注:如2020果/9/15在某个区间内恒若有有错误f请批(评x指)正谢谢0！ ,那么函数是常数函数．
应用一：确定函数的图像大致形状
例题1、已知导函数 f '( x ) 的下列信息： 当1<x<4时，f '( x ) >0;
当x>4,或x<1时，f '( x ) <0;
当x=4,或x=1时，f '( x ) =0.则函数f(x)图象的大致
函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，研 究函数时，了解函数的增与减、增减的快与慢以及函数 的最大值或最小值等性质是非常重要的.通过研究函数 的这些性质,我们可以对数量的变化规律有一个基本的 了解.正是因科学家们对数量的变化规律进行了长期的 研究,导致了微积分的创立.
本节课,我们就来探究函数的单调性与导数的关 系.
5、导数的四则运算法则
(uv)uv (uv)uvuv
u' v
u'vu'v
v2
(v0)
6、复合函数的导数
fx ((x ) )f( u )(x )
7、对数函数的导数
（1） (lnx) 1 x
8、指数函数的导数
（2）
(logax)
1 xlna
(ex)' ex
(ax)'ax lna
2020/9/15
形状是( D ）。
y
y f (x)
y
y
y
y f (x) y f (x)
y f (x)
o1 4 x o 1 4 x o1 4 x o 1 4 x
A
B
C
D
2020/9/15
若有错误请批评指正谢谢！
练习1
已知函数 f (x的) 导函数 f (x的) 图像
如图所示，那么函数 f 的(x图) 像最
有可能的是 下图中的( A ).
x
-2 o 2 x
2020/9/15
若有错误请批评指正谢谢！
2020/9/15
若有错误请批评指正谢谢！
应用二：证明函数单调性或求单调区间
问题 1.求证:函数 f ( x) 法一:可用定义证明.
x2
2x
3
在 1,
上是增函数. 哪
由证明定：义任证取明x1函<x2数∈的1,单调 ，性的一般步骤：
(1)f设(x1x)－1、f(xx22)是=（给x1定2－区2x间1－的3）任－意（两x22个－值2x2,－且3x）1<x2.
y
2020/9/15
a 0b
若有错误请批评指正谢谢！
cx
预备知识
2．函数的单调性
如果函数 y＝f(x) 在某个区间是增函数或 减函数，那么就说函数 y＝f(x) 在这一区间具 有（严格的）单调性，这一区间叫做 y＝f(x) 的 单调区间．
在单调区间上增函数的图象是上升的，减 函数的图象是下降的．
2020/9/15
3、导函数的定义
f(x)limf(xΔ x)f(x)
Δ x 0
Δ x
4、四个常见函数的导数公式
公式1 C 0（C 为常数） 公式2 ( xn ) n xn1(n Q)
公式3
2020/9/15
(sin x) cos x. 公式4 (cos x) sin x.
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课前复习
y
点 ( x, f ( x)) 处的切线的
斜率.(如图)
f (x) 0
f (x) 0
a
0b
cx
观察曲线上升的时候,每一点的切线的斜率的大
小;曲线下降的时候,每一点的切线的斜率的大小,你
发现了什么规律? 2020/9/15
若有错误请批评指正谢谢！
我们发现,当曲线上升时, f ( x) 0 ;
当曲线下降时, f ( x) 0 , y
反之也成立.
导数的符号显示了函
数值变化的增减情况a.
f (x) 0若有限在个某点个f使区(xf间)’(x上)0=有0,
0
其f b’(x余)>0的，则点c函数恒
有
f(xx)
仍为增函数
函数的单调性与导数的符号有如下关系: 在 某 个 区 间 (a ,b) 内 , 如 果 f ( x) 0 , 那 么 函 数 y f ( x) 在这个区间内单调递增；如果 f ( x) 0 ，那么 函数 y f ( x) 在这个区间内单调递减．
y x2
函数 单调区间
f (x) 符号
y x3 增区间 R
0
y 1
x
减区间
减区间
(,0) (0,)
—
—
2020/9/1这5 里是具体函数，若那有错么误请一批评般指正情谢谢况！ 是否满足呢？
导数的几何意义:
导数 f (x) lim f (x x) f (x) 的几何意义是:
x0
x
函数 y f ( x) 的图象在
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预备知识
3 . 单调函数图像特征
直观地来看,如图从a到b曲线是上升的,说函数f(x) 在区间(a,b)上是增函数;
从b到c曲线是下降的,
y
说函数f(x)在区间(b,c)上
是减函数.
y f(x)
a
0b
cx
2020/9/15
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探究一：函数单调性与导数符号的关系
2020/9/15
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导数的应用 —函数的单调性
2020/9/15
若有错误请批评指正谢谢！
课前复习
1、函数f(x)在点x0处的导数定义
f
(
x0
)
lim
x0
y x
lim
x0
f (x0
x) x
f (x0 )
2、某点处导数的几何意义
函数y=f(x)在点x0处的导数f(x0)就是曲线y=f(x)在点 M(x0,y0)处的切线的斜率.
f (x)
2020/9/15
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练习2
已知函数y=xf’(x)的图像如左图所示，其中f’(x)是
函数f(x)的导函数，则函数f(x)的图象大致是(C ).
y
A 2 1
-2 -1 o 1 2 3 x
-2
y
y
2
Bห้องสมุดไป่ตู้
1
-1 o 1 2 x
-2
y
C4
4D
2
2
2020/9/15
-2 1 若有错误请批评指正o谢谢！
若有错误请批评指正谢谢！
预备知识
1．增函数、减函数的定义
一般地，设函数 f(x) 的定义域为 I：如果对 于属于定义域 I 内某个区间上的自变量任意两个 值 x1，x2，当 x1＜x2 时，都有 f(x1)＜f(x2)，那么 就说 f(x)在这个区间上是增函数．
当 x1＜x2 时，都有 f(x1)＞f(x2)，那么就说 f(x) 在这个区间上是减函数．
2020/9/15
t 0 ,a ,h (t)递h 增 (t) 0， 若有错t误请 批评a 指正,谢b 谢！,h (t)递h 减 (t) 0，
y 1
y 2x
函数
yx
y x2
单调区间
增区间 R
增区间
(0,)
f (x) 符号
2020/9/15
+
+
若有错误请批评指正谢谢！
减区间
(,0)
—
y 3x2