人教版数学八年级上册三角形解答题单元培优测试卷一、八年级数学三角形解答题压轴题(难)1.小明在学习三角形的知识时, 发现如下三个有趣的结论:(1)如图①, ∠A=∠C=90°, ∠ABC的平分线与∠ADC的平分线交于点E, 则BE、DE的位置关系是;(2)如图②, ∠A=∠C=90°, BE平分∠ABC, DF平分∠ADC的外角, 则BE与DF的位置关系是;(3)如图③, ∠A=∠C=90°, ∠ABC的外角平分线与∠ADC的外角平分线交于点E, 则BE、DE 的位置关系是 . 请你完成命题 (3)证明.【答案】(1)BE⊥DE;(2)BE//DF;(3)BE⊥DE.证明见解析.【解析】【分析】(1)由∠A=∠C=90°可以得到∠HDC=∠AB H,设∠HDC=∠AB H=x,可得∠HDG=∠CDG=∠FB H=∠AB F=12x,则有∠CDG+∠CGD=90°,由∠CGD=∠BGE,可得∠BGE+∠FBE=90°,即BE⊥DE;(2) 由∠A=∠C=90°可以得到∠HDC=∠AB H,设∠HDC=∠AB H=x,可得∠EB H=∠AB E=1 2 x,则∠DGE=90°+12x,∠CDM=180°-x,由DF平分∠CDM,则∠CDF=12(180°-x),所以∠CDF+∠HDC=12(180°-x),然后运用同位角相等,即可证明;(3)设∠BFA=∠CFD=x,由∠A=∠C=90°可以得到∠EBC=∠FDN=90°+x,由根据题意可得:∠EDF=∠EBF=12(90°+x);且∠BFD=180°+x,最后用四边形内角和,求出∠BED=90°,完成证明.【详解】解:(1)BE⊥DE,理由如下:∵∠A=∠C=90°,∠DHC=∠BHA∴∠HDC=∠AB H设∠HDC=∠AB H=x∵∠ABC的平分线与∠ADC的平分线交于点E∴∠HDG=∠CDG=∠FB H=∠AB F=1 2 x又∵∠CDG+∠CGD=90°,∠CGD=∠BGE ∴∠BGE+∠FBE=90°,即BE⊥DE;(2)DF∥AB,理由如下:∵∠A=∠C=90°,∠DHC=∠BHA∴∠HDC=∠AB H∵∠A=∠C=90°,∠DHC=∠BHA∴∠HDC=∠AB H∵BE平分∠ABH,∴∠EB H=∠AB E=1 2 x∴∠DGE=90°+1 2 x∵∠CDM=180°-x,DF平分∠CDM∴∠CDF=12(180°-x)=90°-12x∴∠HDF=∠CDF+∠CDH=90°-12x+x=90°+12x∴∠DGE=∠HDF∴DF∥AB(3)BE⊥DE,证明如下:设∠BFA=∠CFD=x,∵∠A=∠C=90°∴∠EBC=∠FDN=90°+x,∵∠ABC的外角平分线与∠ADC的外角平分线交于点E∴∠EDF=∠EBF=12(90°+x)又∵∠BFD=180°-∠AFB=180°-x∴∠BFD=360°-12(90°+x)-12(90°+x)-(180°-x)=90°即BE⊥DE【点睛】本题主要考查了直角三角形和多边形内角和的知识,考查知识点简单,但过程复杂,难度较大,运用方程思想是一个不错的方法.2.直线MN与直线PQ垂直相交于O,点A在直线PQ上运动,点B在直线MN上运动.(1)如图1,已知AE 、BE 分别是∠BAO 和∠ABO 角的平分线,点A 、B 在运动的过程中,∠AEB 的大小是否会发生变化?若发生变化,请说明变化的情况;若不发生变化,试求出∠AEB 的大小.(2)如图2,已知AB 不平行CD ,AD 、BC 分别是∠BAP 和∠ABM 的角平分线,又DE 、CE 分别是∠ADC 和∠BCD 的角平分线,点A 、B 在运动的过程中,∠CED 的大小是否会发生变化?若发生变化,请说明理由;若不发生变化,试求出其值.(3)如图3,延长BA 至G ,已知∠BAO 、∠OAG 的角平分线与∠BOQ 的角平分线及延长线相交于E 、F ,在△AEF 中,如果有一个角是另一个角的3倍,试求∠ABO 的度数.【答案】(1)135°;(2)67.5°;(3)60°, 45° 【解析】【分析】(1)根据直线MN 与直线PQ 垂直相交于O 可知∠AOB=90°,再由AE 、BE 分别是∠BAO 和∠ABO 的角平分线得出1BAE OAB 2∠=∠,1ABE ABO 2∠=∠,由三角形内角和定理即可得出结论;(2)延长AD 、BC 交于点F ,根据直线MN 与直线PQ 垂直相交于O 可得出∠AOB=90°,进而得出OAB OBA 90∠+∠=︒ ,故PAB MBA 270∠+∠=︒,再由AD 、BC 分别是∠BAP 和∠ABM 的角平分线,可知1BAD BAP 2∠=∠,1ABC ABM 2∠=∠,由三角形内角和定理可知∠F=45°,再根据DE 、CE 分别是∠ADC 和∠BCD 的角平分线可知CDE DCE 112.5∠+∠=︒,进而得出结论;(3))由∠BAO 与∠BOQ 的角平分线相交于E 可知1EAO BAO 2∠=∠,1EOQ BOQ 2∠=∠ ,进而得出∠E 的度数,由AE 、AF 分别是∠BAO 和∠OAG 的角平分线可知∠EAF=90°,在△AEF 中,由一个角是另一个角的3倍分四种情况进行分类讨论.【详解】(1)∠AEB 的大小不变,∵直线MN 与直线PQ 垂直相交于O ,∴∠AOB=90°,∴OAB OBA 90∠+∠=︒,∵AE 、BE 分别是∠BAO 和∠ABO 角的平分线,∴1BAE OAB 2∠=∠,1ABE ABO 2∠=∠, ∴()1BAE ABE OAB ABO 452∠+∠=∠+∠=°, ∴∠AEB=135°;(2)∠CED 的大小不变.如图2,延长AD 、BC 交于点F .∵直线MN 与直线PQ 垂直相交于O ,∴90∠=AOB °,∴OAB OBA 90∠+∠=°,∴PAB MBA 270∠+∠=°,∵AD 、BC 分别是∠BAP 和∠ABM 的角平分线,∴1BAD BAP 2∠=∠,1ABC ABM 2∠=∠, ∴()1BAD ABC PAB ABM 1352∠+∠=∠+∠=°,F 45∠=°, ∴FDC FCD 135∠+∠=°,∴CDA DCB 225∠+∠=°,∵DE 、CE 分别是∠ADC 和∠BCD 的角平分线,∴CDE DCB 112.5∠+∠=°,∴E 67.5∠=°;(3)∵∠BAO 与∠BOQ 的角平分线相交于E ,∴1EAO BAO 2∠=∠,1EOQ BOQ 2∠=∠ , ∴()11E EOQ EAO BOQ BAQ ABO 22∠=∠-∠=∠-∠=∠, ∵AE 、AF 分别是∠BAO 和∠OAG 的角平分线,∴EAF 90∠=°. 在△AEF 中,∵有一个角是另一个角的3倍,故有:①EAF 3E ∠=∠,E 30∠=°,ABO 60∠=°;②EAF 3F ∠=∠,E 60∠=°,ABO 120∠=°;③EAF 3E ∠=∠,E 22.5∠=°,ABO 45∠=°;④EAF 3F ∠=∠,E 67.5∠=°,ABO 135∠=°.∴∠ABO 为60°或45°.【点睛】本题考查的是三角形内角和定理,熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键.3.(1)如图1,把△ABC 纸片沿DE 折叠,当点A 落在四边形BCDE 内部时,①写出图中一对全等的三角形,并写出它们的所有对应角;②设AED ∠的度数为x ,∠ADE 的度数为y ,那么∠1,∠2的度数分别是多少?(用含有x 或y 的代数式表示)③∠A 与∠1、∠2之间有一种数量关系始终保持不变,请找出这个规律. (2)如图2,把△ABC 纸片沿DE 折叠,当点A 落在四边形BCDE 外部时,∠A 与∠1、∠2的数量关系是否发生变化?如果发生变化,求出∠A 与∠1、∠2的数量关系;如果不发生变化,请说明理由.【答案】(1)①△EAD ≌△EA ′D ,其中∠EAD =∠EA ′D ,∠AED =∠A ′ED ,∠ADE =∠A ′DE ;②∠1=180°−2x ,∠2=180°−2y ; ③∠A=12(∠1+∠2);(2)变化,∠A=12(∠2-∠1),见详解【解析】【分析】(1)①根据翻折方法可得△ADE ≌△A ′DE ;②根据翻折方法可得∠AEA ′=2x ,∠ADA ′=2y ,再根据平角定义可得∠1=180°-2x ,∠2=180°-2y ; ③首先由∠1=180°-2x ,2=180°-2y ,可得x=90-12∠1,y=90-12∠2,再根据三角形内角和定理可得∠A=180°-x-y ,再利用等量代换可得∠A=12(∠1+∠2); (2)根据折叠的性质和三角形内角和定理解答即可.【详解】(1)①根据翻折的性质知△EAD ≌△EA ′D ,其中∠EAD =∠EA ′D ,∠AED =∠A ′ED ,∠ADE =∠A ′DE ;②)∵∠AED=x,∠ADE=y,∴∠AEA′=2x,∠ADA′=2y,∴∠1=180°-2x ,∠2=180°-2y ;③∠A=12(∠1+∠2); ∵∠1=180°-2x ,∠2=180°-2y ,∴x=90-12∠1,y=90-12∠2, ∴∠A=180°-x-y=190-(90-12∠1)-(90-12∠2)=12(∠1+∠2). (2))∵△A′DE 是△ADE 沿DE 折叠得到,∴∠A′=∠A,又∵∠AEA′=180°-∠2,∠3=∠A′+∠1,∴∠A+∠AEA′+∠3=180°,即∠A+180°-∠2+∠A′+∠1=180°,整理得,2∠A=∠2-∠1. ∴∠A=12(∠2-∠1). 【点睛】 此题主要考查了翻折变换,关键是掌握折叠是一种对称变换,它属于轴对称,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等.4.如图①所示,在三角形纸片ABC 中,70C ∠=︒,65B ∠=︒,将纸片的一角折叠,使点A 落在ABC 内的点A '处.(1)若140∠=︒,2∠=________.(2)如图①,若各个角度不确定,试猜想1∠,2∠,A ∠之间的数量关系,直接写出结论.②当点A 落在四边形BCDE 外部时(如图②),(1)中的猜想是否仍然成立?若成立,请说明理由,若不成立,A ∠,1∠,2∠之间又存在什么关系?请说明.(3)应用:如图③:把一个三角形的三个角向内折叠之后,且三个顶点不重合,那么图中的123456∠+∠+∠+∠+∠+∠和是________.【答案】(1)50°;(2)①见解析;②见解析;(3)360°.【解析】【分析】(1)根据题意,已知70C ∠=︒,65B ∠=︒,可结合三角形内角和定理和折叠变换的性质求解;(2)①先根据折叠得:∠ADE=∠A ′DE ,∠AED=∠A ′ED ,由两个平角∠AEB 和∠ADC 得:∠1+∠2等于360°与四个折叠角的差,化简得结果;②利用两次外角定理得出结论;(3)由折叠可知∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6等于六边形的内角和减去(∠B'GF+∠B'FG)以及(∠C'DE+∠C'ED)和(∠A'HL+∠A'LH),再利用三角形的内角和定理即可求解.【详解】解:(1)∵70C ∠=︒,65B ∠=︒,∴∠A ′=∠A=180°-(65°+70°)=45°,∴∠A ′ED+∠A ′DE =180°-∠A ′=135°,∴∠2=360°-(∠C+∠B+∠1+∠A ′ED+∠A ′DE )=360°-310°=50°;(2)①122A ∠+∠=∠,理由如下由折叠得:∠ADE=∠A ′DE ,∠AED=∠A ′ED ,∵∠AEB+∠ADC=360°,∴∠1+∠2=360°-∠ADE-∠A ′DE-∠AED-∠A ′ED=360°-2∠ADE-2∠AED ,∴∠1+∠2=2(180°-∠ADE-∠AED )=2∠A ;②221A ∠=∠+∠,理由如下:∵2∠是ADF 的一个外角∴2A AFD ∠=∠+∠.∵AFD ∠是A EF '△的一个外角∴1AFD A '∠=∠+∠又∵A A '∠=∠∴221A ∠=∠+∠(3)如图由题意知,∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=720°-(∠B'GF+∠B'FG)-(∠C'DE+∠C'ED)-(∠A'HL+∠A'LH)=720°-(180°-∠B')-(180°-C')-(180°-A')=180°+(∠B'+∠C'+∠A')又∵∠B=∠B',∠C=∠C',∠A=∠A',∠A+∠B+∠C=180°,∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°.【点睛】题主要考查了折叠变换、三角形、四边形内角和定理.注意折叠前后图形全等;三角形内角和为180°;四边形内角和等于360度.5.如图①,在△ABC 中,CD 、CE 分别是△ABC 的高和角平分线,∠BAC =α,∠B =β(α>β).(1)若α=70°,β=40°,求∠DCE 的度数;(2)试用α、β的代数式表示∠DCE 的度数(直接写出结果);(3)如图②,若CE 是△ABC 外角∠ACF 的平分线,交BA 延长线于点E ,且α﹣β=30°,求∠DCE 的度数.【答案】(1)15°;(2)DCE 2αβ-∠=;(3)75°. 【解析】【分析】(1)三角形的内角和是180°,已知∠BAC 与∠ABC 的度数,则可求出∠BAC 的度数,然后根据角平分线的性质求出∠BCE ,再利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和求出∠DEC 的度数,进而求出∠DCE 的度数;(2)∠DCE =2αβ- .(3)作∠ACB 的内角平分线CE′,根据角平分线的性质求出∠ECE′=∠ACE+∠ACE′=12∠ACB+12∠ACF=90°,进而求出∠DCE 的度数. 【详解】解:(1)因为∠ACB =180°﹣(∠BAC+∠B )=180°﹣(70°+40°)=70°,又因为CE 是∠ACB 的平分线,所以1352ACE ACB ∠=∠=︒. 因为CD 是高线,所以∠ADC =90°,所以∠ACD =90°﹣∠BAC =20°,所以∠DCE =∠ACE ﹣∠ACD =35°﹣20°=15°.(2)DCE 2αβ-∠=.(3)如图,作∠ACB 的内角平分线CE′,则152DCE αβ-'==︒∠.因为CE 是∠ACB 的外角平分线,所以∠ECE′=∠ACE+∠ACE′=11+22ACB ACF ∠∠=1(+)2ACB ACF ∠∠=90°, 所以∠DCE =90°﹣∠DCE′=90°﹣15°=75°.即∠DCE 的度数为75°.【点睛】本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理,解答的关键是沟通外角和内角的关系.解决(3),作辅助线是关键.6.如图,将一块三角板ABC 的直角顶点C 放在直尺的一边PQ 上,直尺的另一边MN 与三角板的两边AC 、BC 分别交于两点E、D,且AD 为∠BAC 的平分线,∠B=300,∠ADE=150.(1)求∠BDN 的度数;(2)求证:CD=CE.【答案】(1)∠BDN=∠CDE=450(2)CD=CE【解析】试题分析:(1)根据直角三角形的性质,求出∠BAC=60°,然后根据角平分线的性质求出∠CAD=30°,进而根据三角形的内角和求出∠CDA=60°,最后根据角的和差求解即可;(2)结合(1)的关系,由“等角对等边”得出结论.试题解析:(1)在直角三角形ABC 中,∠ACB=900,∠B=300,∴∠BAC=600,又AD 平分∠BAC ,∴∠CAD=300,又∠ACD=900,∴∠CDA=600又∠ADE=150,∴∠CDE=∠CDA-∠ADE=600-150=450∴∠BDN=∠CDE=450(2)在△CED 中,∠ECD=900,∠CDE=450∴∠CED=450∴ CD=CE点睛:此题主要考查了直角三角形、角平分线的性质,三角形的内角和定理,解题关键是利用三角形的外角和内角求解角之间的和差关系即可.7.如图,已知,在△ABC中,∠B<∠C,AD平分∠BAC,E的线段AD(除去端点A、D)上一动点,EF⊥BC于点F.(1)若∠B=40°,∠DEF=10°,求∠C的度数.(2)当E在AD上移动时,∠B、∠C、∠DEF之间存在怎样的等量关系?请写出这个等量关系,并说明理由.【答案】(1)∠C=60°.(2)∠C-∠B=2∠DEF.理由见解析【解析】试题分析:(1)已知:EF⊥BC,∠DEF=10°可以求得∠EDF的度数,∠EDF又是∆ABD的外角,已知∠B的度数,可求得∠BAD的值,AD平分∠BAC,所以∠BAC的值也可求出,从而求出∠C。