3.3 抛物线考点一 抛物线的定义【例1】（2020·天津河西.高二期末）已知抛物线2:8C x y =的焦点为F ，O 为原点，点P 是抛物线C 的准线上的一动点，点A 在抛物线C 上，且4AF =，则PA PO +的最小值为（ ） A．B．C．D．【一隅三反】1．（2020·全国高二课时练习）已知抛物线2:C y x =的焦点为F ，00(,)A x y 是C 上一点，05||4AF x =，则0x =（ ） A ．4B ．2C ．1D ．82．（2020·全国高二课时练习）若抛物线216x y =上一点()00,x y 到焦点的距离是该点到x 轴距离的3倍，则0y =（ ） A ．12B C ．1 D ．23．（2020·全国高二课时练习）已知点M 是抛物线24x y =上的一动点，F 为抛物线的焦点，A 是圆C ：22(1)(4)1x y -+-=上一动点，则||||MA MF +的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6考点二 抛物线的标准方程【例2】（2020·全国高二课时练习）设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,点M 在C 上,5MF =,若以MF 为直径的圆过点,则C 的方程为（ ）A ．24y x =或28y x =B ．22y x =或28y x =C ．24y x =或216y x =D ．22y x =或216y x = 【一隅三反】1．（2020·内蒙古青山。

北重三中高二期中（理））抛物线2y ax =的焦点是直线x y 10+-=与坐标轴交点，则抛物线准线方程是( )A ．1x 4=-B ．x 1=-C ．1y 4=-D ．y 1=-2．（2020·四川射洪中学高二期中（文））位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥（如图所示）有“仙境之桥”之称，它的桥形可以近似地看成抛物线，该桥的高度为5m ，跨径为12m ，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为( )A ．2512m B ．256m C ．95m D ．185m 3．（2020·江西高二期末（理））抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，点()06,A y 是C 上一点，2AF p =,则p =（ ） A ．4B ．3C ．2D ．1考点三 直线与抛物线的位置关系【例3】（2020·安徽高二期末（文））已知直线(2)(0)y k x k =+＞与抛物线2:8C y x =相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点，若2FA FB =,则k=( )A ．13B．3C ．23D．3【一隅三反】1．（2019·四川阆中中学高二月考（文））已知直线1y kx =-与抛物线28x y =相切，则双曲线2221x k y -=的离心率为（ ） ABCD2．（2019·辽宁鞍山.高二期中（理））若直线20x y c -+=是抛物线24x y =的一条切线，则c =__________．3．（2020·上海市东昌中学北校高二期末）“直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（ ）条件． A ．充分非必要 B ．必要非充分 C ．充分必要D．既非充分又非必要考点四 弦长【例3】（1）（2019·伊美区第二中学高二期末（理））设F 为抛物线2:3C y x =的焦点，过F 且倾斜角为30的直线交C 于A ，B 两点，则AB =（ ） A．3B ．6C ．12 D．（2）（2019·四川省绵阳南山中学高二期中（文））设F 为抛物线C:23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（ ） A．4B．8C ．6332D ．94【一隅三反】1．（2020·四川双流.棠湖中学（文））已知直线280x my +-=经过抛物线24x y =的焦点，与抛物线相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则OAB ∆的面积为（ ）AB ．2C ．4D ．12．（2020·江西赣州.高二月考（理））抛物线2:(0)C y ax a =>的焦点F 是双曲线22221y x -=的一个焦点，过F 且倾斜角为60︒的直线l 交C 于,A B ，则||AB =（ ）A ．23+ B ．2 C ．163D ．163．（2019·陕西汉台。

高二期末（理））已知点A ，B 是抛物线C ：24y x =上的两点，且线段AB 过抛物线C 的焦点F ，若AB 的中点到y 轴的距离为2，则AB =（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8考点五 定点定值【例5】（2019·临泽县第一中学高二期末（文））已知抛物线C ：22(0)y px p =>，过其焦点F 作斜率为1的直线交抛物线C 于A ，B 两点，且线段AB 的中点的纵坐标为4. （1）求抛物线C 的标准方程；（2）若不过原点O 且斜率存在的直线l 与抛物线C 相交于D 、E 两点，且OD OE ⊥.求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标. 【一隅三反】1．（2020·广西崇左.高二期末（理））如图，已知点F 为抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点，过点F 的动直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点，且当直线l 的倾斜角为45°时，16MN =.（1）求抛物线C 的方程.（2）试确定在x 轴上是否存在点P ，使得直线PM ，PN 关于x 轴对称？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.2．（2019·陕西新城.西安中学高二月考（文））已知抛物线C:y 2=2px(p>0)的焦点F和椭圆22143x y +=的右焦点重合,直线过点F 交抛物线于A 、B 两点. (1)求抛物线C 的方程；(2)若直线交y 轴于点M,且,MA mAF MB nBF ==,m 、n 是实数,对于直线,m+n 是否为定值? 若是,求出m+n 的值；否则,说明理由.3.2.2 双曲线【题组一 双曲线的离心率】1．（2020·全国）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线l ：2x a =与C交于M ，N 两点.若22MF NF ⊥，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．22B ．12C ．2D【答案】A【解析】联立22221,2,x y a b x a ⎧-=⎪⎨⎪=⎩解得y =，不妨设(2)M a ，(2,)N a ， 而2(,0)F c ，则220MF NF ⋅=， 即(2)(2)0c a c a -⋅-=， 即2224430c a ac b +--=，整理可得22470c c a a ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得22c e a ==. 故选：A.2．（2020·四川青羊.树德中学）设2F 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，过2F 的直线交双曲线的右支于点P ，N ，直线PO 交双曲线C 于另一点M ，若223MF PF =，且260MF N ∠=︒，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．3B ．2CD ．2【答案】D【解析】设双曲线的左焦点为F 1，由双曲线的对称性可知四边形MF 2PF 1为平行四边形． ∴121,//MF PF MF PN =．设2||PF m =，则2||3MF m =，∴2122a MF MF m =-=，即12,3MF a MF a ==．∵21260,60MF N F MF ︒︒∠=∴∠=，又122F F c =，在△MF 1F 2中，由余弦定理可得：2224923cos60c a a a a ︒=+-⋅⋅⋅，即2222747,4c c a a =∴=，∴双曲线的离心率e c a ==． 故选D ．3．（2019·甘肃省会宁县第二中学高二期末）已知双曲线2212x y a a -=-与椭圆2215x y +=的焦点相同，则该双曲线的离心率为（ ）A ．3B ．43C ．2D ．3【答案】A【解析】椭圆2215x y +=的焦点坐标为()2,0，()2,0-，所以42a a =+-，解得3a =，所以双曲线方程为2213x y -=，离心率e ==，故选：A. 4．（2020·赤峰二中）设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右两焦点分别为12,F F ，P 是双曲线右支上一点，且三角形2OPF 为正三角形(O 为坐标原点)，则双曲线的离心率是（ ）A B 1C D ．2【答案】B【解析】依题意，三角形2OPF 为正三角形，则22OP OF PF c ===，连接1PF可得1=PF ，又122PF PF a -=2c a -=，所以1c e a === 故选：B5．（2020·北京高二期中）已知双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线方程为y ＝2x ，那么该双曲线的离心率是（ ）A B C D 【答案】D【解析】由于双曲线的渐近线为2y x =，所以2ba=，所以c e a ====== 故选：D6．（2020·广西兴宁）设F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点.过点F 作斜率为-3的直线l 与双曲线左、右支均相交.则双曲线离心率的取值范围为（ ）A ．B ．C ．)+∞D ．)+∞【答案】C【解析】因为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线方程为b y x a=±，当过点F 且斜率为-3的直线l 与渐近线by x a=-平行时. 直线l 只与双曲线右支有一个交点，数形结合可知， 当渐近线by x a =-的斜率满足3b a -<-，即3b a>时， 直线l 与双曲线左、右支均相交，所以22223910b a b a c a e >⇒>⇒>⇒> 故选:C.8．（2020·东湖江西师大附中高三月考（理）22221x y a b-=恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．[2,)+∞B ．(2,)+∞C ．D ．)+∞【答案】B22221x y a b-=恒有两个公共点，所以b a >2c e a ==> 所以双曲线离心率的取值范围是(2,)+∞ 故选：B【题组二 直线与双曲线的位置关系】1．（2019·安徽黄山）已知双曲线221169x y -=的左焦点为1F ，过1F 的直线l 交双曲线左支于A 、B 两点，则l 斜率的取值范围为（ ）A ．44(,)33-B ．33(,)(,)44-∞-+∞ C ．33(,)44-D ．44(,)(,)33-∞-+∞【答案】B【解析】双曲线的渐近线为34y x ，当直线l 与渐近线平行时，与双曲线只有一个交点.当直线l 斜率大于零时，要与双曲线左支交于两点，则需直线斜率34k >；当直线l 斜率小于零时，要与双曲线左支交于两点，则需斜率34k <-.故选B. 2．（2018·河北张家口.高二月考（文））已知双曲线2221y x b-=，直线2y kx =+与双曲线的左右两支各有一个交点，则k 的取值范围是（ ） A ．(,1)(1,)-∞-+∞B ．(1,1)-C ．(,(2,)-∞+∞D ．(【答案】B【解析】双曲线2221y x b-=1,ca a∴==可得 1c b ===, ∴双曲线221x y -=,直线2y kx =+与双曲线联立可得()221450k x kx ---=,直线2y kx =+与双曲线的左右两支各有一个交点,22100501k k ⎧⎪-≠⎪∴∆>⎨⎪⎪<-⎩,11k ∴-<<,即k 的取值范围是()1,1-，故选B.3．（2020·江西东湖.南昌十中高二月考）若直线l 过点(3,0)与双曲线224936x y -=只有一个公共点，则这样的直线有（ ） A ．1条 B ．2条C ．3条D ．4条【答案】C【解析】当直线斜率存在时，设直线L ：y=k （x -3），代入双曲线方程化简得（4-9k 2）x 2+54k 2x -81k 2-36=0 要使L 与双曲线只有一个公共点，需上述方程只有一根或两实根相等， ∴4-9k 2=0，或△=0（不成立），解得k=±23当直线斜率不存在时，直线为x=3，此时与双曲线也只有一个公共点， 故这样的直线有3条， 故选C4．（2020·定远县民族学校高二月考（理））直线:l y kx =与双曲线22:2C x y -=交于不同的两点，则斜率k 的取值范围是（ ）A ．(0,1) B．(C ．(1,1)-D ．[1,1]-【答案】C 【解析】由双曲线22:2C x y -=与直线:l y kx =联立可()22120kx--= ，因为直线:l y kx =与双曲线22:2C x y -=交于不同的两点，所以()2210810k k ⎧-≠⎪⎨->⎪⎩ 可得11k -<< ，斜率k 的取值范围是()1,1-，故选C.【题组三 弦长】1．（2019·会泽县第一中学校高二月考（理））已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的实轴长为个焦点的坐标为(0). （1）求双曲线的方程；（2）若斜率为2的直线l 交双曲线C 交于,A B 两点，且4AB =，求直线l 的方程.【答案】（1）；（2）21023y x =+或21023y x =-. 【解析】（1）根据待定系数法求双曲线方程，知道，；（2）设直线方程，与双曲线方程联立，得到韦达定理，根据弦长公式，求出直线方程.试题解析：（1）由2a =，得a =c =∴2222b c a =-=，∴双曲线C 的方程为22132x y -=.（2）设直线l 的方程为2y x m =+，1122(,),(,)A x y B x y ，由222{132y x mx y =+-=，得2210123(2)0x mx m +++=， ∴224(10)0m ∆=->，得m >∴弦长4AB ==，解得m =±， ∴直线l 的方程为21023y x =+或21023y x =-.2．（2019·甘南藏族自治州合作第一中学高二期末（文））过双曲线221x y -=的右焦点F 作倾斜角为60︒的直线l ，交双曲线于A 、B 两点， （1）求双曲线的离心率和渐近线； （2）求|AB |. 【答案】（1）e =y x =±（2）|AB |【解析】（1）因为双曲线方程为221x y -=,所以1a b ==,则c == 所以ce a==渐近线方程为y x =± （2）由（1）,右焦点为),则设直线l 为y x =,代入双曲线221x y -=中,化简可得2270x +-=,所以1232x x ,1272x x ⋅=-,所以21AB x =-==3．（2019·四川省绵阳南山中学高二期中（理））已知双曲线C ：22221x y a b-=0y -=，点是双曲线的一个顶点. （1）求双曲线的方程；（2）经过双曲线的右焦点2F 作倾斜角为30°的直线l ，且与双曲线交于A ，B 两点求AB 的长.【答案】（1）22136x y -=（2【解析】（1）因为双曲线C 的一条渐近线方程为y=，所以ba=222b a =. 又点是双曲线的一个顶点，∴a =26b =，∴双曲线的方程为22136x y -=（2）由（1）知，双曲线22136x y -=的右焦点为2(3,0)F ，∴经过双曲线的右焦点2F 且倾斜角为30°的直线l的方程为3)y x =-，联立直线与双曲线方程221363)x y y x -⎧⎪==⎨-⎪⎪⎪⎩，消y 得256270x x +-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则1265x x +=-，12275x x =-，所以||AB ==4．（2020·盘县红果镇育才学校高三月考（文））已知双曲线C)点，过双曲线C 的右焦点2F ，做倾斜角为3π的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，1F 为左焦点. （1）求双曲线的标准方程；（2）求AOB 的面积.【答案】（1）22136x y -=；（2）36AOB S =△. 【解析】（1）过点，所以a ===ce a3c =，又222+=a b c，所以b ， 所以双曲线的方程为22136x y -=.（2）结合题意可得直线AB的方程为3)y x =-，设()11,A x y ，()22,B x y，联立方程223)136y x x y ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩，消去y ，得218330x x -+=.∴1218x x +=，1233x x -=，∴12||AB x =-==直线AB0y --=. ∴原点O 到直线AB的距离为2d ==，∴11||3622AOB S AB d =⋅=⨯=△. 【题组四 点差法】1．（2019·新疆生产建设兵团第五师高级中学高二月考（文））已知双曲线中心在原点且一个焦点为)F ，直线1y x =-与其相交于M ，N 两点，MN 中点横坐标为23-，则此双曲线的方程是______. 【答案】22125x y -=【解析】设点()11,M x y 、()22,N x y ， 由题意可得12223x x +=-，1243x x ∴+=-，()12121023y y x x +=+-=-，直线MN 的斜率为12121MN y y k x x -==-，则22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减得22221212220x x y y a b ---=，所以()()()()22212121222212121252y y y y y y b a x x x x x x -+-===--+，由于双曲线的一个焦点为)F，则227a b +=，22a ∴=，25b =，因此，该双曲线的标准方程为22125x y -=.故答案为：22125x y -=.2．（2020·平罗中学高二月考（理））点()1,2P 是曲线C ：2214x y -=的弦AB 的中点.则直线AB 的方程为（ ）A ．8150x y -+=B ．8170x y +-=C ．36150x y +-=D ．36150x y -+=【答案】A【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，点()1,2P 是曲线C ：2214x y -=的弦AB 的中点，12122,4x x y y ∴+=+=.把,A B 的坐标代入曲线C 的方程，可得221122221414x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减得，()2222221104x y x y --=-， 即()()()()121212124x x x x y y y y +-=+-，()()12121212214,48x x y y y y x x --∴=-∴=-， 即直线AB 的斜率为18，所以直线AB 的方程为1218y x ，即8150x y -+=.故选：A .3．（2018·安徽定远二中高二月考（理））已知椭圆22154x y +=，倾斜角为4π的直线l 与椭圆分别相交于A .B两点，点P 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，则直线OP 的斜率为（ ） A ．15- B ．45-C ．15D ．45【答案】B【解析】设112200(,),(,),(,)A x y B x y P x y ，则22112222154154x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①②， ①-②整理得1212121211()()()()054x x x x y y y y +-++-=，又因为1212tan 14y y x x π-==-，则12120y y x x -=-≠，所以121211()()054x x y y +++=， 又因为点P 为线段AB 的中点， 则1201202,2x x x y y y +=+=， 所以0021052x y +=，即0045y x =-， 所以0045OP y k x ==-， 即直线OP 的斜率为45-， 故选：B.4．（2020·银川三沙源上游学校高三二模（理））已知直线l :20x y -+=与双曲线C :22221x y a b-=(0a >，0b >)交于A ，B 两点，点()1,4P 是弦AB 的中点，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．43B ．2CD【答案】D【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，因为()1,4P 是弦AB 的中点，根据中点坐标公式得121228x x y y +=⎧⎨+=⎩. 直线l :20x y -+=的斜率为1，故12121y y x x -=-. 因为,A B 两点在双曲线上，所以22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， 两式相减并化简得()()()()21212212128142y y y y b a x x x x +-==⨯=+-， 所以2b a =，所以e == 故选：D5．（2020·萍乡市湘东中学高二期中（文））直线220kx y k --+=恒过定点A ，若点A 是双曲线22128x y -=的一条弦的中点，则此弦所在的直线方程为（ ） A ．4100x y +-= B ．220x y --= C ．4100x y +-= D ．460x y --=【答案】D【解析】∵220kx y k --+=，得(2)2y k x =-+， 所以定点A 为(2,2)，设这条弦与双曲线的两交点分别为()()1122,,,M x y N x y ，则有222211221,12828x y x y -=-=，两式相减得22221211028x x y y ---=，得()()()()12221212028x x x x y y y y -+-+-=，A (2,2)为弦的中点，所以弦的斜率存在，弦所在直线斜率121212121212222444228x x y y x x k y y x x y y +-+⨯===⋅=⋅=+-+⨯， 利用点斜式可得弦所在的直线方程为460x y --= A 在双曲线内部且斜率不等于2±（渐近线斜率）， ∴所求的直线与双曲线有两个交点.故选：D.6．（2020·甘肃兰州）过点()42P ，作一直线AB 与双曲线22:12x C y -=相交于A 、B 两点，若P 为AB 中点，则AB =( ) A． B．C．D．【答案】D【解析】易知直线AB 不与y 轴平行，设其方程为y ﹣2＝k （x ﹣4）代入双曲线C ：2212x y -=，整理得（1﹣2k 2）x 2+8k （2k ﹣1）x ﹣32k 2+32k ﹣10＝0设此方程两实根为1x ，2x ，则12x x +()282121k k k -=-又P （4，2）为AB 的中点，所以()282121k k k -=-8，解得k ＝1当k ＝1时，直线与双曲线相交，即上述二次方程的△＞0，所求直线AB 的方程为y ﹣2＝x ﹣4化成一般式为x ﹣y ﹣2＝0．12x x +＝8，12x x ＝10 |AB|=12x x -|==D ．。