2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1:8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸...指定位置上. (1) 曲线221x x y x +=-渐近线的条数 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】C【考点】函数图形的渐近线 【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点:(i )当曲线上一点M 沿曲线无限远离原点时,如果M 到一条直线的距离无限趋近于零,那么这条直线称为这条曲线的渐近线。
(ii )渐近线分为水平渐近线(lim ()x f x b →∞=,b 为常数)、垂直渐近线(0lim ()x x f x →=∞)和斜渐近线(lim[()()]0x f x ax b →∞-+=,,a b 为常数)。
(iii )注意:如果(1)()limx f x x→∞不存在;(2)()lim x f x a x→∞=,但lim[()]x f x ax →∞-不存在,可断定()f x 不存在斜渐近线。
在本题中,函数221x x y x +=-的间断点只有1x =±.由于1lim x y →=∞,故1x =是垂直渐近线.(而11(1)1lim lim(1)(1)2x x x x y x x →-→-+==+-,故1x =-不是渐近线).又211lim lim111x x x y x→∞→∞+==-,故1y =是水平渐近线.(无斜渐近线) 综上可知,渐近线的条数是2.故选C. (2) 设函数2()(1)(2)()xxnx f x e ee n =---L ,其中n 为正整数,则(0)f '= ( )(A) 1(1)(1)!n n --- (B) (1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n -- (D) (1)!n n -【答案】A【考点】导数的概念 【难易度】★★【详解一】本题涉及到的主要知识点:00000()()()limlimx x f x x f x yf x x x→→+-'==V V V V V V . 在本题中,按定义200()(0)(1)(2)()(0)lim lim 0x x nx x x f x f e e e n f x x →→----'==-L1(1)(2)[(1)](1)(1)!n n n -=-⨯-⨯⨯--=--L .故选A.【详解二】本题涉及到的主要知识点:()[()()]()()()()f x u x v x u x v x u x v x ''''==+.在本题中,用乘积求导公式.含因子1xe -项在0x =为0,故只留下一项.于是20(0)[(2)()]x x nx x f e e e n ='=--L 1(1)(2)[(1)](1)(1)!n n n -=-⨯-⨯⨯--=--L故选(A ).(3) 设0(1,2,)n a n >=L ,123n n S a a a a =++++L ,则数列{}n S 有界是数列{}n a 收敛的( ) (A )充分必要条件 (B )充分非必要条件(C )必要非充分条件 (D )既非充分也非必要条件 【答案】B【考点】数列极限 【难易度】★★★【详解】因0(1,2,)n a n >=L ,所以123n n S a a a a =++++L 单调上升. 若数列{}n S 有界,则lim n n S →∞存在,于是11lim lim()lim lim 0n n n n n n n n n a S S S S --→∞→∞→∞→∞=-=-=反之,若数列{}n a 收敛,则数列{}n S 不一定有界.例如,取1n a =(1,2,)n =L ,则n S n =是无界的.因此,数列{}n S 有界是数列{}n a 收敛的充分非必要条件.故选(B ). (4)设20sin (1,2,3)k x K e xdx k π==⎰I 则有 ( )(A)123I I I << (B) 321I I I << (C) 231I I I << (D)213I I I << 【答案】D【考点】定积分的基本性质 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点: 设a c b <<,则()()()bc baacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰.在本题中,210sin x I e xdx π=⎰,2220sin x I e xdx π=⎰,2330sin x I e xdx π=⎰222121sin 0x I I e xdx I I ππ-=<⇒<⎰,2332322sin 0x I I e xdx I I ππ-=>⇒>⎰,222323312sin sin sin x x x I I e xdx e xdx e xdx ππππππ-==+⎰⎰⎰2233()22sin()sin t x e t dt e xdx ππππππ-=-+⎰⎰223()312[]sin 0x x e e xdx I I πππ-=->⇒>⎰因此213I I I <<.故选D.(5)设函数(,)f x y 可微,且对任意的,x y 都有(,)0f x y x∂>∂,(,)0f x y y ∂<∂,则使不等式1122(,)(,)f x y f x y <成立的一个充分条件是( )(A )12x x >,12y y < (B )12x x >,12y y > (C )12x x <,12y y < (D )12x x <,12y y > 【答案】D【考点】多元函数的偏导数;函数单调性的判别 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点:函数单调性的判定法 设函数()y f x =在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可导. ①如果在(,)a b 内()0f x '>,那么函数()y f x =在[,]a b 上单调增加; ②如果在(,)a b 内()0f x '<,那么函数()y f x =在[,]a b 上单调减少.在本题中,因(,)0f x y x∂>∂,当y 固定时对x 单调上升,故当12x x <时1121(,)(,)f x y f x y < 又因(,)0f x y y∂<∂,当x 固定时对y 单调下降,故当12y y >时2122(,)(,)f x y f x y < 因此,当12x x <,12y y >时112122(,)(,)(,)f x y f x y f x y << 故选D.(6)设区域D 由曲线sin y x =,2x π=±,1y =围成,则5(1)Dx y dxdy -=⎰⎰( )(A )π(B )2(C )-2(D )π-【答案】D【考点】二重积分的计算 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点:10,(,)(,)2(,),(,)DD f x y x y f x y dxdy f x y dxdy f x y x y ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰对或为奇函数,对或为偶函数在本题中,11555222sin sin 221(1)(1)()2x x Dx y dxdy dx x y dy x y y dx ππππ---=-=-⎰⎰⎰⎰⎰5222221(1sin )(1sin )2x x dx x dx πππππ--=---=-⎰⎰ 其中521(1sin )2x x -,sin x 均为奇函数,所以 52221(1sin )02x x dx ππ--=⎰,22sin 0xdx ππ-=⎰故选(D )(7)设1100c α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,2201c α⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,3311c α⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ ,4411c α-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ,其中1234,,,c c c c 为任意常数,则下列向量组线性相关的为( )(A)123,,ααα (B) 124,,ααα (C)134,,ααα (D)234,,ααα 【答案】C【考点】向量组的线性相关与线性无关 【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点:n 个n 维向量相关12,,,0n ααα⇔=L在本题中,显然134123011,,0110c c c ααα-=-=, 所以134,,ααα必线性相关.故选C.(8) 设A 为3阶矩阵,P 为3阶可逆矩阵,且1100010002p AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.若P=(123,,ααα),1223(,,)ααααα=+,则1Q AQ -= ( )(A) 100020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (B) 100010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (C) 200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (D)200020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】B【考点】矩阵的初等变换;初等矩阵 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点:设A 是一个m n ⨯矩阵,对A 施行一次初等行变换,相当于在A 的左边乘以相应的m 阶初等矩阵;对A 施行一次初等列变换,相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵. 在本题中,由于P 经列变换为Q ,有12100110(1)001Q P PE ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦,那么111112121212[(1)][(1)](1)()(1)Q AQ PE A PE E P AP E ----==100110011101110100120012⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦故选B.二、填空题:9:14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸...指定位置上. (9)设()y y x =是由方程21yx y e -+=所确定的隐函数,则22x d y dx== .【答案】1【考点】隐函数的微分 【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点: 隐函数求导的常用方法有:1. 利用复合函数求导法,将每个方程两边对指定的自变量求偏导数(或导数),此时一定要注意谁是自变量,谁是因变量,对中间变量的求导不要漏项。
然后求解相应的线性方程式或方程组,求得所要的隐函数的偏导数或导数。
2. 利用一阶全微分形式的不变性,对每个方程两边求全微分,此时各变量的地位是平等的,然后求解相应的线性方程组或者方程式,球的相应的隐函数的全微分。
对于多元隐函数来说,若题目中求的是全部偏导数或全微分,往往是用方法2比较简单些,若只求某个偏导数,则方法1和方法2的繁简程度差不多。