2013年高考第一轮复习数学北师(江西版)理第八章8.2 点与直线、直线与直线的位置关系考纲要求1．能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直． 2．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．3．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．知识梳理1．两直线的位置关系平面内两条直线的位置关系包括平行、相交、重合三种情况． (1)两直线平行对于直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2， l 1∥l 2⇔________________. 对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0， l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，l 1∥l 2⇔__________________________. (2)两直线垂直对于直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2， l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝____.对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0， l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0， l 1⊥l 2⇔____________. 2．两直线的交点设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，将这两条直线的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，若方程组有唯一解，则l 1与l 2____，此解就是两直线交点的坐标；若方程组无解，则l 1与l 2____；若方程组有无数个解，则l 1与l 2____.3．有关距离 (1)两点间的距离平面上两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离|P 1P 2|＝____________. (2)点到直线的距离平面上一点P (x 0，y 0)到一条直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝____________. (3)两平行线间的距离已知l 1，l 2是平行线，求l 1，l 2间距离的方法： ①求一条直线上一点到另一条直线的距离；②设l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0，则l 1与l 2之间的距离d ＝________. 4．对称问题 (1)中点坐标公式设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则线段AB 的中点坐标为____________． (2)中心对称若点M (x 1，y 1)及N (x ，y )关于P (a ，b )对称，则由中点坐标公式得______． (3)轴对称若两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称，则线段P 1P 2的中点在对称轴l 上，而且连接P 1P 2的直线垂直于对称轴l .由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＋B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋y 22＋C ＝0，y 1－y 2x 1－x 2＝BA可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(x 2，y 2)(其中A ≠0，x 1≠x 2)．基础自测1．过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( )． A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0 D ．x ＋2y －1＝02．点P 在直线x ＋y －4＝0上，O 为坐标原点，则|OP |的最小值为( )． A ．13 B ．2 2 C ． 6 D ．23．已知两条直线y ＝ax －2和y ＝(a ＋2)x ＋1互相垂直，则a ＝( )． A ．2 B ．1 C ．0 D ．－14．若三条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0和x ＋by ＝0相交于一点，则b ＝( )．A ．－1B ．－12C ．2D ．125．求与直线x －y ＋2＝0平行，且它们之间的距离为32的直线方程．思维拓展1．研究两直线的位置关系时，若直线方程的系数含有变量应注意什么？提示：在利用斜率、截距研究两直线的位置关系时，若直线方程中y 的系数含有字母参数，则斜率可能有不存在的情况．此时，应对其按y 的系数为零(斜率不存在)和不为零(斜率存在)两种情况进行讨论．利用斜率相等研究两条直线平行时，要注意重合的情形．2．运用距离公式时应注意什么？提示：点到直线的斜率公式适用于任何形式的直线方程，在运用该公式时，应首先把直线方程化为一般式；在运用两平行线间的距离公式时，要注意先把两直线方程中x ，y 的系数化成相等的形式．一、两直线的平行【例1】直线l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线l 2：mx ＋3y －2＝0平行，则m 的值为( )． A ．2 B ．－3C ．2或－3D ．－2或－3方法提炼1．判定两直线平行的方法：(1)判定两直线的斜率是否存在，若存在，可先化成斜截式，若k 1＝k 2，且b 1≠b 2，则两直线平行；若斜率都不存在，还要判定是否重合．(2)直接用以下方法，可避免对斜率是否存在进行讨论：设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0. 2．与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程可设为Ax ＋By ＋m ＝0(m ≠C )，这也是经常采用的解题技巧．请做[针对训练]1二、两直线的垂直【例2】求经过点A (2,1)，且与直线2x ＋y －10＝0垂直的直线l 的方程． 方法提炼1．判定两直线垂直的方法：(1)判定两直线的斜率是否存在，若存在，可先化成斜截式，若k 1·k 2＝－1，则两直线垂直；若一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，两直线也垂直．(2)直接用以下方法，可避免对斜率是否存在进行讨论：设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.2．与Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线方程可设为Bx －Ay ＋m ＝0，这也是经常采用的解题技巧．请做[针对训练]2三、距离公式的应用【例3－1】已知直线l过两直线3x＋4y－5＝0,2x－3y＋8＝0的交点P，且与A(2,3)，B(－4,5)两点距离相等，求直线l的方程．【例3－2】已知直线l过点P(3,1)，且被两平行线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y＋6＝0截得的线段长为5，求直线l的方程．方法提炼运用点到直线的距离公式时，需把直线方程化为一般式；运用两平行线的距离公式时，需先把两平行线方程中x，y的系数化为相同的形式．请做[针对训练]3四、对称问题【例4－1】已知直线l1：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：(1)点A关于直线l1的对称点A′的坐标；(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l1的对称直线l2的方程；(3)直线l1关于点A对称的直线l3的方程．【例4－2】已知直线l1：2x＋y－4＝0，求l1关于直线l：3x＋4y－1＝0对称的直线l2的方程．方法提炼1．在对称问题中，点关于直线的对称是最基本也是最重要的对称．处理这种问题关键是抓住垂直与平分两个几何条件，转化为代数关系列方程求解；线关于线的对称问题，可以转化为点关于直线的对称问题来解决；直线关于点的对称可转化为点关于点的对称来处理，结合“代入法”求轨迹方程的思想方法解题也是这类问题的一个通法．2．求与距离有关的最值问题，一般是通过作图，转化为对称问题加以解决．请做[针对训练]4考情分析通过分析近几年的高考试题可以看出，对于本节内容的考查，主要侧重以下几个方面：(1)判断两直线平行与垂直的位置关系，或以平行、垂直的位置关系为载体求相关参数的值；(2)对距离公式的考查，主要是把它作为工具来使用；(3)对称问题侧重点与点关于直线的对称．思想方法主要侧重分类讨论、数形结合、方程思想等．考查的形式以选择题、填空题为主．针对训练1．与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l的方程为__________．2．(2011浙江高考，文12)若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m＝________.3．若P(a，b)在直线x＋y＋1＝0上，求a2＋b2－2a－2b＋2的最小值．4．(1)在直线l：3x－y－1＝0上求一点P，使得P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大；(2)在直线l：3x－y－1＝0上求一点Q，使得Q到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小．参考答案基础梳理自测 知识梳理1．(1)k 1＝k 2，且b 1≠b 2 A 1B 2－A 2B 1＝0，且B 1C 2－B 2C 1≠0 (2)－1 A 1A 2＋B 1B 2＝0 2．相交 平行 重合3．(1)(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2(2)|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2(3)②|C 1－C 2|A 2＋B 2 4．(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22 (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a －x 1，y ＝2b －y 1基础自测1．A 解析：∵所求直线与直线x －2y －2＝0平行，∴所求直线的斜率为12，方程为y －0＝12(x －1)，即x －2y －1＝0.2．B 解析：根据题意知，|OP |的最小值为原点O 到直线x ＋y －4＝0的距离．根据点到直线的距离公式，得42＝2 2.3．D 解析：∵两直线垂直， ∴a (a ＋2)＝－1. ∴a ＝－1.4．B 解析：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2，∴三条直线交于点(－1，－2)．∴－1－2b ＝0，即b ＝－12.5．解：设与直线x －y ＋2＝0平行的直线方程为x －y ＋m ＝0，根据平行线间的距离公式，得|2－m |2＝32⇒|2－m |＝6⇒m ＝－4或m ＝8，即所求的直线方程为x －y －4＝0，或x －y ＋8＝0.考点探究突破【例1】C 解析：解法一：当m ＝－1时，l 1：2x ＋4＝0，l 2：－x ＋3y －2＝0显然l 1与l 2不平行；当m ≠－1时，因为l 1∥l 2，所以应满足－2m ＋1＝－m 3且－4m ＋1≠23，解得m ＝2或m ＝－3.解法二：若l 1∥l 2，需2×3－m (m ＋1)＝0，解得m ＝－3或m ＝2. 当m ＝－3或2时，－2(m ＋1)－12≠0. ∴m ＝－3或2为所求．【例2】解：解法一：∵直线2x ＋y －10＝0的斜率不为0， ∴直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k . ∵直线l 与直线2x ＋y －10＝0垂直，∴k ·(－2)＝－1.∴k ＝12.又∵l 经过点A (2,1)，∴所求直线l 的方程为y －1＝12(x －2)，即x －2y ＝0.解法二：设与直线2x ＋y －10＝0垂直的直线方程为x －2y ＋m ＝0. ∵直线l 经过点A (2,1)，∴2－2×1＋m ＝0.∴m ＝0.∴所求直线l 的方程为x －2y ＝0.【例3－1】解：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －5＝0，2x －3y ＋8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.故交点P (－1,2)．(1)当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0.由题意得|2k －3＋k ＋2|k 2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|k 2＋1，解得k ＝－13，∴直线l 方程为y －2＝－13(x ＋1)即x ＋3y －5＝0.(2)当直线l 的斜率不存在时，则l 的方程为x ＝－1，此时也符合题目要求． 综合(1)(2)知，所求直线方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1.【例3－2】解法一：若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x ＝3，此时与l 1，l 2的交点分别是A (3，－4)，B (3，－9)，截得的线段长|AB |＝|－4＋9|＝5，符合题意．当直线l 的斜率存在时，则设直线l 的方程为y ＝k (x －3)＋1，分别与直线l 1，l 2的方程联立，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －3)＋1，x ＋y ＋1＝0，解得A ⎝⎛⎭⎪⎫3k －2k ＋1，1－4k k ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －3)＋1，x ＋y ＋6＝0，解得B ⎝⎛⎭⎪⎫3k －7k ＋1，1－9k k ＋1.由两点间的距离公式，得⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －2k ＋1－3k －7k ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－4k k ＋1－1－9k k ＋12＝25， 解得k ＝0，即所求直线方程为y ＝1.综上可知，直线l 的方程为x ＝3，或y ＝1.解法二：因为两平行线间的距离d ＝|6－1|2＝522，如图，直线l 被两平行线截得的线段长为5，设直线l 与两平行线的夹角为θ，则2s in θ=， 所以θ=45°.因为两平行线的斜率是1-，故所求直线的斜率不存在，或为0. 又因为直线l 过点P (3,1)，所以直线l 的方程为x =3，或y =1. 【例4－1】解：(1)设A ′(x ，y )，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1·23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413.故A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413. (2)在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M 关于l 1的对称点必在l 2上． 设对称点为M ′(a ，b )，则由⎩⎪⎨⎪⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，得M ′⎝⎛⎭⎪⎫613，3013.设m 与l 1的交点为N ， 由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)． 又l 2过N 点，由两点式得直线l 2的方程为9x －46y ＋102＝0.(3)解法一：在l 1：2x －3y ＋1＝0上任取两点，如M (1,1)，N (4,3)． 则M ，N 关于点A 的对称点M ′，N ′均在直线l 3上．易知M ′(－3，－5)，N ′(－6，－7)，由两点式可得l 3的方程为2x －3y －9＝0. 解法二：∵l 1∥l 3，∴可设l 3的方程为2x －3y ＋c ＝0(c ≠1)．∵点A 到两直线的距离相等，∴由点到直线的距离公式得|－2＋6＋c |22＋32＝|－2＋6＋1|22＋32，得c ＝－9，∴l 3的方程为2x －3y －9＝0.解法三：设P (x ，y )是l 3上任一点，则P (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为P ′(－2－x ，－4－y )．∵P ′在直线l 1上，∴2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0. 整理得2x －3y －9＝0.【例4－2】解：方法一：由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －4＝0，3x ＋4y －1＝0，得l 1与l 的交点为P (3，－2)，显然P也在l 2上．设l 2的斜率为k ，又l 1的斜率为－2，l 的斜率为－34，则－34－(－2)1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34×(－2)＝k －⎝ ⎛⎭⎪⎫－341＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34k，解得k ＝－211.故l 2的直线方程为y ＋2＝－211(x －3)，即2x ＋11y ＋16＝0. 方法二：在直线l 1上取一点A (2,0)，又设点A 关于直线l 的对称点为B (x 0，y 0)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧y 0－0x 0－2＝43，3·2＋x2＋4·0＋y2－1＝0，解得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－85.故由两点式可求得直线l 2的方程为2x ＋11y ＋16＝0. 演练巩固提升 针对训练1．3x ＋4y －11＝0 解析：解法一：设直线l 的斜率为k . ∵l 与直线3x ＋4y ＋1＝0平行，∴k ＝－34.又∵l 经过点(1,2)，可得所求直线方程为y －2＝－34(x －1)，即3x ＋4y －11＝0.解法二：设与直线3x ＋4y ＋1＝0平行的直线l 的方程为3x ＋4y ＋m ＝0. ∵l 经过点(1,2)，∴3×1＋4×2＋m ＝0，解得m ＝－11. ∴所求直线方程为3x ＋4y －11＝0.2．1 解析：∵直线x －2y ＋5＝0与2x ＋my －6＝0互相垂直， ∴1×2＋(－2)·m ＝0，即m ＝1.3．解：∵a 2＋b 2－2a －2b ＋2＝(a －1)2＋(b －1)2，可看成是点P (a ，b )与点(1,1)之间的距离．又∵点P 是直线x ＋y ＋1＝0上任一点，∴(a －1)2＋(b －1)2即是点(1,1)与直线x ＋y ＋1＝0上任一点之间的距离．因此，点(1,1)到直线x ＋y ＋1＝0的距离即是(a －1)2＋(b －1)2的最小值．由于点(1,1)到直线x ＋y ＋1＝0的距离为d ＝|1＋1＋1|12＋12＝322， 故a 2＋b 2－2a －2b ＋2的最小值为322.4．解：(1)如图甲所示，设点B 关于l 的对称点为B ′，连接AB ′并延长交l 于P ，此时的P 满足|PA |－|PB |的值最大．图甲设B ′的坐标为(a ，b )， 则k BB ′·k l ＝－1， 即b －4a·3＝－1.∴a ＋3b －12＝0.①又由于线段BB ′的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b ＋42，且在直线l 上，∴3×a 2－b ＋42－1＝0，即3a －b －6＝0.②①②联立，解得a ＝3，b ＝3，∴B ′(3,3)．于是AB ′的方程为y －13－1＝x －43－4，即2x ＋y －9＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －y －1＝0，2x ＋y －9＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝5， 即l 与AB ′的交点坐标为P (2,5)．(2)如图乙所示，设C 关于l 的对称点为C ′，连接AC ′交l 于点Q ，此时的Q 满足|QA |＋|QC |的值最小．图乙设C ′的坐标为(x ′，y ′)，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ′－4x ′－3·3＝－1，3·x ′＋32－y ′＋42－1＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝35，y ′＝245.∴C ′⎝ ⎛⎭⎪⎫35，245.由两点式得直线AC ′的方程为y －1245－1＝x －435－4，即19x ＋17y －93＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧19x ＋17y －93＝0，3x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝117，y ＝267.∴所求点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫117，267.。