福师12秋《复变函数》练习题注：1、本课程练习题所提供的答案仅供学员在学习过程中参考之用，有问题请到课程论坛提问。
一、单项选择题1．2sin i =( ) A ．1()e e i -- B.1()e e i -+ C ．1()e e i -- D ．1e e -+答案：D2．函数2()f z z =在复平面上( ) A ．处处不连续B.处处连续，处处不可导C.处处连续，仅在点z =0可导D.处处连续，仅在点z =0解析答案：C3．设C 是绕点00z ≠的正向简单闭曲线，则530()Cz dz z z =-⎰ ( ) A ．2i π B ．3020z i π C ．502z i π D ．0答案：C4．1C ,2C 分别是正向圆周1z =与21z -=,则=-+-⎰⎰dz z z i dz z e i c c z 212sin 21221ππ ( ) A ．2i π B ．cos2 C ．0 D ．sin2答案：D二、填空题1. 设42()f z z z =-，则(1)f i -=________。
考核知识点：复数代值。
2．设()(,)(,)f z u x y iv x y =+是解析函数．若(,)u x y y =，则()f z '=______． 考核知识点：解析函数的导数。
3. 设C 为正向圆周1z =，则=⎰dz z i Csin 121π . 考核知识点：柯西积分公式。
4．幂级数01(-1)2n nnn z ∞=+∑的收敛半径为_________. 考核知识点：幂级数的收敛半径。
5. 411+⎛⎫⎪-⎝⎭i i = .考核知识点：复数的乘幂。
提示：()4441(1)(1)1(1)(1)i i i i i i i ⎛⎫+++⎛⎫== ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭6．设z a =为()f z 的极点，则lim ()z af z →=____________________．考核的知识点：函数的极点。
7. 设2()32f z z iz =+-，则()f z 的零点个数为 . 考核知识点：零点的定义。
8. 函数3511cos (1)(1)z z --在点1z =处的留数为______________. 考核知识点：留数的定义。
9.方程z 5+4z 3-1=0在单位圆|z|<1内有________个根. 考核知识点：复数根的求法。
三、判断题（正确的在括号内打“√”，错的打“×”）1．互为共轭的两个复数的模相等.（ ） 答案：√2．sin z 的周期为2π.（ ）答案：×3．若函数f(z)在z 0解析，则f(z)在z 0连续. ( ) 答案：√4．若0z 是()f z 的m 阶零点，则0z 是1()f z 的m 阶极点.（ ） 答案：√5．函数在可去奇点处的留数为0.（ ） 答案：×四、完成下列各题1. 计算()n i L e ． 考核知识点：对数函数。
2. 函数2322()2f z x y x y i =-+是否为解析函数？求出其导数. 考核知识点：解析函数。
提示：不是解析函数，因为满足C-R 条件的只有两个点，不成区域。
2(,)24x x f x y u iv x xy '=+=+3. 已知u=22-+x y xy ，求出相应的解析函数f(z)=u+iv. 考核知识点：解析函数。
提示：利用柯西-黎曼方程来求解,u v 。
4. 将21()()f z z z i =-在以1<-<+∞z i 内展开为罗朗级数.考核知识点：解析函数的洛朗展式。
5. 已知222371(),:3C f z d C x y z ζζζζ++=+=-⎰，求()1f i '+.考核知识点：柯西积分公式。
提示：22371()2(371)C f z d i z z z ζζζπζ++==++-⎰6. 求21z在01z =-处的泰勒展开式.考核知识点：泰勒展式。
7. 讨论函数f(z)=ze-11的奇点（包括无穷远点）及其类型.考核的知识点：函数的奇点的类型。
提示：令22(4)0z z +=可得0=z ，故它为)(z f 的孤立奇点． 0=z 为)(1z f 的一级零点。
8. 求1131sin 2(1)(4)z z z dze zdz i z z π+==+--⎰⎰.考核知识点：柯西积分公式。
9. 设v 是u 的共轭调和函数，问uv 是不是22-u v 的共轭调和函数？判断并给出理由.考核知识点：共轭调和函数的定义。
五、用留数计算积分：49(1)(2)(48)(50)z dzz z z z =----⎰.考核知识点:用留数计算积分。
提示：函数在49z =的圆周内只有一阶极点1,2,48z =。
六、求把z 平面的单位圆1z <变为ω平面的单位圆1ω<的线性变换()L z ω=，使110,arg 33L L π⎛⎫⎛⎫'== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.考核知识点：分式线性变换。
提示：由103L ⎛⎫= ⎪⎝⎭，分式线性变换把13z =变到0ω=。
七、证明：若积分路径不经过i ±，则120,14dz k k z ππ=+∈+⎰考核知识点：柯西定理。
提示： 积分路径绕过i ±，由柯西定理知：411102102π=+=+⎰⎰x dx z dz福师12秋《复变函数》辅导课件知识点和例题整理第一讲知识点：第一章 复数与复变函数复数的三种表示、(主)辐角、复数的运算(乘方、开方)第二章 解析函数解析、初等多值函数在复平面上处处连续、0处可导、无解析性()[cos()sin()]nni n z rer nArgz i nArgz θ==+()211(2)sin (2)]?22()342k i k x yi i x yi i θπθπ=+++=+=+⇒+=±+sin 2iz ize e z -+=2()f z z=ln arg 2Lnz z i z k iπ=++()n ?i L e =柯西-黎曼条件第三章 复积分的简单概念和性质1.柯西积分定理：若函数在复平面的单连通区域内解析，则函数在该连通区域内的任意围线上的积分等于零。
2.重要积分：a 为围线c(c 可以是圆周也可以是任意围线)内部的一点3.柯西积分公式：函数f(z)在区域D 上解析，在区域D 及边界C 所成的闭域上连续，则在边界C 上有()2()()C f d i f z zD z ζζπζ=⋅∈-⎰1()12z f z dzz =⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰122i f π⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭4. 高阶导数公式：函数f(z)在区域内解析，在闭域上连续，则在区域内与各阶导数()x x f z u iv '=+=5.在满足柯西黎曼条件的两个调和函数(二元函数关于两个变量的二阶偏导的和为零)u 、v 中，u 称为v 的共轭调和函数。
从已知解析函数的实部求虚部已知调和函数22(,)u x y x y xy =-+，求共轭调和函数()y x v ,。
及解析函数()()()y x iv y x u z f ,,+=解()222(,)2,212()2()22()x y x yx u x y x y xyu x y u y x u v v x y dy x xy y x v y x ϕϕϕ=-+⇒=+=-+=⇒=++=++'⇒=+⎰530()Cz dz z z -⎰ 3020z iπ=()22222222222()()1()21122211()2222y xu v y x y x x xx x cv xy y x cf z u iv x y xy i xy y x c z z i ic ϕϕϕ=-'⇒-+=-+'⇒=-⇒=-+⇒=+-+⎛⎫⇒=+=-+++-+ ⎪⎝⎭=-+第四章 解析函数的幂级数表示法一个解析函数如何在指定点展开成一个幂级数（牢记几个基本公式）解析函数的零点的级主要通过“求导”和“表示为()(),()0m z a z z ϕϕ-≠的形式”的方法做。
注意与奇点中极点的级的判别的对比、整理。
（函数的零点首先必须是函数的解析点）的零点个数为2。
第五章 解析函数的罗朗展式与孤立奇点()0!n z n z e z n ∞==<+∞∑()()()()()()202101sin 2!1cos 21!nn n nn n z z z n z z z n ∞=+∞=-=<+∞-=<+∞+∑∑()()()11ln 1211,01,2,n n k n z z k i z k nπ∞-=+=+-<=±±∑ ()111n n z z z ∞==<-∑2()32f z z iz =+-21()()f z z z i =-在10<-<i z 内展开成罗朗级数在+∞<-<i z 1内展开成罗朗级数求 ()11-=z e z f 的奇点及类型。
且均为一级零点，从而为f(z)的一级极点，20111(1)(1)(11)1(1)nn n z z z z z ∞=''⎛⎫⎛⎫=-==+++< ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭∑[]12211101,()()1()∞--=-<-<=⋅=-----∑n n n z i f z ni z i z i i z i 21()()f z z z i =-12111,()(1)(1)(1)1n nn z n z z z ∞+='<<+∞=-=--+++∑12011,(1)(1)()(1)n n n i i n i z i z i z i∞+=<<+∞=--+--+-∑3320111,()()(1)()()(1)n n n z i f z i n z i i z i z i∞--=<-<+∞=⋅=-+--+-∑12()z e k k π-∈ 的零点为2()k k π→∞→∞因此无穷远点是非孤立奇点。
第六 章 留数理论及其应用一、基本概念注意前提——仅在孤立奇点处，并且区分有限点和无穷远点，因此，留数的计算也区分有限点和无穷远点。
二、求留 数的方法（重点） （一）、在孤立奇点为有限点时 1、若a 为可去奇点，则留数为0；2、若a 为本质奇点，或者a 的类型不明确，则留数为函数的罗朗展式中z-a 的-1次幂项系数①(一般方法)；3、若a 为极点，先求极点的级数： 若为一级极点，则1()lim()()()2(),()0,()0,()0()()()()o z az aoz a Res f z z a f z z f z a a a z a Res f z a ϕϕψψψϕψ→===-'=≠=≠⇒='001lim 1sin sin z z zResz z→===0111sin cos 0z Res z ===011122sin sin z z dz i Res i z z ππ====⎰若为二级极点，则；2()lim ()()z az aRes f z z a f z →='⎡⎤=-⎣⎦若为n>2级极点，则(1)1()lim ()()(1)!n nz az a Res f z z a f z n -→=⎡⎤=-⎣⎦-（这个公式涉及高阶导数公式，并不常用，而更常用一般方法，即①）。