30
3.5.2 Newton 法的重根情形 (2)
g ( x) ( x x ) g '( x) '( x) 1 mg ( x) ( x x ) g '( x) 1 ( x x ) g ( x)( )' mg ( x) ( x x ) g '( x)
( x x* ) g ( x ) m ( x) mg ( x) ( x x* ) g '( x)

所以x*是方程 m(x)=0 的单根
33
3.5.2 Newton 法的重根情形 (5)

应用Newton法，迭代函数为：
m ( x) f ( x) f '( x) ( x) x x ' m '( x) [ f ( x)]2 f ( x) f ''( x)
即Newton迭代法的迭代公式
22
3.5.1 Newton迭代法公式和收敛性 (5)

Newton迭代法的几何解释：



求 x* 就是求曲线 y=f(x) 与x轴的交点。 在曲线 y=f(x) 上的点（xk,f(xk))上作曲线的切线， 切线方程为 y-f(xk)=f '(xk)(x-xk), 切线与x轴交点的横坐标就是 xk+1, 把它作为 x*新 的近似。 可以证明Newton迭代法是超线性收敛的。

可验证 f (x*) = x* , f (x*)=0
mf ( xk ) xk 1 xk ' , f ( xk )

k 0,1,
此种迭代至少有两阶收敛
32
3.5.2 Newton 法的重根情形 (4)

第三种迭代方法：

令 m (x) = f(x) / f '(x) 若x*是方程 f(x)=0 的m重根，则
6
3.2.1 二分法 (2)

区间中点序列｛xn}就是方程的根x*的近似解序列。
1 bn an n1 (b a) 2

而xn是[an,bn]的中点，所以有
1 1 | xn x | (bn an ) n (b a) 2 2
*
n
lim xn x*
7
3.2.1 二分法 (3)

为求解方程 f(x)=0 的根 x＊，假设

有一个近似值 xk ≈ x＊ f ’’存在且连续

因 f (x*)=0, 则：
'' f ( ) ' f ( x ) f ( xk ) f ( xk )( x xk ) ( x x k )2 2 若 f ' (x*) ≠0,
5
3.2.1 二分法 (1)

假设

已找到方程 f(x)=0 的一个有根区间 [a,b]； f(a)f(b)<0； 方程在区间 [a,b] 只有一个根。

二分法步骤：
令 [a1,b1]=[a,b] , 执行以下迭代步骤： 对于区间 [an,bn] , 其中点为 xn=1/2(an+bn)； 若 f(an)f(xn)<0 , 则将 [an+1,bn+1] 替换为 [an,xn] ； 若 f(an)f(xn)> 0 , 则将 [an+1,bn+1] 替换为 [xn,bn] 。
13
3.3.1 不动点和不动点的迭代 (2)

可以通过不同的途径将方程 f(x)=0 变换成方 程 x = f (x) 的形式。 例如，


（x)＝x - f(x) （x) ＝ x - Af(x), 其中A为常数，
也可以用其他的方法。
14
3.3.1 不动点和不动点的迭代 (3)

设序列 {xk} 收敛到 x*，记误差 ek=xk-x*.
'' 2 f ( )( x x ) k x xk ' f ( xk ) 2 f ' ( xk )
21
f xk
3.5.1 Newton迭代法公式和收敛性 (2)

其中 在x*与xk之间。 略去最后一项，右端为x*的一个新的近似值，记为 xk+1:
f ( xk ) xk 1 xk ' f ( xk )

即 20 次二分可满足要求
8
3.2.2 试位法

假设

已找到方程 f(x)=0 的一个有根区间 [a,b]； f(a)f(b)<0； 方程在区间 [a,b] 只有一个根。

试位法步骤：
取点（an, f(an)) 和（bn, f(bn)) 连线与x轴的交点，即
f (bn )(bn an ) xn bn f (bn ) f (an )
3
3.1 引言 (2)

设f(x)可分解为
f ( x ) ( x x* )m g ( x )

其中m为正整数， 函数g满足g(x*) ≠ 0。


则称x*是 f(x) 的 m重零点， 或x*是方程 f(x)=0 的m重根 。
4
今日主题

第三章：非线性方程的数值解法



3.1 引言 3.2 二分法和试位法 3.3 不动点迭代法 3.4 迭代加速收敛的方法 3.5 Newton 迭代法

有: f '(x*)=1-1/m 因m>1, 所以 f ' (x*)≠0 ，且 | f ' (x*) |<1 Newton法是收敛的，但只是线性收敛。
31


3.5.2 Newton 法的重根情形 (3)

第二种迭代方法：将迭代函数改取为
mf ( x) ( x) x ' f ( x)

得到迭代法：
f ( xk ) f '( xk ) xk 1 xk , 2 [ f '( xk )] f ( xk ) f ''( xk )

k 0,1,
这种方法也是至少二阶收敛的。
34
3.5.2 Newton 法的重根情形 (6)

例

方程 x4-4x2+4=0 的根x*= 2 是二重根，用3种方 法求解。

它是x*的一个新的近似值

从序列｛xk}, 用上式得到序列 { xk} 的方法， 称为Ａitken加速方法。
18
3.4.1 Aitken加速方法 (3)

可以证明，只要{xk}满足 且lim ek 1 , k e k
xk x , k 1, 2,

1

则序列 { x k }是完全确定的，而且有
12
3.3.1 不动点和不动点的迭代 (1)

为解方程
f(x)=0 (4.3.1) (4.3.2)

将其变换为等价的方程
x = f (x)

其中是连续函数。构造迭代公式： x k+1 = f (xk)(4.3.3)如果k
l i m xk = x*
则称为迭代函数， x*是函数 的一个不动点，也就是方 程的根。此迭代法称为不动点迭代法。
如果 f(xn)=0 ，就找到了方程的根，否则： 若 f(an)f(xn)> 0 , 则 [an+1,bn+1] = [xn,bn] ； 若 f(an)f(xn)<0 , 则 [an+1,bn+1] = [an,xn] 。
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今日主题

第三章：非线性方程的数值解法



3.1 引言 3.2 二分法和试位法 3.3 不动点迭代法 3.4 迭代加速收敛的方法 3.5 Newton 迭代法

例 4.2.1 X3-15x2+319=0，是否可以用二分法在 区间[5,10] 内求解，要求误差小于0.5∙10-5，需要 用二分法计算多少次？
设 f(x)=X3-15x2+319 => f(5)>0, f(10)<0 。 因此可以用二分法求解。


误差小于 0.5 ∙ 10-5，即
2 N ( 10 5 ) 0.5 10 5 6 N 19.9 lg 2
29
3.5.2 Newton 法的重根情形 (1)

设x*是方程f(x)=0的m重根，m>1,即

f (x) = (x-x*)m g(x) 其中g(x)有二阶导数，g(x*)≠0，重根情况下有 f ' (x*) =0 :
f ( x) ( x x ) g ( x) ( x) x ' x f ( x) mg ( x) ( x x ) g '( x) g ( x) ( x x ) g '( x) '( x) 1 mg ( x) ( x x ) g '( x) 1 ( x x ) g ( x)( )' mg ( x) ( x x ) g '( x)
xk x* lim 0 k x x k

说明 ?
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今日主题

第三章：非线性方程和方程组的数值解 法

3.1 引言 3.2 二分法和试位法 3.3 不动点迭代法 3.4 迭代加速收敛的方法 3.5 Newton 迭代法
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3.5.1 Newton迭代法公式和收敛性 (1)



3.1 引言 3.2 二分法和试位法 3.3 不动点迭代法 3.4 迭代加速收敛的方法 3.5 Newton 迭代法