高等流体力学考题权威版（陈小榆）1、 柱坐标下V V ⋅∇的表达式（112233V V e V e V e =++）：()()()()()()2211i i i i i i j i i j i i j j j j j j i j j i j j i i i i i i i i i j j j j j i i j j i j i i iV e V e V V V e e V e e e V h q h q q V VV V VV h V e V e V V e e i j i j e e i j h q h q h q h q h h q h q ⎡⎤⎡⎤∂⎛⎫∂∂⎢⎥⋅∇=⋅=⋅+⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂∂⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦∂∂∂∂∂∂=+≠+==+≠+∂∂∂∂∂∂对于柱坐标系：1321231,;,,h h h r q r q q z ε======2121122222121311323332133dV V dV dV V dV V dV dV V V =V ++V e +V ++V +e dr r d dz r dr r d dz r dV dVdV V +V ++V e drd dz V V r εεε∴⋅∇⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭2、 利用哈密尔顿算子证明以下各式： (1) ()a =0∇⋅∇⨯()()2222221233132231121222331213a j j i i i j i j ijk ki ii j i j i j a e x aaaa =e e e e e e e e x x x xx x x x aa ae e e e e e x x x x x x a e ⎛⎫∂∂⨯ ⎪ ⎪∂∇⨯∂⎛⎫⎛⎫∂∂∂⎝⎭∇⋅∇⨯⋅=⋅=⋅⨯=⨯⋅=⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭∂∂∂=⋅+⋅+⋅∂∂∂∂∂∂∂+22331232121213132a ae e e e e x x x x x x ∂∂⋅+⋅+⋅=∂∂∂∂∂∂(2) ()0ψ∇⨯∇=()()22222123313223213232121311121222213331323212i i jijk ki i j i j =e e e e e x x x x x e e e e e e x x x x x x e e e e e e x x x x x x ψψψψψψψψψψ⎛⎫∂∇⨯∂∂∇⨯∇⨯=⨯= ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂∂∂∂+++=∂∂∂∂∂∂(3) ()()()a b a b b a ∇⋅⨯=∇⨯⋅-∇⨯⋅()()()()i iiii i iiia b a b a b a b e e b a e b e a a b b a x x x x x ∂⨯⎛⎫∂∂∂∂∇⋅⨯=⋅=⋅⨯+⨯=⨯⋅-⨯⋅=∇⨯⋅-∇⨯⋅⎪∂∂∂∂∂⎝⎭(4) ()()()a b a b a b b a b a ∇⋅=⨯∇⨯+⋅∇+⋅∇+⨯∇⨯()()iii ii ia b a ba b e eb e a a b b a x x x ∂∂⋅∇⋅=⋅+⋅=∇⋅+∇⋅∂=∂∂∂ 又：()()b b b b ba a i i i i ii i i i i a b e e a e e a a e b a a b x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂⨯∇⨯=⨯⨯=⋅-⋅=⋅-⋅=∇⋅-⋅∇ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()i i i i ii i i i i a a a a ab a b e b e b e e b b e a b b a x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂⨯∇⨯=⨯⨯=⋅-⋅=⋅-⋅=∇⋅-⋅∇ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭3、 如果n 为闭曲面A 上的微元面dA 的单位外法线向量，12,ϕϕ是闭曲面满足20ϕ∇=的两个不同的解，试证明：（38页，6） (1)AndA=0⎰⎰(2)2112AAdA dA nnϕϕϕϕ∂∂=∂∂⎰⎰⎰⎰ 证明：（1）1AndA=d 0ττ∇=⎰⎰⎰⎰⎰（2）()()()()()()211221122112212212122121221221120AA A AdA dA n n dAnnn n dA d d d τττϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕτϕϕϕϕϕϕϕϕτϕϕϕϕτ∂∂-=⋅∇-⋅∇∂∂⎡⎤=⋅∇-⋅∇=∇⋅∇-∇⎣⎦=∇+∇∇-∇-∇∇=⋅⋅=∇-∇⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰4、 有两族平面正交曲线()(),,,x y c x y d ζη==，已知22,2x y y ζ=-=时4x η=，求()x,y η，（40页，10） 解：,=0x x y yζηζηζη∂∂∂∂∴+∂∂∂∂正交， 即2x2y =0x yηη∂∂-∂∂ 40y y =22x 4-22x ηη∂∂=⋅⨯=∂∂当时，，代入得22yx xy c ηη∂∴=⇒=+∂2402y x c xy ηη===∴=由时，知，5、 求半径为a 的四分之一圆的垂直平面上流体的总的作用力F 和压力中心C 的位置，已知0x 与流体自由水平面重合，自由面上压力为零。

（74页，2-9）解：,AAp gy n k F nPdA k gydxdy ρρ==∴=-=-⎰⎰⎰⎰22330110.5()33a az F dx gydy g a x dx ga F ga k ρρρ=-=--=-∴=-⎰⎰，2222()(2()a a AAa x a x M r npdA xi y j k gydxdy i dx gy dy j dx gxydy ρρ--=-⨯=-+⨯=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰322442000111()3168aa x y M g a x dx g a M xdx gydy ga ρρπρ∴=--=-==⎰⎰，由z ,()k c cx cy x y r F M r i r j F M i M j ⨯=+⨯=+33816yx cx cy Z z M M r a r a F F π∴=-===， 6、已知，用柱坐标表示的速度场为CV =e rε，式中e ε为方向ε的单位向量，C 为常数，求通过x =1,y =1的流线方程及在0t =时刻过x =1,y =1的那个质点的轨迹方程。

(87页)解：（1）流线方程在柱坐标上的形式为r V dr=r d V εε. 2r r r V C drr V V ==r =V =0=r d V C0,εεε已知 ，代入流线方程得r const C ==流线方程为2r =x +x =1,y =1 r C ∴= ，时故过x =1,y =1的流线方程为r =（2）流线方程在柱坐标上的形式为r1dr =V dt d =V dt rεε，，由已知条件得2,0122C Cdr d dt r =const =C =t +C r rεε==∴， ，0t =时，y r ==arctg =arctg1=x 4πε，C 12=C =4π∴，故该质点的轨迹方程为2C r ==t +r 4πε 7、已知流场0u v ω===，求涡量场及涡线（141页，3-1）解：112133312232()j j j j i i jijkk ii iv e v v v e e e e e x x x v vcycz e e e e e e y z∂∂∂Ω=∇⨯=⨯=⨯=∂∂∂∂∂=+=-+∂∂y z dy dz dy dzz y==-ΩΩ 由涡线程得 微分方2200ydy zdz y z ∴+=+=得 ，8、 为了测定圆柱体的阻力系数D C ，将一个直径为d ，长度为l 的圆柱浸没在二元定常不可压缩流中，实验在风洞中进行，在图1-1、2-2截面上测得近似的速度分布如图。

这二个截面上的压力都是均匀的，数值为∞p ，试求圆柱体的阻力系数D C ，D C 的定义为ld V C D ∞=ρ211，其中D 为圆柱绕流时的阻力，ρ为流体密度，∞V 为来流速度。

（173页，4-3） 解：连续性方程：对1-1、2-2()AV 0n dA ρ⋅=⎰⎰()002202V lh V x l V dl h x d ρρρ∞∞∞-++=∴=+， 动量方程：()n AAf d p dA V n VdA τρτρ+=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰1nnnnAA A A A p dA p dA p dA p ndA p dA p d D D ττ∞∞=+=-+=-∇+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰外内外内()()()1222220020222423AA A l dV n VdA V n VdA V n VdAVV lhi V x li dl y dyi d V l x h d iρρρρρρ∞∞∞∞⋅=⋅+⋅⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰220022233D V l x x d d V ldi ρρ∞∞∴=--+=- ⎪⎝⎭34212==∴∞ld V D C D ρ 9、 二股不同速度的不可压缩流体合流通过一段管道混合后速度和压力都变为均匀，如图所示，如果二股来流面积相同，压力相同，其中一股来流速度为2v ，另一股为v ，假定管道避免摩擦阻力不考虑，流动为定常的，证明单位时间内机械能损失为383AV ρ（174页，4-6）证明：连续性方程：()AV 0n dA ρ⋅=⎰⎰()2232202V A V A V A V V ρρρ--+=∴=，动量方程：()n AAf d p dA V n VdA τρτρ+=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()122nnAAp dA np dA p p A =-=-⎰⎰⎰⎰()()22223122224AV n VdA V A V A V A V A ρρρ⎡⎤⎛⎫⋅=--=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎰⎰22141V p p ρ-=-∴能量方程：单位时间内流出的动能：()()1242222AA A A V V V n dA V n dA ρρ++⋅=⋅⎰⎰⎰⎰()3333892222223AV A V A V A V ρρ-=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--⎪⎭⎫ ⎝⎛=表面力做功：12n nnAA A p VdA pVdA pVdA ⋅=⋅+⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=A V p VA VA p 223221()A V VA p p 321433ρ-=-=则()22n AAV p VdA V n dA E ρ⋅=⋅+∆⎰⎰⎰⎰机械能AV AV A V E 33388-4ρρρ=⎪⎭ ⎝--=∆∴机械能10、 写出下列流体运动的连续方程：(198页，5-6)（1）流体质点作径向运动，且(,)R V V R t e =. （2）流体质点在同心球面上运动。