2021年1月普通高等学校招生全国统一考试数学试题及答案（八省联考）一、单选题1．已知,M N 均为R 的子集，且R M N ⊆ð，则()M N ⋃=R ð（）A ．∅B ．MC ．ND ．R2．在3张卡片上分别写上3位同学的学号后，再把卡片随机分给这3位同学，每人1张，则恰有1位学生分到写有自己学号卡片的概率为（）A ．16B ．13C ．12D ．233．关于x 的方程20x ax b ++=，有下列四个命题：甲：1x =是该方程的根；乙：3x =是该方程的根；丙：该方程两根之和为2；丁：该方程两根异号．如果只有一个假命题，则该命题是（）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁4．椭圆()2222101x y m m m+=>+的焦点为1F 、2F ，上顶点为A ，若123F AF π∠=，则m =（）A ．1B C D ．25．已知单位向量,a b 满足0a b ⋅= ，若向量c =+，则sin ,a c 〈〉= （）A ．73B ．3C ．79D ．296．()()()239111x x x ++++++ 的展开式中2x 的系数是（）A ．60B ．80C ．84D ．1207．已知抛物线22y px =上三点(2,2),,A B C ，直线,AB AC 是圆22(2)1x y -+=的两条切线，则直线BC 的方程为（）A ．210x y ++=B ．3640x y ++=C ．2630x y ++=D ．320x y ++=8．已知5a <且5e 5e ,4a a b =<且44,3b be e c =<且3e 3e c c =，则（）A ．c b a <<B ．b c a <<C ．a c b<<D ．a b c<<二、多选题9．已知函数()ln(1)f x x x =+，则（）A ．()f x 在(0,)+∞单调递增B ．()f x 有两个零点C ．曲线()y f x =在点11,22f ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处切线的斜率为1ln 2--D ．()f x 是偶函数10．设123,,z z z 为复数，10z ≠．下列命题中正确的是（）A ．若23z z =，则23z z =±B ．若1213z z z z =，则23z z =C ．若23z z =，则1213z z z z =D ．若2121z z z =，则12z z =11．下图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（）A ．//AE CDB ．//CH BEC ．DG BH ⊥D ．BG DE⊥12．设函数cos 2()2sin cos xf x x x=+，则（）A ．()()f x f x π=+B ．()f x 的最大值为12C ．()f x 在,04π⎛⎫-⎪⎝⎭单调递增D ．()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减三、填空题13．圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的体积为______．14．写出一个最小正周期为2的奇函数()f x =________．15．对一个物理量做n 次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后结果的误差2~0,n N n ε⎛⎫ ⎪⎝⎭，为使误差n ε在(0.5,0.5)-的概率不小于0.9545，至少要测量_____次（若()2~,X N μσ，则(||2)0.9545)P X μσ-<=）．四、双空题16．若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为______，_____．五、解答题17．已知各项都为正数的数列{}n a 满足2123n n n a a a ++=+．（1）证明：数列{}1n n a a ++为等比数列；（2）若1213,22a a ==，求{}n a 的通项公式．18．在四边形ABCD 中，//AB CD ，1AD CD BD ===．（1）若32AB =，求BC ；（2）若2AB BC =，求cos BDC ∠．19．一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件1，2，3需要调整的概率分别为0.1，0.2，0.3，各部件的状态相互独立．（1）求设备在一天的运转中，部件1，2中至少有1个需要调整的概率；（2）记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为X ，求X 的分布列及数学期望．20．北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是3π，所以正四面体在各顶点的曲率为233πππ-⨯=，故其总曲率为4π．（1）求四棱锥的总曲率；（2）若多面体满足：顶点数-棱数+面数2=，证明：这类多面体的总曲率是常数．21．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，动点B 在C 上．当BF AF ⊥时，||||AF BF =．（1）求C 的离心率；（2）若B 在第一象限，证明：2BFA BAF ∠=∠．22．已知函数()e sin cos ,()e sin cos x x f x x x g x x x =--=++．（1）证明：当54x π>-时，()0f x ；（2）若()2g x ax + ，求a ．数学试题参考答案1-8BCACB DBD 9-12AC BC BCD AD13．61π；14．()sin f x x π=；15．32；16．133-17．（1）由2123n n n a a a ++=+可得：()2111333n n n n n n a a a a a a +++++=+=+因为各项都为正数，所以120a a +>，所以{}1n n a a ++是公比为3的等比数列.（2）构造()21133n n n n a a k a a +++-=-，整理得：()2133n n n a k a ka ++=+-所以1k =-，即()21133n n n n a a a a +++-=--所以11303n n n n a a a a ++-=⇒=，所以{}n a 是以112a =为首项，3为公比的等比数列.所以132n n a -=（n +∈N ）18．（1）在ABD △中，由余弦定理可得2223cos 24AB BD AD ABD AB BD +-∠==⋅，//CD AB ，BDC ABD ∴∠=∠，在BCD △中，由余弦定理可得22212cos 2BC BD CD BD CD BDC =+-⋅∠=，BC =（2）设BC x =，则2AB x =，在ABD △中，22224cos 24AB BD AD x ABD x AB BD x +-∠===⋅，在BCD △中，22222cos 22BD CD BC x BDC BD CD +--∠==⋅，由（1）可知，BDC ABD ∠=∠，所以，cos cos BDC ABD ∠=∠，即222x x -=，整理可得2220x x +-=，因为0x >，解得1x =，因此，cos cos 1BDC ABD x ∠=∠==.19．(1)设部件1需要调整为事件A ，部件2需要调整为事件B ，部件3需要调整为事件C ，由题意可知：()()()0.1,0.2,0.3P A P B P C ===.部件1，2中至少有1个需要调整的概率为：()()11110.90.810.720.28P A P B ⎡⎤⎡⎤---=-⨯=-=⎣⎦⎣⎦.(2)由题意可知X 的取值为0，1,2,3.且：()()()()0111P X P A P B P C ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==---⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()10.110.210.3=-⨯-⨯-0.504=，()()()()111P X P A P B P C ⎡⎤⎡⎤==--⎣⎦⎣⎦()()()11P A P B P C ⎡⎤⎡⎤+--⎣⎦⎣⎦()()()11P A P B P C ⎡⎤⎡⎤+--⎣⎦⎣⎦0.10.80.7=⨯⨯0.90.20.7+⨯⨯0.90.80.3+⨯⨯0.398=，()()()()21P X P A P B P C ⎡⎤==-⎣⎦()()()1P A P B P C ⎡⎤+-⎣⎦()()()1P A P C P B ⎡⎤+-⎣⎦0.10.20.7=⨯⨯0.10.80.3+⨯⨯0.90.20.3+⨯⨯0.092=.()()()()30.10.20.30.006P X P A P B P C ===⨯⨯=，故X 的分布列为：X0123()P X 0.5040.3980.0920.006其数学期望：()0.50400.39810.09220.00630.6E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.20．（1）由题可知：四棱锥的总曲率等于四棱锥各顶点的曲率之和.可以从整个多面体的角度考虑，所有顶点相关的面角就是多面体的所有多边形表面的内角的集合.由图可知：四棱锥共有5个顶点，5个面，其中4个为三角形，1个为四边形.所以四棱锥的表面内角和由4个为三角形，1个为四边形组成，则其总曲率为：()25424ππππ⨯-+=.（2）设顶点数、棱数、面数分别为n 、l 、m ，所以有2n l m -+=设第i 个面的棱数为i x ，所以122m x x x l +++= 所以总曲率为：()()()122222m n x x x ππ--+-++-⎡⎤⎣⎦ ()222n l m ππ=--()24n l m ππ=-+=所以这类多面体的总曲率是常数.21．（1）设双曲线的半焦距为c ，则(),0F c ，2,b B c a ⎛⎫± ⎪⎝⎭，因为||||AF BF =，故2b ac a=+，故2220c ac a --=，即220e e --=，故2e =.（2）设()00,B x y ，其中00,0x a y >>.因为2e =，故2c a =，3b a =，故渐近线方程为：3y x =，所以0,3BAF π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，20,3BFA π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，又0000t n 2a y y BFA x c x a ∠=-=---，00tan y BAF x a∠=+，所以()()()()0000002222220000020222tan 121y y x a y x a x a BAF x x a y y x a b a x a +++∠===⎛⎫+-⎛⎫+--- ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭()()()()()()()0000022222200000022223331y x a y x a y x a x a x x a x a x a a a ++===+--⎛⎫+--+-- ⎪⎝⎭02tan y BFA x a=-=∠-，因为故220,3BAF π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，故BFA ∠2BAF =∠.22．(1)分类讨论：①.当4 5,4x ππ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦，()04x f x e x π⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭；②.当,04x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()cos sin ,00xf x e x x f ''=-+=，()sin cos 04x x f x e x x e x π⎛⎫''=++=++> ⎪⎝⎭，则函数()f x '在,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调增，则()()00f x f ''<=，则函数()f x 在,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调减，则()()00f x f >=；③.当0x =时，由函数的解析式可知()01010f =--=，当[)0,x ∈+∞时，令()()sin 0H x x x x =-+≥，则()'cos 10H x x =-+≥，故函数()H x 在区间[)0,+∞上单调递增，从而：()()00H x H ≥=，即sin 0,sin x x x x -+≥-≥-，从而函数()sin cos 1x xf x e x x e x =--≥--，令1x y e x =--，则：1x y e '=-，当0x ≥时，0y '≥，故1x y e x =--在[)0,+∞单调递增，故函数的最小值为0min 010y e =--=，从而：10x e x --≥.从而函数()sin cos 10x xf x e x x e x =--≥--≥；综上可得，题中的结论成立.(2)当54x π>-时，令()()2sin cos 2xh x g x ax e x x ax =--=++--﹐则()cos sin xh x e x x a '=+--，()()0h x f x ''=>，故()h x '单调递增，当 2a >时，()020h a '=-<，()()()ln 22ln 204h a a π⎡⎤'+=-+->⎢⎣⎦，()()10,ln 2x a ∃∈+使得()10h x '=，当10x x <<时，()()0,h x h x '<单调递减，()()00h x h <=不符合题意;当2a <时，()00h '>，若在5,04x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭上，总有()0h x '≥（不恒为零），则()h x 在5,4π⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上为增函数，但()00h =，故当5,04x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0h x <，不合题意．故在5,04x π⎛⎫∈-⎪⎝⎭上，()0h x '<有解，故25,04x π⎛∃∈⎫-⎪⎝⎭，使得()20h x '=，且当20x x <<时，()()0,h x h x '>单调递增，故当()2,0x x ∈时，()(0)0h x h <=，不符合题意;故2a <不符合题意，当a =2时，()cos sin 2xh x e x x '=+--，由于()h x '单调递增，()00h '=，故：504x π-<<时，()()0,h x h x '<单调递减;0x >时，()()0,h x h x '>单调递增，此时()()00h x h ≥=﹔当54x π-时，()5sin cos 220202xh x e x x x π=++--≥-->，综上可得，a =2.。