2 3
x2'
+
2 3
x2'
−
4 3
x2'
+
2 3 x3' 4 3 x3' 2 3 x3'
⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎭
= grad（f ′）
3
3.
二维情况下，一质点应力张量 σ 主值 λ1σ = 1.6 ， λσ2 = 2.3 。主方向 N1 =
3 2
e1
−
1 2
e2
，
N2
=
1 2 e1
+
3 2
e
2
。应变张量
ε
主值
λ1ε
= 1，λε2
= 2 ，主方向与应力张量相同。e1,
e2 为
平面直角坐标系的单位基矢量。
a) 以 N1 ， N2 为基，计算该质点处应变能密度 W
b) 求 σij ，使得 σ = σij ei ⊗ e j
c) 求 ε ij ，使得 ε = εij ei ⊗ e j
d) 以 e1, e2 为基，计算该质点处应变能密度 W e) 计算 σ 的球应力张量和偏应力张量，并计算偏应力张量的主值和主方向。
（3）Green 变形张量 E
（4）初始构型上一向量 X ~
=
X 1 e1 +
~
X2
e2 +
~
X 3 e3
~
，变形后在当前构型上是 x ，证明 ~
( ) x• x = X • C • X 和 x• x− X • X = X • 2E • X
~~ ~
~
~~ ~ ~
~
~
（5）左 Cauchy-Green 变形张量 b
⎫ ⎪ ⎬ ⎪⎭
⎥
3 6⎦
⎡ ⎢0
⎢ = ⎢⎢−
1 2
⎢1
⎢
⎣2
1
3 1
3 1
3
− −
2
6 1
6 1
6
⎤ ⎥⎧ ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎪⎪⎩⎪⎪⎨
2 2
(−
x2'
+
0
−
2 6
(2
x1'
−
x2'
) x3'
− x3'
⎫ ⎪ ⎪ ⎬
)⎪⎪⎭
=
⎧ ⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎪
−4
3 2
3
x1' x1'
+ +
⎪ ⎪⎩
2 3
x1'
−
（3） a1 = p, a 2 = q, a3 = r
⎡2 0 1⎤ 由[gij ] = ⎢⎢0 4 2⎥⎥
⎢⎣1 2 2⎥⎦ 及 ai = gij a j 得 a1 = 2 p+ r, a2 = 4 q+ 2 r, a3 = p+ 2 q+ 2 r
1
2. 已知笛卡尔坐标系 e1 , e3 , e3 ，一个新的坐标系定义为
1 6
(2
x1'
−
x2'
−
x3'
)⎟⎟⎠⎞
2
（4）
=
−
2 3
x1'
2
+
2 3
x1'
x2'
+
1 3
x2'
2
+
2 3
x1'
x3'
−
4 3
x2'
x3'
+
1 3
x3'
2
验证 grad(f' ) = R ⋅ grad(f)，即证明 grad（f ）是客观性的。
途径一：
记 A = Diag(1,0,−1) ，则
1
−
1
⎥ ⎥
3
6⎦
⎡
⎢0
即
⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩
x1 x2 x3
⎫ ⎪ ⎬ ⎪⎭
=
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
13Βιβλιοθήκη 2⎢⎣6−1 2
1
3 −1
6
1⎤
⎧
−
2 1
3 1
6
⎥
⎥ ⎥ ⎥ ⎥
⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩
x1' x2' x3'
⎥
⎦
⎫ ⎪ ⎬ ⎪⎭
=
⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪⎩
1 2
(−
x2'
+
x3'
)
( 1
3
x1' + x2' + x3'
记
R
=
⎡ cosθ ⎢⎣− sinθ
⎡3
sinθ cosθ
⎤ ⎥ ⎦
=
⎢ ⎢
2
⎢⎢⎣−
1 2
1⎤
⎥
2 ⎥， 3⎥
因 RT σg R
= σl
2 ⎥⎦
⎡3
所以 σ g
=
Rσl RT
=
⎢ ⎢
2
⎢⎢⎣−
1 2
1⎤
2 3
⎥⎥⎥ ⎢⎣⎡10.6
2 ⎥⎦
⎡3
0⎤ 2.3⎥⎦
⎢ ⎢ ⎢
2 1
⎢⎣ 2
−
1
2 3
⎤ ⎥ ⎥ ⎥
A :S
=
S ij
gi g j
:
Amn
gmgn
=
S
ij
Amn
δim δ
n j
=
S ij Aij
S ij Aij
=
−S
A ji ij
=
−S
A ji ji
=
− S ij Aij
所以 S ij Aij = 0
6
连续介质力学作业（第二章）参考答案
1、初始构型和当前构型的转换关系：
x1 = X 1 +
2 2
¾ 解答：
（1） g = (g1 × g2 )⋅ g3 = 2
g1 =
1 g
(g 2
× g3 ) =
(0,0,1)T
g2 =
1 g
(g 3
×
g1 )
=
(0.5,-0.5,
0.5) T
g3 =
1 g
(g1
×g2
)
=
(0, 1,
-1)T
（2） g ij = gi ⋅ g j ⎡ 1 1/ 2 −1⎤
[g ij ] = ⎢⎢1 / 2 3 / 4 −1⎥⎥ ⎢⎣ −1 −1 2 ⎥⎦
−
1 2
e
2
，
N
2
=
1 2 e1
+
3 2 e2
在主空间中，球应力张量 p ，偏应力张量 τ 可表示为
p
=
tr( σ 2
) NiNi
= 1.95NiNi ,
i=1~ 2
τ = σ − p = −0.35N1N1 + 0.35N2N2
4. A, B 是二阶张量，证明： A : B = tr(AT ⋅ B) = tr(A ⋅ BT ) = tr(B ⋅ AT ) = tr(BT ⋅ A)
⎡
⎢0
⎡ e1′ ⎢⎢e2′ ⎢⎣e3′
⎤ ⎥ ⎥ ⎥⎦
=
⎢ ⎢⎢− ⎢ ⎢
1
2 1
⎣2
1 2⎤
3 1
3 1
− −
6 1
6 1
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥
⎡ e1 ⎢⎢e2 ⎢⎣e3
⎤ ⎥ ⎥ ⎥⎦
3
6⎦
向量 x = x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 ，给定函数 f( x ) = x12 − x32 。 （1） 求函数 f 的梯度 grad（f ）
)
⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎪
1 6
(2
x1'
−
x2'
−
x3'
)⎪⎪⎭
2
f( x ) = x12 − x32
= ⎜⎛ ⎝
1 2
(−
x2'
+
x3'
)⎟⎞2
⎠
−
⎜⎜⎝⎛
1 6
(2
x1'
−
x2'
−
x3'
)⎟⎟⎠⎞2
( 即 f ' x1' ,
x2' ,
x3'
)
=
⎜⎛ ⎝
1 2
(−
x2'
+
x3'
)⎟⎞2
⎠
−
⎜⎜⎝⎛
( ) = 1 2
S ij − S ji
xm
xn
δim
δ
n j
=
1 2
S ij xi x j
−
1 2
S
ji xi x j
=
1 2
S ij xi x j
−
1 2
S
ji x j xi
=
1 2
S ij xi x j
−
1 2
S ij xi x j
=0
（2） S = S ij gi g j ， A = Amn g m g n ，
⎢ ⎢ ⎢
2
2 0
⎥⎢
⎥⎦ ⎢⎣
2 2 1 0
⎤ 0⎥
⎥ 0⎥⎥ 1⎥
⎥ ⎥⎦
=
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣
3 2 2 0
2 0⎥⎤
3
⎥ 0⎥
2⎥
0 1⎥
⎥⎦
⎡1
⎢ ⎢