高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）
课时作业20 基本不等式
时间：45分钟 满分：100分
一、选择题(每小题5分，共35分)
1．a ＋b ≥2ab (a >0，b >0)中等号成立的条件是( ) A ．a ＝b B ．a ＝－b C ．a ＝|b | D ．|a |＝b
【答案】 A
【解析】 由基本不等式成立的条件易知． 2．x 2＋y 2＝4，则xy 的最大值是( ) A.12 B ．1 C ．2 D ．4 【答案】 C
【解析】 xy ≤x 2＋y 2
2＝2，当且仅当x ＝y ＝2或x ＝y ＝－2时，等号成立，∴xy 的最大值为2.
3．若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝1
2(lg a ＋lg b )，R ＝lg a ＋b 2，则( ) A ．R <P <Q
B ．P <Q <R
C ．Q <P <R
D ．P <R <Q
【答案】 B
【解析】 ∵a >b >1，∴lg a ·lg b <lg a ＋lg b
2. ∵a ≠b ，∴“＝”不成立．
又∵lg a ＋lg b ＝lg ab <lg ⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22＝2lg a ＋b
2， ∴lg a ＋b 2>1
2(lg a ＋lg b )，故选B. 4．下列不等式一定成立的是( ) A ．x ＋1
x ≥2 B.x 2＋2
x 2＋2≥ 2
C.x 2＋3x 2＋4≥2
D ．2－3x －4
x ≥2
【答案】 B
【解析】 A 项中当x <0时，x ＋1
x <0<2，∴A 错误． B 项中，x 2＋2
x 2＋2＝x 2＋2≥2，∴B 正确．
而对于C ，x 2＋3x 2＋4＝x 2
＋4－1x 2＋4
，
当x ＝0时，x 2＋3x 2＋4＝3
2<2，显然选项C 不正确．
D 项中取x ＝1,2－3x －4
x <2，∴D 错误． 5．设0<a <b ，则下列不等式中正确的是( ) A ．a <b <ab <a ＋b
2
B ．a <ab <a ＋b
2<b
C ．a <ab <b <a ＋b
2 D.ab <a <a ＋b
2<b
【答案】 B
【解析】 ∵0<a <b ，∴a ·a <ab .∴a <ab .由基本不等式知ab <a ＋b
2(a ≠b )，
又∵0<a <b ，a ＋b <b ＋b ，∴a ＋b
2<b . ∴a <ab <a ＋b
2<b .
6．下列选项中正确的是( ) A ．当a ，b ∈R 时，a b ＋b
a ≥2
a b ×b a ＝2
B ．当a >1，b >1时，lg a ＋lg b ≥2lg a lg b
C ．当a ∈R 时，a ＋9
a ≥2
a ×9a ＝6
D ．当ab <0时，－ab －1
ab ≤－2 【答案】 B
【解析】 选项A 中，可能b
a <0，所以A 不正确； 选项C 中，当a <0时，a ＋9
a <0，所以C 不正确； 选项D 中，当a
b <0时，－ab >0，－1
ab >0， 则－ab －1
ab ≥2，
当且仅当－ab ＝－1
ab ，即ab ＝－1时取等号，所以D 不正确； 很明显，选项B 中当a >1，b >1时，lg a >0，lg b >0，
则lg a ＋lg b ≥2lg a lg b 成立，所以B 正确．
7．若两个正实数x ，y 满足2x ＋1
y ＝1，并且x ＋2y >m ＋1恒成立，则实数m 的取值范围是( )
A ．(－∞，7]
B ．(－∞，7)
C ．(7，＋∞)
D ．[7，＋∞)
【答案】 B
【解析】 x ＋2y ＝(x ＋2y )(2x ＋1y )＝2＋4y x ＋x
y ＋2≥8， 当且仅当4y x ＝x
y ，即4y 2＝x 2时，等号成立， ∴m ＋1<8，∴m <7.
二、填空题(每小题5分，共20分)
8．对于任意正数a ，b ，设A ＝a ＋b
2，G ＝ab ，则A 与G 的大小关系是________．
【答案】 A ≥G
【解析】 ∵a >0，b >0，∴a ＋b
2≥ab >0，∴A ≥G .
9．已知a >0，b >0，且a ＋b ＝1，则ab 的取值范围是________． 【答案】 (0，1
4]
【解析】 ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，
∴ab ≤⎝
⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22＝1
4. 当且仅当a ＝b ＝1
2时，等号成立． ∴ab 的最大值为1
4.
10．已知0<α<π，则2sin α＋1
2sin α的取值范围是________． 【答案】 [2，＋∞)
【解析】 ∵0<α<π，∴sin α>0. ∴2sin α＋1
2sin α≥2
2sin α×1
2sin α＝2，
当且仅当2sin α＝12sin α，即sin α＝1
2时，等号成立． ∴2sin α＋1
2sin α的最小值为2.
11．函数y ＝log a (x －1)＋1(a >0，且a ≠1)的图像恒过定点A ，若点A 在一次函数y ＝mx ＋n 的图像上，其中m ，n >0，则1m ＋2
n 的取值范围为________．
【答案】 [8，＋∞)
【解析】 由题意，得点A (2,1)，则1＝2m ＋n ， 又m ，n >0，
所以1m ＋2n ＝2m ＋n m ＋2(2m ＋n )n ＝4＋n m ＋4m n ≥4＋24＝8. 当且仅当n m ＝4m n ，即m ＝14，n ＝12时取等号，则1m ＋2
n 的最小值为8.
三、解答题(共45分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
12．(14分)设实数a 使a 2
＋a －2>0成立，t >0，比较1
2log a t 与log a t ＋12
的大小．
【解析】 ∵a 2＋a －2＞0，∴a ＜－2或a ＞1， 又a ＞0且a ≠1，∴a ＞1，
∵t ＞0，∴t ＋12≥t ，∴log a t ＋12≥log a t ＝1
2log a t ， ∴1
2log a t ≤log a t ＋12.
13．(15分)已知y ＝x ＋9
x (x ≠0)，试比较|y |与6的大小． 【解析】 (1)当x >0时，由基本不等式，得y ＝x ＋9
x ≥6，(当且仅当x ＝3取等号)，即y ≥6，∴|y |≥6；
(2)当x <0时，－x >0，y ＝x ＋9x ＝－[(－x )＋9
－x ]≤－6(当且仅当x
＝－3时取等号)，即y ≤－6，
∴|y |≥6.综上所述，|y |≥6.
14．(16分)已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪
⎫
1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1c －1≥8. 【解析】 ∵a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1
a －1＝a ＋
b ＋
c a －1＝b ＋c a ≥2bc a >0. 同理，1b －1≥2ac b >0，1c －1≥2ab c >0.
∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭
⎪⎫1c －1≥8ab ac bc abc ＝8.。