穿越法判断包围圈数 设 N 为开环幅相频率特性曲线穿越（－ 1 ， j0 ） 点左侧负实轴的次数， N ＋表示正穿越的次数（从 上往下穿越）， N －表示负穿越的次数（从下往上 穿越），则
R 2N 2( N N )
5.2 例 系统开环传递函数为 G ( s) H ( s) 2 ( s 2)(s 2s 5)
圈时，F(s)总的相角增量为
n i 1
F ( s) ( s zi ) ( s pi )
i 1
n
( s z1 ) ( s z2 ) ( s zn ) ( s p1 ) ( s p2 ) ( s pn )
s
s zi
B
A
F ( s)
F
F
z 1 p1 z 2
z i 1
j
s
s zi
zi
s
j
B
A
F ( s)
F
F
z 1 p1 z 2
z i 1
S 平面上的闭合曲线 Γs 内部仅有 1 个 F(s) 的零点， F (s) 的其 它零极点如图所示。当闭合曲线Γs上任一点S沿顺时针方向转动一
第五章
频率域方法
5.3
开环对数频率特性曲线的绘制
根据叠加原理，绘出各环节的对数幅频特性 分量，再将各分量的纵坐标相加，就得到整个系 统的开环对数幅频特性；将各环节的相频特性分 量相加，就成为系统的开环对数相频特性。
例
10(0.5s 1) G( s) s ( s 1)(0.05s 1)
1 180 ，即A() 1 （－1，j0）点表示成幅角形式是 ( ) 180 而A(ω)＝1对应于对数幅频坐标图上L(ω)＝0 的水平线； () 180则对应于对数相频坐标图上－ 180°的水平线。因此可以进行坐标系转换。
在极坐标图上， G(jω)H(jω) 曲线每包围（－1,j 0） 点一次，必然是G(jω)H(jω) 在A(ω) ＞1的条件下穿越 负实轴(－∞，－1)区段一次。若G(jω)H(jω) 曲线逆时 针包围（－1,j 0）点一圈，意味着G(jω)H(jω)曲线在 (－∞，－1)区段有一次正穿越；相反，若G(jω)H(jω) 曲线顺时针包围（－1,j 0）点一圈，意味着有一次负穿 越。
例 已知单位负反馈系统如图所示，试做出 系统的开环伯德图。
解： 作L(): (1)
40 40 / 4 10 K G s s( s 4) 1 1 s(Ts 1) s s 1 s s 1 4 4
因此， 开环增益 K=10 转折频率
令
F s 1 Gs H s
N1 s N 2 s M 1 s M 2 s N1 s N 2 s
将F(s)写成零、极点形式，有
F s
s z
i
n
s p
i i 1
i 1 n
辅助函数F(s)具有如下特点： ①其零点和极点分别是闭环和开环的特征根。 ②其零点的个数与极点的个数相同。 ③辅助函数与系统开环传递函数只差常数1。
试利用Nyquist判据判断闭环系统的稳定性。 已知 P 0 由图知
N 1，N 0
R 2N 2( N N )
2
Z P 2 N 0 (2) 2
二、对数频率稳定判据
在极坐标图上应用奈氏判据时，（－1,j0）点是个关 键点，开环频率特性G(jω)H(jω) 曲线是否围绕它，怎 样围绕它，围绕几圈，掌握这些信息后，就可以判断闭环 系统是否稳定。
1 20 lg 8 dB 2
L()/dB
40 20 0 -20 -40 0.1 0.2
1
B
-20 dB/dec
A C
-40 dB/dec 3
2 1
10 D
--60 dB/dec
例 已知某最小相位系统的对数幅频特性渐近线如图， 试写出该系统的开环传递函数。
例
• 已知系统开环传递函数
K G (s) s 1
试应用奈氏判据判别K=0.5 和K=2时的闭环系统稳定性。
分别作出K=0.5和K=2时开环 幅相特性曲线
• K=0.5时，闭环 系统不稳定。 • K=2时，闭环系 统稳定。
5.2 例 系统开环传递函数为 G ( s) H ( s) 2 ( s 2)(s 2s 5)
试利用Nyquist判据判断闭环系统的稳定性。 已知 P 0
由图知 R 2 ，则
Z PR
0 (2) 2
有2个闭环右极点 系统不稳定
例 某Ⅱ型系统在s右半平面无开环极点，已知其开环特性 如图所示，试判别系统的稳定性。
解：已知P=0，由图知R=-2，则P≠R，闭环系统不稳定。 其位于s右半平面的极点数为 Z P R 0 (2) 2
j
s
s zi
zi
s
j
B
A
F ( s)
F
n
F
z 1 p1 z 2
z i 1
n
F s s zi s pi
i 1 i 1
2 0 2
上式表明，在 F (s)平面，ΓF曲线从B点开始绕原点顺 时针转了一圈。
同理，当 s 在 s 平面从 A 点开始绕 1 个 F(s) 的极点顺时 针转一圈时，在 F(s) 平面上，ΓF 曲线从 B 点开始绕原点 反时针转一圈。
定理如下：
•如果封闭曲线 s 内有Z个F(s)的 零点，有P个F(s)的极点，则s依 s 顺时针转一圈时，在F(s)平面上，
F(s)曲线绕原点反时针转的圈数R为P
和Z之差，即R＝P－Z
•若R为负,表示F(s)曲线绕原点顺时针转过 的圈数。
2、奈氏判据
将Γs曲线扩展为整个右半s平面，此时的曲线叫做奈 奎斯特轨迹，则辐角原理可以用来判断闭环稳定性。 对于包含了整个右半s平面的Nyquist轨迹来说，Z和 G(s)H(s)平面 F(s)平面 P分别为闭环传递函数和开环传递函数在右半 s 平面上的 极点数，s沿奈氏轨迹运动，F(s)在F(s)平面上绕原点反 时针旋转圈数 R=P-Z . G(s)H(s)=F(s)-1 闭环系统稳定的充要条件为F(S)函数在s平面右半部 的零点数Z=0即 R P F(s)与G(s)H(s)相差常数1，显然F(s)在F(s)平面上 绕原点等效于在G(s)H(s)平面上绕(-1,j0)点，而 G(s)H(s)平面上的函数通过s=jw替代就是开环幅相频率 特性曲线.


试作系统开环对数幅频L()图。 解： 作L():
G s 0.2 100 s 5 s 1 0.01s 2 0.04 s 1 200 s 1


200 K 10 20 lg K 20 dB 0.2 100 1 0.2, 2 1, 3 n 10, 0.2
1 1 4 (1 / s) T 20 lg K 20 dB
L()/dB 40 20 0 -20 -40
-20 dB/dec
A B
0.1
1
4
10
100
-40 dB/dec
/s-1
例
用伯德图一般法重绘例 5 1 。
例 已知一单位负反馈系统开环传递函数
G s s s 0.2 s 2 4 s 100 200 s 1
例 设某Ⅰ型系统的开环特性如图所示。开环传递函数 在右半s平面上没有极点，试用Nyquist判据判断系统的稳 定性。
解：已知P=0，由图可知N=0，则Z＝0，闭环系统稳定。
*G(S)H(S)包含积分环节的处理办法
从G ( j 0 ) H ( j 0 )起 逆时针补一个v 90 的圆弧.
一、奈奎斯特稳定判据
M 1 s Gs N1 s
M 2 s H s N 2 s
反馈控制系统
开环传递函数
闭环传递函数
M 1 s M 2 s Gs H s N1 s N 2 s
Gs M1 s N 2 s ( s ) 1 Gs H s N1 s N 2 s M1 s M 2 s
1.辐角原理（柯西）
设S为复变量，F(S)为S的有理分式函数，对于S平面上任一变 量点，通过复变函数F(S)的映射关系，在F(S)平面上可确定关于变 量的象。
在右半S平面上任选一条不通过F(S) 任何零极点的 闭合曲线Γs，S从闭合曲线Γs上任意一点A起,顺时针沿 Γs运动一周,再回到A点，那么相应F(S)平面上的象F(s) 则从B点起,到B点止形成一条闭合曲线ΓF。 j s zi j
定理如下： 若开环传函 G(s) H (s) 在s的右半平面有p个 极点，为了使闭环系统稳定，当 从 ~ G( j ) H ( j ) 的轨迹必反时针包围 GH 平 变化时， 面上的(-1,j0)点P次。即 z P R 0
z—闭环传递函数在s右半平面的极点数。 （ F ( s ) 的零点数） p—开环传函在s右半平面的极点数。 R— G( j ) H ( j ) 绕(-1,j0)点反时针转的次数。 •若为顺时针转需注意符号。
伯德图的绘制的一般方法（无须叠加）
1.确定出系统开环增益K，并计算
20lg 。K
2.确定各环节的转折频率，并标注在横轴上。 3. 在半对数坐标上确定 =1 且纵坐标等于 20lgK dB的点 A。过 A点做一直线，使其斜率等于 -20 dB/dec。当=0, =1, =2时，斜率分别是(0，20，-40)/dec。 4.从低频段第一个转折频率开始做斜直线，该直 线的斜率等于过 A点直线的斜率加这个环节的斜 率（惯性环节加-20，振荡环节加-40，一阶微分 环节加+20的斜率），这样过每一个转折频率都 要进行斜率的加减。