1. 若复数 是纯虚数（ 是虚数单位， 为实数），则
2.设 为虚数单位），则复数 的模为________.【答案】5（2013）
3.已知复数 的共轭复数 （i为虚数单位），则 在复平面对应的点位于（ ）
A． 第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解析】 的共轭复数 ，则 ，对应点的坐标为 ，故答案为D．（2013理）
【知识梳理】
[重难点]
1.复数的相等：两个复数 ，当且仅当 且 时， 特别地，当且仅当 时，
2. 复数的模：复数 的模记作 或 ，有
3. 共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做共轭复数.复数 的共轭复数记作 、 互为共轭复数.
如果 ，则有 的充要条件是 是纯虚数的充要条件是 且
4.复平面
在平面直角坐标系中，可以用点 表示复数 ，建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，在复平面上，称 、 轴分别为实轴和虚轴，并且复数集 和复平面所有的点构成的集合建立一一对应关系.
5.实系数一元二次方程
实系数一元二次方程在复数集中恒有解，当判别式 时，实系数一元二次方程 且 在复数集中有一对互相共轭的虚数根
3. ，若 对应点在第二象限，则 的取值围为__________.
4. 在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别为 、 、0，则第四个顶点对应的复数为___________.
5.已知 为复数，则 的一个充要条件是 满足.（2003上春）
【答案】
6. 设集合 ， ,则 为_______.【答案】 （2011理）
解：原方程的根为
．
例4. 对于复数 ，若集合 具有性质“对任意 ， ，必有 ”，则当 时， 等于（ ）（2010理）
A.1 B.-1 C.0 D.i
解法1：由 ，得 或 .又 由集合中元素的互异性知 由 ，即 ，得 或 .（1）当 时， ，因为集合 具有性质“对任意 、 ，必有 ”，所以 ，故 ， .（2）当 时， ，因为集合 具有性质“对任意 、 ，必有 ”，所以 ，故 ， .
7. （2013理第5题）满足 ，且关于x的方程 有实数解的有序数对 的个数为（ ）
A．14 B．13 C．12 D．10【答案】B
【解析】方程 有实数解，分析讨论
①当 时，很显然为垂直于x轴的直线方程，有解．此时 可以取4个值．故有4种有序数对
②当 时，需要 ，即 ．显然有3个实数对不满足题意，分别为（1,2），（2,1），（2,2）．满足题意的 的取值为 ，
（A） . （B） . （C） . （D） .（2009上春）
7.“ ”是“实系数一元二次方程 有虚根”的（ ）
（A）必要不充分条件．（B）充分不必要条件．
（C）充要条件．（D）既不充分也不必要条件．
解：由实系数一元二次方程 有虚根,可得 ,
即可得 ,∵ , ∴“ ”是“实系数一元二次方程 有虚根”的必要不充分条件, 故应选A．（2009上文）
【能力强化】
1. 在复平面，复数 对应的点位于( )（2013理）【答案】
A.第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D. 第四象限
2. 若复数 满足 ，则 的虚部为（ ）（2013全国新课标I理）
. . . .
【命题意图】本题主要考查复数的概念、运算及复数模的计算，是容易题.
【解析】由题知 = = = ，故z的虚部为 ，故选D.
解法2： ， 或 或 或 ，又因为集合中的元素具有互异性，且对任意 ， ，必有 ，所以 或 ，所以 ．
点评：（1）本题涉及复数与集合等知识点，考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和决问题的能力，属于创新题型．
（2）解法1步步为营，借助“分类讨论”求出不同情况下的 的不同取值，进而求出 ；解法2直接解方程，然后验证条件，排除不满足的条件；显然解法1优于解法2
，得 或 .
8.设 、 是复数，则下列命题中的假命题是（ ）【答案】D（2013理）
若 ，则 若 ，则
若 ，则 若 ，则
【解析】设 若 ，则 ， ，所以 ，故A项正确；若 ，则 ，所以 ，故B项正确；若 ，则 ，所以 ，故C项正确；
当 时，可取 ，显然 ，即 ，假命题.
【例题精讲】
例1.已知复数 满足 （ 为虚数单位），复数 的虚部为 ， 是实数，求 .（2011上）
[易错点]
1.在进行复数计算时，要灵活利用 和 的性质，会适当变形，创造条件，从而转化为关于 和 的计算问题，并注意以下结论的灵活运用：
① ；② ；③ ；
④ ，
2.在进行复数的运算时，不能把实数集的某些法则和性质照搬到复数集中来，如下面的结论，当 时不总是成立的：① 为分数）；② ；③ ，④
【基础练习】
解：
设 ，则 ，
∵ ，∴
例2.已知 是复数， 均为实数（ 为虚数单位），且复数 在复平面上对应的点在第一象限，数 的取值围.（2005上春）
设 ， ，由题意得 .
由题意得 . ∴ .∵ ，
根据条件，可知 ，解得 ，∴ 实数 的取值围是 .
例3. 已知复数 （ 、 ）( 是虚数单位)是方程 的根 ． 复数 （ ）满足 ，求 的取值围 ．（2009上文）
（2,0），共9个.
8.在复数围解方程 (i为虚数单位)（2005上）
解：原方程化简为 ,
设z=x+yi(x、y∈R),代入上述方程得 x2+y2+2xi=1-i,
∴x2+y2=1且2x=-1,解得x=- 且y=± ,
∴原方程的解是z=- ± i.
9.已知实数 满足不等式 ，试判断方程
有无实根，并给出证明.（2004上春）
解：由 ，解得 ， . 方程 的判别式 .
， ， ，由此得方程 无实根.
10.已知关于 的实系数一元二次方程 有两个虚根 、 ，且 为虚数单位）， ，数 的值.
【命题意图】考查复数相等、复数的代数运算，复数的模及一元二次方程根与系数的关系.
解：由题设 ，得 ，所以 ，代入方程 ，求出两虚根为 ，于是 ，由
4.已知集合 为虚数单位， ， ，则复数 （ ）
解析：因为 ， ，由 ，得 ，所以 ，所以
.答案：
【命题立意】知识：集合的运算和复数的运算.试题难度：较小.（2013理）
5. 若向量 ， 满足 ，则 与 所成角的大小为________．
【答案】90°（2001上春）
6.已知 ，且 为虚数单位，则 的最小值是( )
（3）主要考查推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力、创新意识；考查函数与方程思想、分类与整合思想、化归与转化思想．
（4）与前三年的复数、集合题型有很大的不同，往年较少出现复数与集合的交汇题型，在题目的设计上更显新意，虽然题型新颖，但是万变不离其宗，所以在复习中一定要掌握好基本知识．
（5）随着高中新课程标准、新教材的使用，高考对考生创新意识和创新能力的要求逐步提高．“出活题，考能力”就是要求学生能综合灵活运用所学数学知识，思想方法，对新概念、新知识、新信息、新情景、新问题进行分析，探索、创造性地解决问题．所以“新定义问题”将是高考创新题中一种命题趋势．
考点专题二 平面向量与复数（2）
【考情分析】
从近四年高考试卷分析来看，本专题知识理科每年考查1—2题，所占分值比例约为4.8%，难易度以容易题、中等题为主，文科每年考查1—2题，所占分值比例约为4.5%，难易度以容易题为主，此知识是高考中的必考容.
此知识在近四年常以填空题、选择题、解答题的形式在高考题中出现，主要考查复数的四则运算，复平面等相关知识.复数在高考试卷中的考查形式比较单一.