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第四章 随机变量的数字特征
EX 2 k 2 k e k k e
k 0
k!
k 1 (k 1)!
§3 几种期望与方差
(k 1)
k
e
k e
k 1
(k 1)!
k 1 (k 1)!
2e
k 2 ee 2
k 2 (k 2)!
DX EX 2 (EX )2 2 2
DX EX 2 (EX )2 n2 p2 n p2 np n2 p2 np(1 p) npq
方法2：
第四章
随机变量的数字特征 §3 几种期望与方差
Xi 服从（0-1）分布， P{Xi 0} q, P{Xi 1} p,i 1,2, , n 且 X1, , X n 独立，令 X X1 X n ，则 X 的可能 取值为 0,1,…n，
第四章 随机变量的数字特征
n
n1 §3 几种期望与方差
EX np
C
k 1 n1
p
k
1
q
n1(k
1)
np
C
i n1
p
i
q
n1i
k 1
i0
np( p q)n1 np
EX 2
n
k 2 Cnk pk qnk
k 0
n
k2
n!
pkqnk
k 0
k!(n k )!
n
p
k
1
k
(k
n! 1)!(n
P{X k} Cnk pk qnk , k 0, , n
EX n EXi np ， DX n DX i npq,
i 1
i 1
设 X 服从参数为泊松分布，
其分布律为P{X k} k e ，k=0,1,...
k!
EX k k e e k1 e e
k 0 k!
k1 (k 1)!
P{| X | 3} P{ 3 X 3}
2(3) 1 0.9974
在上一节用切比晓夫不等式估计概率有：
P{| X | 3} 0.8889
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k)! pk 1qnk
n
p (k 1)
n!
n
p k 1q nk p
n!
p k 1q nk
k 1
n(n 1)
p2
(k
n
1)!(n)!(n k )!
p q k 2 n2(k 2) np
k 2 (k 2)!(n 2 (k 2))!
n(n 1) p 2 ( p q) n2 np n 2 p 2 np 2 np
|
2 2
t2
e2
dt
2
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第四章 随机变量的数字特征 §3 几种期望与方差
P{| X | } P{ X }
( ) ( ) (1) (1) 2(1) 1 0.6826
P{| X | 2} P{ 2 X 2 }
2(2) 1 0.9544
e 2 2 dx
2
1
(t
t2
)e 2
dt,
(
x
t)
2
t2
te 2 dt
t2
e 2 dt
2
2
DX E( X )2 (x )2
1
( x )2
e
2 2
dx, ( x t)
2
2t2
t2
e2
dt
2
t
2
e
t2 2
dt
2
t2
tde 2
2
2
2
2 2
t2
te 2
4.均匀分布
f
(x)
1/(b a), 0, 其它
a
x
b
。
b
EX xf (x)dx x 1 dx a b
ba
2
a
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第四章 随机变量的数字特征
§3 几种期望与方差
b
DX EX 2 (EX)2 x2
1
dx ( a b)2 (b a)2
a ba
2
12
EX x
1
(x)2