平面向量基础题一、高考真题体验1．(２015新课标卷Ｉ）已知点(0,1),(3,2)A B ，向量(4,3)AC =--,则向量BC =( ） (A ） (7,4)-- (B)(7,4) （Ｃ)(1,4)- (D)(1,4) 2.(2015新课标卷II)已知()1,1=-a ,()1,2=-b ,则(2)+⋅=a b a （ )Ａ．1- B ．0 C.1 D ．23．（201４新课标卷I ）设F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点,则=+FC EB Ａ. B.21 Ｃ. 21D. BC 二、知识清单训练 【平面向量概念】1、定义：大小、方向 ２、几何表示:有向线段AB ,a 、 3、基本概念：单位向量、相等向量、相反向量、共线(平行)向量4．下列判断正确的是 ( )Ａ.若向量AB 与CD 是共线向量，则Ａ，B,C,D 四点共线; B.单位向量都相等;C.共线的向量,若起点不同,则终点一定不同；D.模为0的向量的方向是不确定的。

5．下列命题正确的是( ）ﻩA ．单位向量都相等 ﻩﻩﻩＢ.若a 与b 共线，b 与c 共线,则a 与c 共线 ﻩC.若||||a b a b +=-,则0a b ⋅=ﻩD ．若a 与b 都是单位向量,则1a b ⋅= ６．已知非零向量与反向，下列等式中成立的是ﻩ （ )A ．||||||b a b a -=-B ．||||b a b a -=+ Ｃ.||||||b a b a -=+ D.||||||b a b a +=+【线性运算】1、 加法:首尾相连，起点到终点ACBC AB =+2、 减法：同起点、连终点、指向被减 CB AC AB =-3、数乘：⎪⎩⎪⎨⎧=<>=a a a a a a a λλλλλλλ方向相反方向与方向相同；方向与,0,07．空间任意四个点Ａ、Ｂ、C 、Ｄ,则等于 ( ) A ．Ｂ．C ．D ．8.设四边形ABCD 中，有DC =21AB ，且|AD |＝｜BC |，则这个四边形是 A ．平行四边形 Ｂ．等腰梯形C ． 矩形D ．菱形9.设Ｄ，E,F 分别为∆ABC 的三边ＢC ，CA ，ＡB 的中点,则EB FC += A ．BC B ．AD C ．12BC D ．12AD 10．设P 是△ＡBC 所在平面内的一点，+=2，则( )Ａ．＋= Ｂ．+= C ．＋＝ D ．＋+＝11.如图．点M 是ABC ∆的重心,则MC MB MA -+为( ）A ．0Ｂ.4 Ｃ.4 D ．4【平面向量基本定理】b a c μλ+=,基底12．如图所示,已知2AB BC =，OA a =，OB b =，OC c =,则下列等式中成立的是( )（A)3122c b a =- (B ）2c b a =- (C ）2c a b =- (D)3122c a b =- １3.在空间四边形ABCD 中,AB a =,AC b =，AD c =,M ,N 分别为AB 、CD 的中点,则MN 可表示为（ )A ．1()2a b c +- ﻩ Ｂ.1()2a b c -+ C ．1()2a b c -++ ﻩD.1()2a b c -++14．在ABC ∆中,已知D 是AB 边上一点,若12,3AD DB CD CA CB λ==+，则λ=( )Ａ．23-B ．13ﻩC ．13- ﻩﻩD ．23【共线定理】1221//y x y x a b b a -==⇒λ15．已知1232a e e =+，则与a 共线的向量为(Ａ) 1223e e -- (B ） 1264e e - （C) 1264e e + （D) 1232e e -+ 16．平面向量(1,2)=-a ，(2,)n =-b ，若a // b ，则n 等于A.4 B ．4- Ｃ．1- D.2【坐标运算】1、已知()()2211,,,y x B y x A ==,则()1212,y y x x AB --=2、已知()()2211,,,y x b y x a == 则()2121,y y x x b a ++=+,()2121,y y x x b a --=-，),(11y x a λλλ=,2121y y x x b a +=•17．已知向量()()2,1,3,4==-a b ,则+=a bA.()1,5- B ．()1,5 C.()1,3-- Ｄ.()1,318.若向量(2,4)AB =,(1,3)AC =,则BC =（ ）A ．(1,1) B.(1,1)-- C ．(3,7) D ．(3,7)-- 19.已知向量(2,4)a =,(1,1)b =-,则2a b -=A. （5，７) B ． (５,9) C ． （3,７) D ． (3，９）【数量积】 1、 定义2、3、模: 2121y x +==4、 夹角5、垂直：02121=+⇒=⋅⇒⊥y y x x b a b a2０．已知||6a =,||3b =,12a b ⋅=-，则向量a 在向量b 方向上的投影是( ） Ａ．－4 B ．４ C.－2 D.2 2１.3a =,23b =,3a b =-,则a 与b 的夹角是Ａ. 3０︒ B. 60︒ C. 120︒ D. １50︒ 2２.设(1,2)a =,(2,)b k =,若(2)a b a +⊥,则实数k 的值为( )A.2- B ．4- C ．6- D ．8- 23.已知,a b 是平面向量,若(2)a a b⊥-,(2)b b a ⊥-,则a 与b 的夹角是 A B 2４.空间四边形OABC 中,OB OC =，3AOB AOC π∠=∠=,则cos <,OA BC >的值是( ）A.21B.22C.-21D.0２５.设向量,a b 满足||1,||3,()0a a b a a b =-=⋅-=，则|2|a b +=( )A.2 B． C.4 D. 26．已知等边ABC ∆的边长为1，则=⋅ A ．21-B ．23- C.21 Ｄ.2327．在Rt ABC ∆中，D 为BC 的中点，且AB 6AC 8==，,则AD BC ⋅的值为 A 、28- B 、28 C 、14- D 、14２8．若同一平面内向量a ，b ，c 两两所成的角相等，且1a =，1b =，3c =,则a b c ++等于（ ) Ａ.2 B ．5 Ｃ．２或5 D.2或5【课后练习】29．已知和点满足.若存在实数使得成立,则=（ )Ａ.２ B.3 C.4 D. ３0.设向量12,e e 是夹角为23π的单位向量,若13a e =,12b e e =-,则向量b 在a 方向的投影为( ） Ａ.32 B.12 C ．12- D.131.已知平面向量a ,b 满足3a =,2b =,3a b ⋅=-，则2a b +=( ）A.1Ｃ．4 D ．3２．已知1,2,()a b a a b ==⊥-且，则向量a 与向量b 的夹角为（ ）.(A)30 (B)45 （C ） 90 （Ｄ）135 ３3.在平行四边形A ＢCD 中,下列结论中错误的是 （ ) A.AB DC = B ．AD AB AC += C ．AB AD BD -= D.AD CD BD +=34．在平行四边形ABCD 中,AC 为一条对角线,(2,4)AB =，(1,3)AC =，则DA ＝（ ) A ．(2,4） B.（3，5） C ．(１，1） D ．（-１，－１）ABC M 0=++MC MB MA m AM m AC AB =+m 323５.如下图,在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP =ｘOA ＋y OB ，且BP =3PA ，则（ ）.A 、ｘ=23,y ＝13 B 、x=13，y=23 C 、x=14，y ＝34 Ｄ、x=34,y=143６.已知向量(1,2),(4,)a b m ==-,若2a b +与a 垂直,则m =( ) A ．－3 B ．3 Ｃ.-8 D ．８ 37．已知平面向量,a b 满足()=3a a +b ⋅，且2,1ab ，则向量a 与b 的夹角为（ ）Ａ.6π B.3π C ．32π Ｄ．65π3８．已知向量(2,1),(5,3)a b →→==-，则a b →→⋅的值为A ．-１ Ｂ.7 C ．1３ D.1１39.已知平面向量(1,2),(2,)a b m ==-,且//a b ,则实数m 的值为 （ ) A.1 B ．4 C.1- D.4-4０.已知平面向量AB ()1,2=,AC ()3,4=,则向量CB =( ) A.(4,6)-- B.(4,6) C ．(2,2)-- Ｄ．(2,2)４1．已知向量()21=，a ，()2x =-，b ,若a ∥b ，则a +b 等于( ) A ．()2,1-- B.()2,1 C ．()3,1- D ．()3,1-４2. 已知两点A(４,１),B(７，-3)，则与向量AB 同向的单位向量是( ) Ａ．（53，-54) B.(-53，54) C.(-54,53) Ｄ．(54，－53) 4３.若向量，满足条件，则ｘ＝( )A.６B.5 Ｃ．4 D.344．设R y x ∈,，向量()()(),4,2,,1,1,-===y x 且//,⊥,=+b a ( ）Ａ5 10 Ｃ．5 D.10 45．已知向量(1,2),(2,1)a b ==-,下列结论中不正确．．．的是( ） Ａ．//a b ﻩ B ．a b ⊥ Ｃ．||||a b = ﻩＤ．||||a b a b +=-平面向量基础题参考答案1．A 【解析】试题分析:∵AB OB OA =-=（３,1）,∴BC =AC AB -＝(－７,-４)，故选A. 考点:向量运算 2.C【解析】试题分析：由题意可得2112=+=a ,123,⋅=--=-a b 所以()222431+⋅=+⋅=-=a b a a a b .故选C.考点:本题主要考查向量数量积的坐标运算． 3．A 【解析】试题分析：根据平面向量基本定理和向量的加减运算可得:在BEF ∆中,12EB EF FB EF AB =+=+,同理12FC FE EC FE AC =+=+,则11111()()()()22222EB FC EF AB FE AC AB AC AB AC AD+=+++=+=+=. 考点:向量的运算 ４．D【解析】解：因为Ａ．若向量AB 与CD 是共线向量,则Ａ,B,Ｃ，Ｄ四点共线；可能构成四边形。

B ．单位向量都相等；方向不一样。

Ｃ．共线的向量，若起点不同,则终点一定不同;不一定。

D.模为0的向量的方向是不确定的,成立 ５.C 【解析】对于A,单位向量模长都为1，但方向不确定，所以不一定相等;对于B ，若0=b ，此时若a 与b 共线,b 与c 共线，但a 与c 不一定共线； 对于Ｃ，若|-a b |=|a +b ｜，则两边平方，化简可得0=⋅b a ，C 正确; 对于D ，若a 与b 都是单位向量,θcos 11⨯⨯=⋅. 6.Ｃ【解析】解:因为非零向量b a 与反向，所以则有根据向量的加法法则可知，||||||-=+,选C. 7．C 【解析】试题分析：如图，BA CB CD CA DC DA +-=+=，故选:B.考点：向量加减混合运算及其几何意义． 8．B【解析】解：因为四边形ＡＢCD 中,有DC ＝21AB ，且｜AD |=｜BC |，，因此一组对边平行，另一组对边相等的四边形为等腰梯形，选Ｂ 9.B【解析】试题分析：由向量加法法则得()12BE BA BC =+,()12CF CB CA =+，因此()12EB FC BA BC +=-+ ()12CB CA -+()()1112222BA CA AB AC AD AD =-+=+=⋅=，故答案为B ． 考点:向量加法法则的应用. 10.A 【解析】∵＋=2,∴﹣=﹣,∴=, ∴﹣=， ∴+=故选Ａ． 11．D 【解析】试题分析:点M 是ABC ∆的重心,所以有F 点是中点,1132MF CF CM ==2MA MB MF +=24MA MB MC MF CM MF ∴+-=+=考点：向量的加减法点评：向量的加减法运算遵循平行四边形法则，三角形法则，加法:将两向量首尾相接由起点指向中点；减法：将两向量起点放在一起,连接终点，方向指向被减向量 12.A 【解析】试题分析:()OB OC OA BC OA AC OA OC -+=+=+=33,所以2123-=. 考点:向量的三角形法则. １3.C 【解析】试题分析：取A Ｃ的中点E ，连接M Ｅ,ＮＥ，则()1111=2222MN ME EN BC AD AC AB AD +=+=-+=1()2a b c -++. 考点:向量的加减运算；向量加法的三角形法则。