第一章集合与函数概念1．1.1集合的含义与表示第一课时集合的含义一、集合的概念1、元素：一般地，我们把统称为元素；通常用表示2、集合：把一些元素组成的叫做集合(简称为集)；通常用表示。
3、认识集合的含义(1)集合的概念是一种描述性说明，因为集合是数学中最原始的、不加定义的概念，这与我们初中学过的点、直线等概念一样，都是用描述性语言表述的．(2)集合含义中的“元素”所指的范围非常广泛，现实生活中我们看到的、听到的、闻到的、触摸到的、想到的各种各样的事物或一些抽象的符号等，都可以看作“对象”，即集合中的元素.二、元素的特性及集合相等1．集合相等：只要构成两个集合的元素是，我们就称这两个集合相等．2．集合元素的特性：集合元素的特性：、、无序性．3、对集合中元素特性的理解(1)确定性：是指作为一个集合的元素必须是明确的，不能确定的对象不能构成集合．也就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素是确定的．(2)互异性：对于给定的集合，其中的元素一定是不同的，相同的对象归入同一个集合时只能算作集合的一个元素．(3)无序性：对于给定的集合，其中的元素是不考虑顺序的．如1,2,3与3,2,1构成的集合是同一个集合．三、元素与集合的关系及常用数集的记法1．元素与集合的关系(1)如果a是集合A的元素，就说a 集合A，记作.(2)如果a不是集合A中的元素，就说a 集合A，记作.2．常用的数集及其记法3、对∈和∉的理解(1)符号“∈”“∉”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a∉A”这两种结果．(2)∈和∉具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R∈0是错误的．2．常用数集关系网实数集R ⎩⎪⎨⎪⎧有理数集Q ⎩⎪⎨⎪⎧整数集Z ⎩⎨⎧ ⎭⎪⎬⎪⎫正整数集N *{0}自然数集N 负整数集分数集无理数集题型一、集合的基本概念例1、(1)下列各组对象：①接近于0的数的全体；②比较小的正整数的全体；③平面上到点a 的距离等于1的点的全体；④正三角形的全体；⑤2的近似值的全体．其中能构成集合的组数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5(2)判断下列说法是否正确，并说明理由． ①某个公司里所有的年轻人组成一个集合；②由1，32，64，21-，12组成的集合有五个元素；③由a ，b ，c 组成的集合与由b ，a ，c 组成的集合是同一个集合． 变式1、下列说法正确的是 ( ) A ．小明身高1.78 m ，则他应该是高个子的总体这一集合中的一个元素 B ．所有大于0小于10的实数可以组成一个集合，该集合有9个元素 C ．平面上到定直线的距离等于定长的所有点的集合是一条直线 D ．任意改变一个集合中元素的顺序，所得集合仍和原来的集合相等 题型二、元素与集合的关系 例2、(1)设集合A 只含有一个元素a ，则下列各式正确的是( )A ．0∈AB ．a ∉AC ．a ∈AD ．a ＝A(2)下列所给关系正确的个数是 ( ) ①π∈R ；② 3∉Q ；③0∈N *；④|－4|∉N * A ．1B ．2C ．3D ．4变式二：设不等式3－2x<0的解集为M ，下列正确的是( ) A ．0∈M,2∈M B ．0∉M,2∈M C ．0∈M,2∉M D ．0∉M,2∉M题型三、集合中元素的特性及应用例3、已知集合A 中含有两个元素a 和2a ，若1∈A ，求实数a 的值．变式3、设A 表示由a 2＋2a －3,2,3构成的集合，B 表示由2，|a ＋3|构成的集合，已知5∈A ，且5∉B ，求a 的值．例4、若集合A 中有三个元素，x ，x ＋1,1，集合B 中也有三个元素x ，x ＋x 2，x 2，且A ＝B ，则实数x 的值为________．例5、若集合A 中含有三个元素a －3,2a －1，a 2－4，且－3∈A ，则实数a 的值为________．随堂即时演练1．下列说法正确的是 ( ) A ．某班中年龄较小的同学能够形成一个集合 B ．由1,2,3和 9，1，4组成的集合不相等 C ．不超过20的非负数组成一个集合D ．方程(x －1)(x ＋1)2＝0的所有解构成的集合中有3个元素2．若以集合A 的四个元素a 、b 、c 、d 为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是( ) A ．梯形 B ．平行四边形 C ．菱形 D ．矩形3．下列说法中①集合N 与集合N ＋是同一个集合 ②集合N 中的元素都是集合Z 中的元素 ③集合Q 中的元素都是集合Z 中的元素 ④集合Q 中的元素都是集合R 中的元素，其中正确的有________． 4．设由2,4,6构成的集合为A ，若实数a ∈A 时，6－a ∈A ，则a ＝________.5．已知集合A 中含有两个元素x ，y ，集合B 中含有两个元素0，2x ，若A ＝B ，求实数x ，y 的值． 课后作业 一、选择题1．下列判断正确的个数为( )(1)所有的等腰三角形构成一个集合． (2)倒数等于它自身的实数构成一个集合． (3)质数的全体构成一个集合．(4)由2,3,4,3,6,2构成含有6个元素的集合． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．若a ∈R ，但a ∉Q ，则a 可以是( )A ．3.14B ．－5 C.37D.73．下列各组中集合P 与Q ，表示同一个集合的是( )A ．P 是由元素1，3，π构成的集合，Q 是由元素π，1，|－3|构成的集合B ．P 是由π构成的集合，Q 是由3.141 59构成的集合C ．P 是由2,3构成的集合，Q 是由有序数对(2,3)构成的集合D ．P 是满足不等式－1≤x≤1的自然数构成的集合，Q 是方程x 2＝1的解集 4．下列四个说法中正确的个数是( )①集合N 中的最小数为1； ②若a ∈N ，则－a ∉N ；③若a ∈N ，b ∈N ，则a ＋b 的最小值为2； ④所有小的正数组成一个集合； ⑤π∈Q ； ⑥0∉N ； ⑦－3∈Z ； ⑧5∉R.A ．0B ．1C ．2D ．35．由实数－a ，a ，|a|，a 2所组成的集合最多含有________个元素．( )A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题6．方程x 2－2x －3＝0的解集与集合A 相等，若集合A 中的元素是a ，b ，则a ＋b ＝________. 7．已知集合A 是由偶数组成的，集合B 是由奇数组成的，若a ∈A ，b ∈B ，则a ＋b________A ，ab________A ．(填∈或∉)．8．若集合A 是不等式x －a>0的解集，且2∉A ，则实数a 的取值范围是________． 三、解答题9．设集合A 中含有三个元素3，x ，x 2－2x.(1)求实数x 应满足的条件；(2)若－2∈A ，求实数x.10．数集M 满足条件：若a ∈M ，则1＋a 1－a ∈M(a≠±1且a≠0)．若3∈M ，则在M 中还有三个元素是什么？第二课时 集合的表示一、集合的表示方法1、列举法：把集合的元素 出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．2、使用列举法表示集合的四个注意点(1)元素间用“，”分隔开，其一般形式为{a 1，a 2，…，a n }； (2)元素不重复，满足元素的互异性； (3)元素无顺序，满足元素的无序性；(4)对于含有有限个元素且个数较少的集合，采取该方法较合适；若元素个数较多或有无限个且集合中的元素呈现一定的规律，在不会产生误解的情况下，也可以列举出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示. 3、描述法(1)定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法．(2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的 及 ，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的 ． （3）描述法表示集合的条件对于元素个数不确定且元素间无明显规律的集合，不能将它们一一列举出来，可以将集合中元素的共同特征描述出来，即采用描述法． （4）描述法的一般形式它的一般形式为{x ∈A|p(x)}，其中的x 表示集合中的代表元素，A 指的是元素的取值范围；p(x)则是表示这个集合中元素的共同特征，其中“|”将代表元素与其特征分隔开来．一般来说集合元素x 的取值范围A 需写明确，但若从上下文的关系看，x ∈A 是明确的，则x ∈A 可以省略，只写元素x. 题型一、用列举法表示集合 例1若集合A ＝{(1,2)，(3,4)}，则集合A中元素的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)用列举法表示下列集合．①不大于10的非负偶数组成的集合； ②方程x 2＝x 的所有实数解组成的集合； ③直线y ＝2x ＋1与y 轴的交点所组成的集合；④方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －y ＝－1的解．变式1、已知集合A ＝{－2，－1,0,1,2,3}，对任意a ∈A ，有|a|∈B ，且B 中只有4个元素，求集合B.题型二、用描述法表示集合例2、(1)用符号“∈”或“∉”填空：①A ＝{x|x 2－x ＝0}，则1________A ，－1________A ； ②(1,2)________{(x ，y)|y ＝x ＋1}． (2)用描述法表示下列集合：①正偶数集；②被3除余2的正整数的集合； ③平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合变式2、下列三个集合：①A ＝{x|y ＝x 2＋1}；②B ＝{y|y ＝x 2＋1}；③C ＝{(x ，y)|y ＝x 2＋1}． (1)它们是不是相同的集合？(2)它们各自的含义分别是什么？题型三、集合表示的应用 例3、(1)集合A ＝{1，－3,5，－7,9，…}用描述法可表示为( )A ．{x|x ＝2n ±1，n ∈N}B ．{x|x ＝(－1)n (2n －1)，n ∈N}C ．{x|x ＝(－1)n (2n ＋1)，n ∈N}D ．{x|x ＝(－1)n －1(2n ＋1)，n ∈N} (2)设集合B ＝⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+∈N x Nx 26.①试判断元素1,2与集合B 的关系；②用列举法表示集合B.变式3、定义集合A ，B 的一种运算：A*B ＝{x|x ＝x 1＋x 2，其中x 1∈A ，x 2∈B}，若A ＝{1,2,3}，B ＝{1,2}，试用列举法表示出集合A*B.例4、集合A ＝{x|ax 2＋2x ＋1＝0，a ∈R}中只有一个元素，求a 的取值范围．（2）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围．（3）若A 中至少有一个元素，求a 的取值范围(4)是否存在实数a ，使A ＝{1}，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由． 课堂练习1．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x 2－y 2＝9的解集是 ( )A ．(－5,4)B ．(5，－4)C ．{(－5,4)}D ．{(5，－4)}2．下列四个集合中，不同于另外三个的是( ) A ．{y|y ＝2} B ．{x ＝2} C ．{2}D ．{x|x2－4x ＋4＝0}3．给出下列说法：①直角坐标平面内，第一、三象限的点的集合为{(x ，y)|xy>0}； ②方程x －2＋|y ＋2|＝0的解集为{2，－2}； ③集合{(x ，y)|y ＝1－x}与{x|y ＝1－x}是相等的． 其中正确的是________(填写正确说法的序号)．4．若A ＝{－2,2,3,4}，B ＝{x|x ＝t2，t ∈A}，用列举法表示集合B 为________． 5．用适当的方法表示下列集合： (1)一年中有31天的月份的全体； (2)大于－3.5小于12.8的整数的全体； (3)梯形的全体构成的集合； (4)所有能被3整除的数的集合； (5)方程(x －1)(x －2)＝0的解集； (6)不等式2x －1>5的解集．课后作业 一、选择题1．下列各组中的两个集合M 和N ，表示同一集合的是( )A ．M ＝{π}，N ＝{3.141 59}B ．M ＝{2,3}，N ＝{(2,3)}C ．M ＝{x|－1<x ≤1，x ∈N}，N ＝{1}D ．M ＝{1，3，π}，N ＝{π，1，|－3|}2．已知x ，y ，z 为非零实数，代数式x |x|＋y |y|＋z |z|＋|xyz|xyz 的值所组成的集合是M ，则下列判断正确的是( )A ．0∉MB ．2∈MC ．－4∉MD ．4∈M3．集合{x ∈N *|x －3<2}的另一种表示法是( )A ．{0,1,2,3,4}B ．{1,2,3,4}C ．{0,1,2,3,4,5}D ．{1,2,3,4,5}4．已知集合A ＝{x|x ＝2m －1，m ∈Z}，B ＝{x|x ＝2n ，n ∈Z}，且x 1、x 2∈A ，x 3∈B ，则下列判断不正确的是( )A ．x 1·x 2∈AB ．x 2·x 3∈BC ．x 1＋x 2∈BD ．x 1＋x 2＋x 3∈A5．设P ＝{1,2,3,4}，Q ＝{4,5,6,7,8}，定义P*Q ＝{(a ，b)|a ∈P ，b ∈Q ，a≠b}，则P*Q 中元素的个数为( )A ．4B ．5C ．19D ．20二、填空题6．设集合A ＝{1，－2，a 2－1}，B ＝{1，a 2－3a,0}，若A ，B 相等，则实数a ＝________. 7．已知集合A ＝{x|2x ＋a>0}，且1∉A ，则实数a 的取值范围是________．8．已知－5∈{x|x 2－ax －5＝0}，则集合{x|x 2－4x －a ＝0}中所有元素之和为________． 三、解答题9．已知集合M ＝{－2,3x 2＋3x －4，x 2＋x －4}，若2∈M ，求x.10．(1)已知集合M ＝{x ∈N|61＋x ∈Z}，求M ；(2)已知集合C ＝{61＋x∈Z|x ∈N}，求C.1．1.2集合间的基本关系一、子集的概念1、定义：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有关系，称集合A为集合B的子集2、记法与读法：记作(或)，读作“A含于B”(或“B包含A”)3、图示：4、结论：(1)任何一个集合是它本身的子集，即A A.(2)对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则A C5、对子集概念的理解(1)集合A是集合B的子集的含义是：集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A能推出x∈B.例如{0,1}⊆{－1,0,1}，则0∈{0,1},0∈{－1,0,1}．(2)如果集合A中存在着不是集合B的元素，那么集合A不包含于B，或B不包含A.此时记作A⃘B或B⊉A.(3)注意符号“∈”与“⊆”的区别：“⊆”只用于集合与集合之间，如{0}⊆N.而不能写成{0}∈N，“∈”只能用于元素与集合之间．如0∈N，而不能写成0⊆N.二、集合相等1、定义：如果集合A是集合B的(A⊆B)，且集合B是集合A的(B⊆A)，此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等，记作 .2、对两集合相等的认识(1)若A⊆B，又B⊆A，则A＝B；反之，如果A＝B，则A⊆B，且B⊆A.这就给出了证明两个集合相等的方法，即欲证A＝B，只需证A⊆B与B⊆A同时成立即可．(2)若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关.三、真子集1、定义：如果集合A⊆B，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的真子集2、记法：记作A B(或B A)3、图示：4、结论：(1)A B且B C，则A C；(2)A⊆B且A≠B，则A B5、对真子集概念的理解(1)在真子集的定义中，A B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A.(2)若A不是B的子集，则A一定不是B的真子集.四、空集1、定义：我们把的集合，叫做空集2、记法：∅3、规定：空集是任何集合的，即∅⊆A4、特性：(1)空集只有一个子集，即它的本身，∅⊆∅(2)A≠∅，则∅ A5、∅与{0}的区别(1)∅是不含任何元素的集合；(2){0}是含有一个元素的集合，∅{0}六、公式法求有限集合的子集个数1含n个元素的集合有2n个子集．2含n个元素的集合有(2n－1)个真子集．3含n个元素的集合有(2n－1)个非空子集．4含有n个元素的集合有(2n－2)个非空真子集．5若集合A有n(n≥1)个元素，集合C有m(m≥1)个元素，且A⊆B⊆C，则符合条件的集合B有2m－n个题型一、集合间关系的判断例1(1)下列各式中，正确的个数是()①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③∅⊆{0,1,2}；④∅＝{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0} A．1B．2 C．3 D．4(2)指出下列各组集合之间的关系：①A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；②A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；③M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．变式1、能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是题型二、有限集合子集的确定例2、(1)集合M＝{1,2,3}的真子集个数是()A．6 B．7 C．8 D．9(2)满足{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}的集合M有________个．变式2、非空集合S⊆{1,2,3,4,5}且满足“若a∈S，则6－a∈S”，则这样的集合S共有________个．三、集合间关系的应用例3、已知集合A＝{x|x<－1或x>4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B⊆A，求实数a的取值范围．变式3、已知集合A＝{x|1<ax<2}，B＝{x|－1<x<1}，求满足A⊆B的实数a的取值范围．例4、已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，（1）若A⊆B，求实数m的取值范围．（2）若B⊆A，求实数m的取值范围．（3）若将“A⊆B”改为“A B”，求实数m的取值范围．例5、已知集合A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，a∈R}，若B⊆A，求实数a的取值范围．课堂练习1．给出下列四个判断：①∅＝{0}；②空集没有子集；③任何一个集合必有两个或两个以上的子集；④空集是任何一个集合的子集．其中，正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个2．已知A＝{x|x是菱形}，B＝{x|x是正方形}，C＝{x|x是平行四边形}，那么A，B，C之间的关系是()A．A⊆B⊆C B．B⊆A⊆C C．A B⊆C D．A＝B⊆C3．已知集合A＝{－1,3，m}，B＝{3,4}，若B⊆A，则实数m＝________.4．集合A＝{x|0≤x<3且x∈N}的真子集的个数为________．5．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a}．(1)若A是B的真子集，求a的取值范围；(2)若B是A的子集，求a的取值范围；(3)若A＝B，求a的取值范围．课后作业一、选择题1．已知集合A＝{x|x＝3k，k∈Z}，B＝{x|x＝6k，k∈Z}，则A与B之间最适合的关系是( ) A．A⊆B B．A⊇B C．A B D．A B2．已知集合M＝{x|－5<x<3，x∈Z}，则下列集合是集合M的子集的为( ) A．P＝{－3,0,1}B．Q＝{－1,0,1,2}C．R＝{y|－π<y<－1，y∈Z}D．S＝{x||x|≤3，x∈N}3．已知集合P＝{x|x2＝1}，Q＝{x|ax＝1}，若Q⊆P，则a的值是( ) A．1 B．－1 B．－1 C．1或－1 D．0,1或－14．已知集合A⊆{0,1,2}，且集合A中至少含有一个偶数，则这样的集合A的个数为( ) A．6 B．5 C．4 D．35．已知集合M＝{(x，y)|x＋y<0，xy>0}和P＝{(x，y)|x<0，y<0}，那么( ) A．P M B．M P C．M＝P D．M⃘P二、填空题6．已知M＝{y|y＝x2－2x－1，x∈R}，N＝{x|－2≤x≤4}，则集合M与N之间的关系是________．7．图中反映的是“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”这四个文学概念之间的关系，请作适当的选择填入下面的空格：A为________；B为________；C为________；D为________．8．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值构成的集合为________．三、解答题9．已知A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，且B⊆A，求实数a组成的集合C.10．设集合A＝{x|－1≤x＋1≤6}，B＝{x|m－1<x<2m＋1}．(1)当x∈Z时，求A的非空真子集的个数；(2)若A⊇B，求m的取值范围．1．1.3 集合的基本运算第一课时集合的并集、交集一、并集1．并集的概念：一般地，由所有的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作(读作“A并B”)2、符号语言：A∪B＝{x| }3、图形语言：4、并集的性质(1)A∪B＝，即两个集合的并集满足交换律．(2)A∪A＝，即任何集合与其本身的并集等于这个集合本身．(3)A∪∅＝∅∪A＝，即任何集合与空集的并集等于这个集合本身．(4)A (A∪B)，B (A∪B)，即任何集合都是该集合与另一个集合并集的子集．(5)若A⊆B，则A∪B＝，反之也成立，即任何集合同它的子集的并集，等于这个集合本身．5、理解并集应关注三点(1)A∪B仍是一个集合，由所有属于A或属于B的元素组成．(2)“或”的数学内涵的形象图示如下：(3)若集合A和B中有公共元素，根据集合元素的互异性，则在A∪B中仅出现一次.二、交集1．交集的概念：一般地，由属于的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作(读作“A交B”)2、符号语言：A∩B＝{x| }3、图形语言：4、交集的性质(1)A∩B＝，即两个集合的交集满足交换律．(2)A∩A＝，即任何集合与其本身的交集等于这个集合本身．(3)A∩∅＝∅∩A＝，即任何集合与空集的交集等于空集．(4)A∩B A，A∩B B，即两个集合的交集是其中任一集合的子集．(5)若A⊆B，则A∩B＝，反之也成立，即若A是B的子集，则A，B的公共部分是A.5、理解交集的概念应关注四点(1)概念中“且”即“同时”的意思，两个集合交集中的元素必须同时是两个集合的元素．(2)概念中的“所有”两字不能省，否则将会漏掉一些元素，一定要将相同元素全部找出．(3)当集合A和集合B无公共元素时，不能说集合A，B没有交集，而是A∩B＝∅.(4)定义中“x∈A，且x∈B”与“x∈(A∩B)”是等价的，即由既属于A，又属于B的元素组成的集合为A∩B.而只属于集合A或只属于集合B的元素，不属于A∩B.题型一、并集的运算例1(1)设集合M＝{4,5,6,8}，集合N＝{3,5,7,8}，那么M∪N等于（) A．{3,4,5,6,7,8}B．{5,8} C．{3,5,7,8} D．{4,5,6,8}(2)若集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|－2<x<2}，则A∪B等于()A．{x|x>－2} B．{x|x>－1} C．{x|－2<x<－1} D．{x|－1<x<2}变式1、若集合A＝{1,4，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝{1,4，x}，则满足条件的实数x有() A．1个B．2个C．3个D．4个题型二、交集的运算例2(1)若A＝{0,1,2,3}，B＝{x|x＝3a，a∈A}，则A∩B等于()A．{1,2} B．{0,1} C．{0,3} D．{3}(2)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B等于()A．{x|0≤x≤2} B．{x|1≤x≤2} C．{x|0≤x≤4} D．{x|1≤x≤4}变式2、已知M＝{1,2，a2－3a－1}，N＝{－1，a,3}，M∩N＝{3}，求实数a的值．题型三、交集、并集的性质及应用例3、已知集合A＝{x|－3<x≤4}，集合B＝{x|k＋1≤x≤2k－1}，且A∪B＝A，试求k的取值范围．例4、(1)已知M＝{2，a2－3a＋5,5}，N＝{1，a2－6a＋10,3}，M∩N＝{2,3}，则a的值是() A．1或2B．2或4 C．2 D．1(2)集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－2x＋a－1＝0}，A∩B＝B，则a的取值范围为________．（3）设集合M＝{x|－2<x<5}，N＝{x|2－t<x<2t＋1，t∈R}，若M∩N＝N，则实数t的取值范围为________．随堂即时演练1．设集合M＝{m∈Z|－3<m<2}，N＝{n∈Z|－1≤n≤3}，则M∩N＝（)A．{0,1}B．{－1,0,1} C．{0,1,2} D．{－1,0,1,2}2．已知S＝{(x，y)|y＝1，x∈R}，T＝{(x，y)|x＝1，y∈R}，则S∩T＝()A．空集B．{1} C．(1,1) D．{(1,1)}3．若集合A ＝{x|－1<x<5}，B ＝{x|x ≤－1，或x ≥4}，则A ∪B ＝________，A ∩B ＝________.4．已知集合A ＝{x|x ≤1}，B ＝{x|x ≥a}，且A ∪B ＝R ，则实数a 的取值范围是________．5．设集合A ＝{2，－1，2x －x ＋1}，B ＝{2y ，－4，x ＋4}，C ＝{－1,7}，且A ∩B ＝C ，求实数x ，y 的值及A ∪B.课后作业一、选择题1．已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |－2≤x －1≤2}和N ＝{x |x ＝2k －1，k ∈N *}的关系的Venn图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有( )A ．2个B ．3个C ．1个D ．无穷多个 2．设S ，T 是两个非空集合，且它们互不包含，那么S ∪(S ∩T )等于( )A ．S ∩TB ．SC ．∅D ．T 3．集合A ＝{0,2，a }，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，则a 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．44．设集合A ＝{a ，b }，B ＝{a ＋1,5}，若A ∩B ＝{2}，则A ∪B 等于( )A ．{1,2}B ．{1,5}C ．{2,5}D ．{1,2,5}5．设集合A ＝{x |－1≤x <2}，B ＝{x |x <a }，若A ∩B ≠∅，则a 的取值范围是( )A ．a <2B ．a >－2C ．a >－1D ．－1<a ≤2二、填空题6．若集合A ＝{x |x ≤2}，B ＝{x |x ≥a }，满足A ∩B ＝{2}，则实数a ＝________.7．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．8．满足{1,3}∪A ＝{1,3,5}的所有集合A 的个数是________．三、解答题9．已知S ＝{x |2x 2－px ＋q ＝0}，T ＝{x |6x 2＋(p ＋2)x ＋q ＋5＝0}，且S ∩T ＝{12}，求S ∪T .10．已知A ＝{x |a ＜x ≤a ＋8}，B ＝{x |x <－1，或x >5}．若A ∪B ＝R ，求a 的取值范围．第二课时补集及综合应用一、全集1、定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的，那么就称这个集合为全集．2、符号表示：全集通常记作.3、对全集概念的理解“全集”是一个相对的概念，并不是固定不变的，它是依据具体的问题来加以选择的．例如：我们常把实数集R看作全集，而当我们在整数范围内研究问题时，就把整数集Z看作全集.二、补集1、定义：对于一个集合A，由全集U中的所有元素组成的集合称为集合A相对全集U的补集，简称为集合A的补集，记作——2、符号语言：3、图形语言：4、性质：(1)∁UA⊆U；(2)∁UU＝，∁U∅＝；(3)∁U(∁UA)＝；(4)A∪(∁UA)＝；A∩(∁UA)＝——5、理解补集应关注三点(1)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念．(2)∁U A包含三层意思：①A⊆U；②∁U A是一个集合，且∁U A⊆U；③∁U A是由U中所有不属于A的元素构成的集合．(3)若x∈U，则x∈A或x∈∁U A，二者必居其一．题型一、补集的运算[例1](1)设全集U＝R，集合A＝{x|2<x≤5}，则∁U A＝________.(2)设U＝{x|－5≤x<－2，或2<x≤5，x∈Z}，A＝{x|x2－2x－15＝0}，B＝{－3,3,4}，则∁U A ＝________，∁U B＝________.变式1、设全集U＝{1,3,5,7,9}，A＝{1，|a－5|,9)，∁U A＝{5,7}，则a的值为________．题型二、集合的交、并、补的综合运算[例2]已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(∁U A)∪B，A∩(∁U B)，∁U(A∪B)．变式2、已知全集U＝{x|x<10，x∈N*}，A＝{2,4,5,8}，B＝{1,3,5,8}，求∁U(A∪B)，∁U(A∩B)，(∁U A)∩(∁U B)，(∁U A)∪(∁U B)．题型三、补集的综合应用[例3]设全集U＝R，M＝{x|3a<x<2a＋5}，P＝{x|－2≤x≤1}，若M ∁U P，求实数a的取值范围．变式3、已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x<－1，或x>0}，若A∩(∁R B)＝∅，求实数a的取值范围．例4、已知集合A＝{x|x2－4x＋2m＋6＝0}，B＝{x|x<0}，若A∩B≠∅，求实数m的取值范围．例5、已知集合A＝{x|2m－1<x<3m＋2}，B＝{x|x≤－2，或x≥5}，是否存在实数m，使A∩B≠∅？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．课堂练习1．已知U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,3,5,7}，B＝{2,4,5}，则∁U(A∪B)＝()A．{6,8}B．{5,7} C．{4,6,7} D．{1,3,5,6,8}2．已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x＜－1，或x>4}，那么集合A∩(∁UB)等于()A．{x|－2≤x＜4} B．{x|x≤3，或x≥4} C．{x|－2≤x＜－1} D．{x|－1≤x≤3} 3．已知集合A＝{3,4，m}，集合B＝{3,4}，若∁AB＝{5}，则实数m＝________.4．已知全集U＝R，M＝{x|－1<x<1}，∁UN＝{x|0<x<2}，那么集合M∪N＝________. 5．设U＝R，已知集合A＝{x|－5<x<5}，B＝{x|0≤x<7}，求(1)A∩B；(2)A∪B；(3)A∪(∁UB)；(4)B∩(∁UA)；(5)(∁UA)∩(∁UB)．课后作业一、选择题1．设全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3,5}，B＝{2,4,5}，则(∁U A)∩(∁U B)＝( )A．∅B．{4} C．{1,5} D．{2,5}2．设全集U＝R，集合A＝{x|0<x<9}，B＝{x∈Z|－4<x<4}，则集合(∁U A)∩B中的元素的个数为( )A．3 B．4 C．5 D．63．已知三个集合U，A，B及集合间的关系如图所示，则(∁U B)∩A＝( ) A．{3} B．{0,1,2,4,7,8} C．{1,2} D．{1,2,3}4．图中阴影部分所表示的集合是( )A．B∩(∁U(A∪C)) B．(A∪B)∪(B∪C)C．(A∪C)∩(∁U B) D．(∁U(A∩C))∪B5．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x＝2a，a∈A}，则集合∁U(A∪B)中元素的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题6设全集U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，则A∩(∁U B)＝________7．已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|1<x<2}，A∪(∁R B)＝R，则实数a的取值范围是________．8．全集U＝R，A＝{x|x<－3或x≥2}，B＝{x|－1<x<5}，则集合C＝{x|－1<x<2}＝________(用A、B或其补集表示)．三、解答题9．已知集合A＝{x|2≤x<7}，B＝{x|3<x<10}，C＝{x|x<a}．(1)求A∪B，(∁R A)∩B；(2)若A∩C≠∅，求a的取值范围．10．已知全集U＝{不大于20的素数}，M，N为U的两个子集，且满足M∩(∁U N)＝{3,5}，(∁U M)∩N＝{7,19}，(∁U M)∩(∁U N)＝{2,17}，求M，N.1．2.1函数的概念题型一、函数的判断例1(1)设M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，给出下列四个图形：其中，能表示从集合M 到集合N 的函数关系的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3(2)下列各题的对应关系是否给出了实数集R 上的一个函数？为什么？①f ：把x 对应到3x ＋1； ②g ：把x 对应到|x |＋1； ③h ：把x 对应到1x；④r ：把x 对应到x .变式1、下列对应或关系式中是A 到B 的函数的是( ) A ．A ∈R ，B ∈R ，x 2＋y 2＝1B ．A ＝{1,2,3,4}，B ＝{0,1}，对应关系如图：C ．A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝1x －2D ．A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝2x －1 [例2] 求下列函数的定义域：(1)y ＝(x ＋1)2x ＋1－1－x ； (2)y ＝5－x |x |－3.变式2、求下列函数的定义域：(1)y ＝2＋3x －2； (2)y ＝3－x ·x －1； (3)y ＝(x －1)0＋2x ＋1.例3、已知f (x )＝11＋x(x ∈R ，且x ≠－1)，g (x )＝x 2＋2(x ∈R)．(1)求f (2)、g (2)的值；(2)求f [g (2)]的值；(3)求f (x )、g (x )的值域；变式3、求下列函数的值域：(1)y ＝x ＋1，x ∈{1,2,3,4,5}； (2)y ＝x 2－2x ＋3，x ∈[0,3)；(3)y ＝2x ＋1x －3； (4)y ＝2x －x －1.例4、下列各组函数：①f (x )＝x 2－x x ，g (x )＝x －1；②f (x )＝x x ，g (x )＝xx ；③f (x )＝x ＋1·1－x ，g (x )＝1－x 2；④f (x )＝(x ＋3)2，g (x )＝x ＋3；⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f (t )＝80t (0≤t ≤5)与一次函数g (x )＝80x (0≤x ≤5)．其中表示相等函数的是________(填上所有正确的序号)． 变式4、与函数y ＝x ＋1相等的函数是 ( ) A ．y ＝x 2－1x －1B ．y ＝t ＋1C ．y ＝x 2＋2x ＋1D ．y ＝(x ＋1)2课堂练习1．下列说法错误的是 ( ) A ．函数值域中的每一个值都有定义域中的一个值与它对应 B ．函数的定义域是无限集，则值域也是无限集 C ．定义域与对应关系确定后，函数值域也就确定了 D ．若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素 2．下列函数中，f (x )与g (x )相等的是 ( )A ．f (x )＝x ，g (x )＝(x )2B ．f (x )＝x ，g (x )＝x 2C ．f (x )＝x ＋2，g (x )＝x 2－4x －2 D ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 23．用区间表示下列数集： (1){x|x ≥1}＝________； (2){x|2<x ≤4}＝________； (3){x|x>－1且x ≠2}＝________.4．函数y ＝1x －2的定义域是A ，函数y ＝2x ＋6 的值域是B ，则A ∩B ＝________(用区间表示)．5．若f (x )＝1－x1＋x (x ≠－1)，求f (0)，f (1)，f (1－a )(a ≠2)，f [f (2)]．课后作业 一、选择题1．下列式子中不能表示函数y ＝f (x )的是( )A ．x ＝y 2＋1 B ．y ＝2x 2＋1 C ．x －2y ＝6 D ．x ＝y 2．下列各组中的两个函数为相等函数的是( )A ．f (x )＝x ＋1·x －1，g (x )＝x ＋1x －1B ．f (x )＝(2x －5)2，g (x )＝2x －5 C ．f (x )＝1－x x 2＋1与g (x )＝1＋xx 2＋1D ．f (x )＝x 4x与g (t )＝(t t)23．若函数y ＝f (x )的定义域M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )4．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( )A ．y ＝xB ．y ＝1xC ．y ＝1xD ．y ＝x 2＋15．设f (x )＝x 2－1x 2＋1，则()⎪⎭⎫⎝⎛212f f ＝( )A ．1B ．－1 C.35 D ．－35二、填空题6．若[a,3a －1]为一确定区间，则a 的取值范围是________． 7．设f (x )＝11－x，则f [f (x )]＝________.8．若函数f (x )＝3x －1mx 2＋x ＋3的定义域为R ，则m 的取值范围为________．三、解答题9．试求下列函数的定义域与值域：(1)f (x )＝(x －1)2＋1，x ∈{－1,0,1,2,3}； (2)f (x )＝(x －1)2＋1；(3)f (x )＝5x ＋4x －1； (4)f (x )＝x －x ＋1.10．已知函数f (x )＝x 21＋x 2.(1)求f (2)＋f (12)，f (3)＋f (13)的值；(2)求证：f (x )＋f (1x )是定值； (3)求f (2)＋f (12)＋f (3)＋f (13)＋…＋f (2 012)＋f (12 012)的值．1．2.2函数的表示法第一课时函数的表示法题型一、函数的表示方法例1、(1)某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程．下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是( )(2)已知函数f (x )按下表给出，满足f [f (x )]>f (3)的x 的值为________.x 1 2 3 f (x )231变式1、汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图象可能是题型二、函数图象的作法及应用[例2] 作出下列函数的图象并求出其值域．(1)y ＝2x ＋1，x ∈[0,2]； (2)y ＝2x ，x ∈[2，＋∞)； (3)y ＝x 2＋2x ，x ∈[－2,2]．变式二、作出下列函数图象：(1)y ＝1－x (x ∈Z 且|x |≤2)； (2)y ＝2x 2－4x －3(0≤x <3)．例3、(1)已知函数f (x )是一次函数，若f [f (x )]＝4x ＋8，求f (x )的解析式． (2)已知f (x )是二次函数，且满足f (0)＝1，f (x ＋1)－f (x )＝2x ，求f (x )的解析式．例4、已知f (x )＝2x 2＋1，求f (x ＋1)的解析式．例5、求下列函数的解析式：①已知f (1＋x x )＝1＋x 2x 2＋1x ，求f (x )； ②已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )．课堂练习1．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点…….用s1，s2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t 为时间，则下图中的s t 函数图象与故事情节相吻合的是( )2.函数y ＝f (x )的图象如图，则f (x )的定义域是 ( ) A ．R B ．(－∞，1)∪(1，＋∞) C ．(－∞，0)∪(0，＋∞) D ．(－1,0)3．如图，函数f(x)的图象是曲线OAB ，其中点O 、A 、B 的坐标分别为(0,0)、(1,2)、(3,1)，则f[f(3)]的值等于________．4．已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)＝6x ＋4，则f (x )＝________. 5．(1)已知函数f(x)＝2x ，求f(x －1)；(2)已知函数f(x －1)＝2x ，求f(x)． 课后作业 一、选择题1．设f (x )＝2x ＋3，g (x )＝f (x －2)，则g (x )等于( ) A ．2x ＋1 B ．2x －1 C ．2x －3 D ．2x ＋72．如图所示的四个容器高度都相同．将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象显示该容器中水面的高度h 和时间t 之间的关系，其中不正确的是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．函数y ＝f (x )(f (x )≠0)的图象与x ＝1的交点个数是( )A ．1B ．2C ．0或1D ．1或24．已知x ≠0，函数f (x )满足f (x －1x )＝x 2＋1x2，则f (x )的表达式为( )A ．f (x )＝x ＋1xB ．f (x )＝x 2＋2C ．f (x )＝x 2D ．f (x )＝21⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x5．已知函数f (x )满足f (ab )＝f (a )＋f (b )，且f (2)＝p ，f (3)＝q ，那么f (12)＝( )A ．p ＋qB ．2p ＋qC ．p ＋2qD ．p 2＋q 二、填空题6．已知函数f (x )＝x －mx，且此函数图象过点(5,4)，则实数m 的值为________． 7．若f (x )－12f (－x )＝2x (x ∈R)，则f (2)＝______.8．某航空公司规定，乘客所携带行李的重量(kg)与其运费(元)由如图的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的最大重量为________(kg)．三、解答题9.如图所示，有一块边长为a 的正方形铁皮，将其四角各截去一个边长为x 的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出此盒子的体积V 以x 为自变量的函数式，并指明这个函数的定义域．10．某企业生产某种产品时的能耗y 与产品件数x 之间的关系式为：y ＝ax ＋bx.且当x ＝2时，y ＝100；当x ＝7时，y ＝35.且此产品生产件数不超过20件．(1)写出函数y 关于x 的解析式； (2)用列表法表示此函数，并画出图象．第二课时 分段函数与映射题型一、分段函数求值问题[例1] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1， x ≤－2，x 2＋2x ， －2<x <2，2x －1， x ≥2.(1)求f (－5)，f (－3)，⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-25f f 的值；(2)若f (a )＝3，求实数a 的值．变式1、已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，(n ＝1)，2，(n ＝2)，f (n －2)＋f (n －1)，(n ∈N *，n ≥3).求：f (3)，f (4)，f [f (4)]的值．题型二、分段函数的图象及应用[例2] (1)如图为一分段函数的图象，则该函数的定义域为________，值域为________．(2)已知函数f (x )＝1＋|x |－x2(－2<x ≤2)．①用分段函数的形式表示该函数；②画出该函数的图象；③写出该函数的值域．变式2、已知函数y ＝f (x )的图象由图中的两条射线和抛物线的一部分组成，求函数的解析式．题型三、映射的概念[例3] 判断下列对应是不是从集合A 到集合B 的映射： (1)A ＝N *，B ＝N *，对应关系f ：x →|x －3|；(2)A ＝{平面内的圆}，B ＝{平面内的矩形}，对应关系f ：作圆的内接矩形； (3)A ＝{高一(1)班的男生}，B ＝R ，对应关系f ：每个男生对应自己的身高； (4)A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |0≤y ≤6}，对应关系f ：x →y ＝12x .变式3、已知A ＝{1,2,3，…，9}，B ＝R ，从集合A 到集合B 的映射f ：x →x2x ＋1.(1)与A 中元素1相对应的B 中的元素是什么？ (2)与B 中元素49相对应的A 中的元素是什么？例4、(12分)如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD ，底边BC 长为7 cm ，腰长为22cm ，当垂直于底边BC (垂足为F )的直线l 从左至右移动(与梯形ABCD 有公共点)时，直线l 把梯形分成两部分，令BF ＝x ，试写出左边部分的面积y 关于x 的函数解析式，并画出大致图象．变式4、某汽车以52 km /h 的速度从A 地行驶到260 km 远处的B 地，在B 地停留1.5 h 后，再以65 km/h 的速度返回A 地，试将汽车离开A 地后行驶的路程s 表示为时间t 的函数．。