第4章习题答案4-2 已知系统微分方程相应的齐次方程为（1）22d ()d ()22()0d d y t y t y t t t ++=（2）22d ()d ()2()0d d y t y t y t tt ++= 两系统的起始条件都是：(0)1, (0)2y y --'==，试求两系统的零输入响应zi ()y t ，并粗略画出波形。

解：（1）0222=++ααj j --=+-=1121ααt e C t e C e A e A t y t t t t h cos sin )(212121--+=+=αα1)0(2==+C y2cos sin sin cos )0(2102211,=-=---==----+C C t e C t e C t e C t e C y t t t t t ⎩⎨⎧==1321C C0cos sin 3)(≥+=--t te t e t y tth(2) 0122=++αα1121-=-=ααt t h te A e A t y --+=21)(t t t h te A e A e A t y ----+-=221,)( ⎩⎨⎧=+-=21211A A A ⎩⎨⎧==3121A A 03)(≥+=--t tee t y tthty h (t)π/2π1ty h (t)2/33e -2/34-3 给定系统微分方程、起始状态及激励信号分别如下，试判断系统在起始点是否发生跳变，并据此写出()(0)k +y 的值。

（1）d ()d ()2()3d d y t x t y t t t+= (0)0y -=，()()x t u t = （2）22d ()d ()d ()234()d d d y t y t x t y t t tt ++= (0)1y -=，(0)1y -'=，()()x t u t =*（3）22d ()d ()d ()234()()d d d y t y t x t y t x t t t t ++=+(0)1y -=，(0)1y -'=，()()x t t δ=解：(1) )(3)(2)(t t y t y dtdδ=+因为方程在t =0时，存在冲激作用，则起始点会发生跳变设：代入方程⎪⎩⎪⎨⎧=+=)()()()()(t au t y t bu t a t y dtdδ得：a =3, 3)0(3)0(＝＋－＋y y =(2) )()(4)(3)(222t t y t y dtdt y dt d δ=++因为方程在t =0时，存在冲激作用，则起始点会发生跳变设：代入方程⎪⎩⎪⎨⎧=+=)()()()()(22t au t y dt d t bu t a t y dt d δ得：a =0.5, ⎩⎨⎧==5.1)0(5.0)0(1)0()0(,,＝＋＝－＋－＋y y y y(3) )()(')(4)(3)(222t t t y t y dtd t y dt d δδ+=++ 因为方程在t =0时，存在冲激和冲激偶作用，则起始点会发生跳变设：代入方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=)()()()()()()()()('22t au t y t bu t a t y dtdt cu t b t a t y dt d δδδ⎩⎨⎧-4/12/1＝＝b a ⎩⎨⎧=+=4/3)0()0(2/3)0()0(,,＝＋＝－＋－＋y b y y a y4-4 给定系统微分方程为 22d ()d ()d ()32()3()d d d y t y t x t y t x t t tt ++=+ 若激励信号与起始状态为以下二种情况时，分别求它们的全响应。

并指出其零输入响应、零状态响应、自由响应和强迫响应各分量（应注意在起始点是否发生跳变）。

（1）()()x t u t =，(0)1y -=，(0)2y -'= （2）3()e ()t x t u t -=，(0)1y -=，(0)2y -'=解：（1）)(3)()(2)(3)(22t u t t y t y dt dt y dtd +=++δ0232=++αα 2121-=-=αα齐次解：tt h e A e A t y 221)(--+= 特解：2/3)(=t y p完全解：2/3)(221++=--t t e A e A t y 因为方程在t =0时，存在冲激作用，则起始点会发生跳变设：代入方程⎪⎩⎪⎨⎧=+=)()()()()(22t au t y dt d t bu t a t y dt d δ 得：a =1, ⎩⎨⎧==3)0(1)0(1)0()0(,,＝＋＝－＋－＋y y y y 则：2/523212/3212121-⎩⎨⎧--++＝＝＝＝A A A A A A完全解：023252)(2≥+-=--t e e t y t t设零输入响应为：tzi t zi zi e A e A t y 221)(--+= 342)0(21)0(21,2121-⎩⎨⎧--=+--＝＝＝＝＝zi zi zi zi zi zi A A y A A y A A则：034)(2≥-=--t e e t y tt zi05.15.02)()()(2≥++-=-=--t e e t y t y t y t t zi zs自由响应：t te e25.22---；强迫响应：1.5。

（2）微分方程右边为：)()(3)()(3333t t u e t e t u e t t t δδ=++----原方程为：)()(2)(3)(22t t y t y dtdt y dt d δ=++由上述微分方程可知，t>0后方程右边没有输入，因此，系统没有强迫响应，完全响应和自由响应相同，零输入和零状态响应的形式均为齐次解形式，且零输入响应同（1），为：034)(2≥-=--t e e t y tt zi零状态响应的形式为：tzs t zs zs e A e A t y 221)(--+=设：代入方程⎪⎩⎪⎨⎧=+=)()()()()(22t au t y dt d t bu t a t y dt d δ得：a =1, ⎩⎨⎧=--1)0()0(0)0()0(,,a y y y y ＝＝－＋－＋ 11120212121-⎩⎨⎧--+＝＝＝＝A A Azs Azs A A zs zs则：0)(2≥-=--t e e t y tt zs045)()()(2≥-=+=--t e e t y t y t y tt zs zi4-6 一线性时不变系统在相同的起始状态下，当输入为()x t 时，全响应为(2e cos2)()t t u t -+；当输入为2()x t 时，全响应为(e 2cos2)()t t u t -+，求输入为4()x t 时的全响应。

解：系统的零状态响应为：)()2cos ()2cos 2()2cos 2()()()(12t u t e t e t e t y t y t y tttzs +-=+-+=-=---当输入为4x (t )时，系统的全响应为：)()2cos 4()()(3)(1t u e t t y t y t y t zs --=+=)(3)()()(1t u e t y t y t y t zs zi -=-=4-7 系统的微分方程由下列各式描述，分别求系统的冲激响应与阶跃响应。

（1）d ()2()()d y t y t x t t+=解：（1）首先求阶跃响应，原方程变为：)()(2)(t u t g t g dtd=+ 方程右边没有冲激作用，则起始点不会发生跳变，0)0()0(==-+g g 特征方程：02=+α2-=α齐次解：th e A t g 21)(-= 特解：B ＝0.5则：5.0)(21+=-t e A t g ，代入初始值，05.01=+A 系统的阶跃响应为：)()5.05.0()(21t u et g t+-=-系统的冲激响应为：)()()(2t u e t g dtd t h t-==*4-12 一线性时不变系统，当激励信号为1()()x t t δ=时，全响应为1()()e ()t y t t u t δ-=+；当激励信号为2()()x t u t =时，全响应为2()3e ()t y t u t -=。

求系统的冲激响应()h t （两种激励下，起始状态相同）。

解：)2()1()(3)()()()()()()()(21⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+=-∞--⎰t u e t y d h t y t u e t t y t h t y tzi t tzi ττδ 式(1) – 式(2)得：)(2)()()(t u e t d h t h t t-∞--=-⎰δττ上式求导：)(2)(2)()()(''t u e t t t h t h t-+-=-δδ设：)()()(t u Be t A t h t-+=δ代入上式：''()()()()()()2()2()t t t A t B t Be u t A t Be u t t t e u t δδδδδ---+---=-+方程两边函数相等：1,1-==B A)()()(t u e t t h t --=δ4-13 试求下列各函数1()f t 与2()f t 的卷积12()()()s t f t f t =* （1）1()()f t u t =，2()()f t u t =（3）1()(1)[()(1)]f t t u t u t =+--，2()(1)(2)f t u t u t =---解：（1）)()()(1t t u dtd t f dt d δ== )()()(1)()(002t tu t u t t u d d u d f t tt t=⋅===⎰⎰⎰∞-∞-τττττ1212()()()()()()()()t s t f t f t d f t f d dtt tu t tu t ττδ-∞=*=*=*=⎰ (3)a)1()0t S t -∞<<=时12211b)12()(1)(0.5)(1)02t t t S t d t ττττ--≤<=+=+=-⎰时τf 1(τ)1210τf 2(t-τ)t-1t-21τ121t-121<≤t 0τ12t-232<≤t 0tS (t )1222113c)23()(1)(0.5)222t t S t d t t t ττττ-≤<=+=+=-++-⎰时d)3()0t S t ≤<+∞=时*4-14 对图题4-14所示的各组信号，求二信号的卷积12()()()s t f t f t =*，并绘出()s t 的波形。