f mg m R
2R h

k
f kl k 2R(1 cos )
五、碰撞
两个或两个以上的物体在运动中 发生极其短暂的相互作用，使物体的 运动状态发生急剧变化，这一过程称 为碰撞。
碰撞分正碰和斜碰两种： 正碰：两球沿着联心线运动而发生的碰撞 斜碰：两球碰撞前后的速度不在两球的中 心连线上。
v1
m m1 1
v2
m2
m1 m2
完全弹性碰撞：碰撞后物体系统的机械能没有损失。 非弹性碰撞：碰撞后物体系统的机械能有损失。