Y X
e j

A()e j()
A() —幅值频率特性 () —相角频率特性
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例题中输入信号的复数表示为： U1me j0
例题中输出信号的复数表示为： U1m
1
1 j
j 1
e 1 j
它们之比为：G( j) 1 A()e j() A()()
（2）稳态输出信号的幅值为Y X | G( j)| ，
得
| G( j)| Y
X
称为系统的幅频特性；
（3）稳态输出相对正弦输入的相移
G( j)
为称为系统的相频特性。
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0 称为相位滞后; 0 称为相位超前;
在线性定常系统中，系统或元部件的正
弦输入信号为 x(t) ，当频率由0变化到
1 j
A() 1 1
() 1 arg tan
1 j 1 2 2
1 j
频率特性的定义：
线性定常系统（或元件）的频率特性是指：在零 初始条件下稳态输出的正弦信号与输入正弦信号的 复数比。
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G( j) 1 幅频特性和相频特性数据
1.0 0.8 0.6 0.4 0.2
0 1 2 3 4 5
0° -20° -40° -60° -80°
1 2 3 4 5
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4.2频率特性的Nyquist图
乃氏（Nyquist）图
在复平面上，当 由0→∞变化时，向量
G( j)H( j) 端点的轨迹，称为幅相频率特 性图即乃奎斯特图通常又称为极坐标图，简 称乃氏图.乃氏图的优点：它可以在一张图上 描绘出整个频域的频率响应。不足之处是， 不能明显地表示出开环传递函数中每个单独 因子的作用。

| G( j)|
G( j)|
若存在渐近线，找出渐近线，绘出幅相频率 特性图，如果需要另半部分，可以用镜像原 理，做出全频段的幅像特性图
分别计算 G( j)的实部和虚部，在复平面上找到相
应点，用光滑曲线连起来。
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（3）找特殊点
找到几个特殊点绘制大致图形
0
c
g
| G( j)|0
| G( jc )| 1 |G( jg )|
G( j)|0
G( jc )
G( jg )
1 j
(rad s1) 0 1 2 1 2 3 4 5
A( )
()( )
1 0.890 0.707 0.447 0.316 0.243 0.196 0 0 -26.5 -45.0 -63.4 -71.6 -76.0 -78.7 -90
A()
( )
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
其拉氏变换为：
U1(s)

U1m s2 2
输出拉氏变换为：
U
2
(s)

1
s
1

U1m s2 2
其拉氏反变换为：
u2

U1m 1 22
t
e

U1m sin(t arctan ) 1 2 2
稳态响应
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lim
t
u2

U1m
1 2 2
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机械工程控制基础
• 第一章 自动控制的一般概念 • 第二章 控制系统的数学模型 • 第三章 控制系统的时域分析法 • 第四章 频域分析法 • 第五章 控制系统的稳定性 • 第六章 控制系统的校正
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第四章 线性系统的频域分析
• 4.1 基本概念 • 4.2频率特性的Nyquist图 • 4.3频率特性的Bode图 • 4.4系统的频域特征量 • 4.5最小相位系统与非最小相位系统
4.1 基本概念
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频率特性是研究自动控制系统的一种工程 方法。应用频率特性可以间接地分析系统的动 态性能与稳态性能。频率特性法的突出优点是 组成系统的元件及被控对象的数学模型若不能 直接从理论上推出和计算时，可以通过实验直 接求得频率特性来分析系统的品质。其次，应 用频率特性法分析系统可以得出定性和定量的 结论，并且有明显的物理意义。在应用频率特 性法分析系统时，可以利用曲线，图表及经验 公式，因此，用频率特性法分析系统是很方便 的。
时，则其输出量的稳态分量的复数形式与输 入量的复数形式之比，称为频率特性。记为
G( j)| G( j)| e jG( j)
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例1：如图所示电气网络的传递函数为 R
U2 (s) 1 Cs 1 1
U1(s) R 1 Cs RCs 1 s 1
i
u1
C
u2
若输入为正弦信号： u1 U1m sin t
sin(t arctan )
U1m
1
1 j
sin(t 1 ) 1 j
上式表明：对于正弦输入，其输入的稳态响应仍然是 一个同频率正弦信号。但幅值降低，相角 滞后。
输入输出为正弦函数时，可以表示成复数形式，设 输入为Xej0，输出为Yejφ，则输出输入之复数比为：
Ye j Xe j0
频率特性
频率响应
系统对正弦输入的稳态响应称为频率 响应。开环系统对正弦输入的稳态响应称 为开环频率响应；闭环系统对正弦输入稳 态响应称为闭环频率响应；
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典型的频率响应
x(t) y(t) x(t)
y(t)
0
t

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线性系统频率响应
（1）其稳态输出也是与输入信号频率相同的正 弦信号；
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本章的重点
通过本章学习，应重点掌握频率特性的概 念与性质、典型环节及系统开环频率特性的极 坐标图和波特图的绘制和分析方法、控制系统 稳定性的频域分析法、系统稳定裕度的概念和 求法、闭环频率特性的求法、闭环系统性能指 标的频域分析法等。
乃氏图的绘制；伯德图的绘制；
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乃氏（Nyquist）图例
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乃氏图的绘制
（1）基本法
1）作表格
2）在复平面上找到相应的点，用光滑曲线连起来。

| G( j)|
G( j)
幅相表
1
| G( j1)|
G( j1)
…… 2 …… | G( j 2)| …… G( j2)
（2）求实部、虚部