不唯一，如下图中，工序 d 的先导工作是 b ，而c的先导
工作是 a 和 b，c 的后继工作是e ，而 b的后继工作除了d
以外，还有c．
a
c
e
S
E
b
d
f
二、绘制网络图
在绘制网络图时，应遵循以下规则：
（1）网络图只能且必须有一个总开始节点 S 和总结束 节点 E．
（2）网络图中不能有缺口和回路． （3）必须正确表示工作之间的先导，后继关系． （4）会使用平行工作和交叉工作
后继活动的最早开始时间的最大限度．
4、总时差
✓ 公式
TF
j
min
i j
ES
i
EF
j
TF
i
,
若A
j
有后继活动
0,
若A j 无后继活动
✓ 意义 总时差表示该活动可向后延期开始或结束，但不影
响整个工程的工期的最大限度．
二、关键路线
1、关键活动 使 TF j 0的活动称为关键活动
2、关键路线 由关键活动组成的路线称为关键路线
若人力资源限制为每周4人，那么必须延长工期，调 整方案如图。
例2 下图为某工程的网络图．工程的间接费用昂贵 ，高达6千元/天．为了减少整个工程的费用，对每个活 动进行审查，以找出减少工程间接费用的赶工方案．调 整结果如表2-4所示．表中成本斜率是指每赶工一天，该 活动需增加的直接费用．假设每个活动的赶工费用与缩 短工期成正比，试确定使工程费用最少的最优方案．
1958年美国海军和洛克希德航空公司在联合研究开发“潜艇发射北 极星导弹系统”中创立了另一种管理方法．在制定研制“北极星” 导弹计划时，应用了网络分析法与网络计划，但它侧重于对各项工
作安排的评价和审查，这种计划称为计划评审方法（Program Evaluation and Review Techni&ue,简称PERT法），PERT现在已被决
统筹方法虽然没有一套完整的理论体系，但它从实际问题中抽 象出共性的东西，用网络图的形式把计划的各个部分形象的组织起 来，直观地显示出计划的各个环节之间错综复杂的依存关系，并给 予定量的描述，便于领导机关和计划管理人员统筹兼顾，全面安排 ．同时，它作为一种动态的计划工具，随时可以发现计划的关键部 位，便于领导和管理人员集中精力，解决重大关键性问题．用这种 方法管理经济，可以提高工效和设备利用率，缩短工期，加速资金 周转．
策者广泛应用于从简单到复杂的各种项目的规划管理．这两种方法 在商业与国防中取得了有效的成果，同时引起人们的广泛兴趣，在
此基础上又出现了诸如图解评审法（GERT），决策关键路线法 （DCPM）等各种方法．
60年代初，我国数学家华罗庚教授开始推广和应用这些新的科 学管理方法．1965年6月6日他在《人民日报》上发表了《统筹方法 平话》一文，文中综合各家之长，把它们提炼统一成统筹方法，在 我国国民经济的各部门和各个领域推广应用这种方法，取得了显著 的效果．
例3 设某网络图的关系矩阵为：
0 0 0 0
A
1 0 1
0 1 0
0 0 0
0
1 0
求各级节点，并绘制网络图。
解：A3为1级节点，A2 和 A4为2级节点，A1 为3级节点
网络图如下图所示．
A2
S
A3
A1
E
A4
第三节 时间参数及关键路线的确定
时间参数 关键路线
一、时间参数
最早开始时间 最早结束时间 局部时差 总时差
随着技术的进步和社会生产的发展，人们的经济活 动范围和经济建设的规模越来越大，一个计划项目往往 包含着成百甚至是成千上万的个别活动和环节，包括对 时间、人力、设备和资金的安排．要安排好这种庞大而 复杂的计划，单凭传统的方法、常识和经验，是不大可 能的．如果把这类问题抽象成线性规划模型，用单纯形 法求解，不仅要花费较长的时间，而且费用昂贵．所以 ，如何把所动员的大量人力、物力、财力有效地组织起 来，使之相互协调，有条不紊，在资源的约束下以最短 的时间和最省的费用完成整个项目，是管理人员面临的 重大课题，各国的科学家长期以来一直在探索和寻求计 划管理与组织的新方法．
第二章 统筹法
本章主要内容
第一节 统筹方法概述 第二节 网络图的绘制及表示方法 第三节 时间参数及关键路线的确定 第四节 应用二则
第一节 统筹方法概述
统筹方法是用数学方法对计划进行组织安排 与协调管理的一种工具．在工农业生产、交通运 输、基本建设、军事、生活服务等活动中，不论 是一项具体的作业计划，或是一项庞大的工程计 划，都有一个合理组织和统筹安排问题．计划安 排得好，可以加速工程进度，缩短工期，节约人 力、物力、资金，提高资源利用率；计划安排不 当，就会使工程前后脱节，造成窝工，延缓进 度，造成人力，物力和资金的浪费．
2、单代号表示法
活动名称 持续时间
如图，工作名称与持续时间均写在节点内，用结点 表示工作，箭线仅表示工作之间的前后顺序关系，这样 的表示法我们称之为单代号表示法．
例1 某新产品投产前需要完成五项准备工作A、B、 C 、D、，其持续时间分别为14，8，7，3，11（天）， 逻辑关系为B、C必须在A完成后才可开始，D、分别在 B、C完成后开始．试制定该项任务的网络图．
横道图
在横道图基础上作第二次调整，由于总工期不能延 长，可考虑总时差非零，但局部时差为零的活动．由于 活动⑩向后延长了2周，行动⑤也可向后延迟2周，结果 使第5周、第6周需要人力增加到6．同时第2周人力减少 至5，第3周人力减少至4，故把活动⑥仍调整到第3周进 行，调整后的横道图如下，此方案是人力使用较为均匀 的最佳方案．
网络图的表示方法
网络图都由节点和箭线组成，其表示方 法一般分为两种：
双代号表示法
单代号表示法
1、双代号表示法
活动名称
I
J
持续时间
如图，具体工作的名称写在箭杆上方，执行工作所 需时间写在箭杆下方，箭头、箭尾均与结点相连，表示 工作的开始和结束，结点用圆圈和里面的数字表示，数 字表示结点的编号，如①，②等，箭头，箭尾及前后两 个结点合起来表示一项活动．
第二节 网络图的绘制及表示方法
网络图及其表示法 绘制网络图 节点与关系矩阵
一、网络图及其表示法
网络图又称箭线图或统筹图，它是用图解的形式表
示一个生产任务或工作项目中各组成要素之间的逻辑关 系，并形成时间的流程图，通过网络图可以清楚地反映 计划任务的结构安排和各项工作之间的街接关系，表达 完成计划任务的各种方案和设想，以便在实施中统筹兼 顾，合理安排，为计划的编制和工程项目的管理提供科 学依据．
50年代来，美国发展出两种科学管理方法：1956年，美国杜邦
公司在制定企业不同业务部门的系统规划时，制定了一套网络计划 ，这种计划借助于网络表示各项工作与所需要的时间，以及各项工 作的相互关系，并找出在编制计划时及计划执行过程中的关键路线
，这种方法称为关键路线法（Critical Path Method，简称CPM法）。
1、双代号表示法
A
1 14
B 3D
2
8 C
3 E1
5
7
4 11
2、单代号表示法
B
D
8
3
S
A
E
0
14
0
C
E1
7
11
今后只讨论单代号网络图。
与某一工作有关的具体工作，可以根据它们之间的 相互关系，分为先导（紧前）工作，后继（紧后）工作 ．箭头指向本工作的工作为其先导工作，本工作的箭头 指向的工作为其后继工作，一个工作的先导与后继可以
例2 考虑由10道工序组成的计划项目，其前后工序 关系和各道工序的估计完成时间如表2-1所示，试画出该 计划项目的网络图．
表 2-1
解：网络图为
A
D
I
6
7
6
S
B
E1
E
0
10
4
0
C
F
J
5
3
5
H
G
8
4
三、节点与关系矩阵
定义 设网络图中除去开始节点和结束节点，共有
n 个结点 A1, A2 An，令
（3）时间参数
（4）关键路线
关键活动：S B D E H I O；
关键路线：
S BDE H I O
工期：25天．
第四节 应用二则
例1 已知某工程网络图如图所示．某种活动持续时 间的单位为周，活动外括号内的数字表示该活动每周需 要的人力．试确定在保证工期尽早完成的条件下，合理 地利用人力资源的最佳施工方案．
1 aij 0
若A j 是Ai的后继工作 若A j 不是Ai的后继工作
则矩阵
A
aij
称为该网络图的关系矩阵． n
若关系矩阵中某一列，比如第j列元素均为零，即
a1j a2 j anj 0 ，则节点 Aj 称为1级节点，从矩阵中划去
第j行和第j列得到A的一个子矩阵，这个子矩阵的1级节
点称为网络图的2级节点，依次可逐级定义各级节点．
先导活动
ES j
i
j
0,
当A j 无先导活动
2、最早结束时间
✓ 公式
EF j ES j Tj
3、局部时差
✓ 公式
FF
j
min i j
ES
i
EF
j
,
若A
j
有后继活动
0,
若A j 无后继活动
✓ 意义 局部时差该活动表示可向后延期开始又不影响其诸
2
4
6
2
S
1
E
0
4
0
3
5
3
5
此方案工期为12天，总费用比第一个调整方案又减
少：1×6-1×1-1×3=2（千元）