向量的极化恒等式与等和线的应用-学生版
结论：平行四边形对角线的平方和等于两条邻边 平方和的两倍•
思考1:如果将上面(1) (2)两式相减，能得 到什么结论呢？
对于上述恒等式，用向量运算显然容易证 明。

那么基于上面的引例，你觉得极化恒等式的 几何意义是什么？ 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量 为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对 角线”平方差的丄.
4
即：；b = 4〔AC 2
-DB 2】(平行四边形模式)
极化恒等式
引例：平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型。

你能用向量方法证明： 平行四边形的对角线的 平方和 等于两条邻边平方和的两倍• 证明：不妨设AB = a, AD = b,
贝V AC 二 a b,DB =a —b, ___ , 2 AC 二 AC 二 a b (1
)
.2 DB r 2 a ___ 2 ・ ■ 2 =DB 二 a — b • r r 2 -2a b + b
(1) (2)两式相加得:
ab =
;_a b
极化恒等式
思考：在图1的三角形ABD中（M为BD的中点），此恒等式如何表示呢？
因为AC=2AM，所以ai=|AMp-1|DB|2（三角形模式）
例1. （2012年浙江文15）在ABC中川是BC的中点
AM =3,BC =10，则AB T
AC =
BMC
目标检测
（2012北京文 13改编）已知正方形 ABCD 的边长为 1, 点E 是AB 边上的动点，贝V DE DA 的值为 _______________________________________ .
例2.（自编）已知正三角形 ABC 内接于半径为2的圆O ,点P 是圆O 上的一个动点, 则PA PB 的取值范围是 _________________ .
目标检测
2 2
（2010福建文11）若点O 和点F 分别为椭圆 中 上 =1的中心和左焦点，点P 为椭圆
上的任意一点，则OP FP 的最大值为（）
A2 B.3 C.6 D.8
例3. （2013浙江理7）在ABC 中,P o
是边AB 上一定
点，满足P
°
B*AB ，且对于边AB 上任一点
4 7
PB 卩C HRB PC 。

贝
( )
A . NABC =90’
B . NBAC=90‘
C .
AB = AC
c
AC 二BC
例4. （20仃全国2理科12）已知ABC是边长为2 的等边三角形，P为平面ABC内一点，贝U
PA （PB PC）的最小是（）
A. 2
C. D. i
课后检测
1.在ABC 中，BAC =60 若AB = 2 , BC「3 , D 在线段AC
上运动，DB DA的最小值为____________________
2.已知AB是圆0的直径，AB长为2, C是圆0上异于
AB的一点，P是圆。

所在平面上任意一点，则
（PA+PB）‘PC的最小值为 _______________
3. 在ABC 中，AB =3 , AC =4 , . BAC = 60：, 若P 是ABC所在平面内一点，且AP=2，则PB PC的最大值为__________
2
4
-若点0和点F"0)分别是双曲线p-y^1(a 0)的中
心和左焦点，点P为双曲线右支上任意一点则
OP FP的取值范围是 __________ . ______
5•在Rt ABC，AC二BC=2，已知点P 是ABC 内一点，贝廿PC (PA PB)的最小
值是 ________ .
6.已知A 、B 是单位圆上的两点，O 为圆心，且
AOB =120o ,MN 是圆
O 的一条直径，点C 在圆内，且满 足0C
「0A (― )OB(0 — 1)，则CM CN 的取值范围是
7.正ABC 边长等于3，点P 在其外接圆上运动，
则AP PB 的取值范围是(
)
取值范围是 ____________
B . |-1,1
C 4,0
D . '-1,0
A •迟 3 B.
-2'2
C.
&在锐角ABC 中，已知B 二, 3
AB - AC = 2 , 则AB AC 的
A
丄纠
(2008折江理9)已知a,b是平面内2个互相垂直的单位向量，若向量c满足9. (a — c) (b — c) =0,则c的最大值是()
<2
A.1
B.2
C..2
D.——
2
平面向量基本定理系数的等和线
【适用题型】平面向量基本定理的表达式中，研 究两系数的和差及线性表达式的范围与最值。

【基本定理】
(一) 平面向量共线定理
已知若汕也=1，则A ,B ,C 三点共线； 反之亦然 (二) 等和线
平面内一组基底才A "O 及任一向量OP ， Ot=C A 門(0冷阻，若点P 在直线AB 上或者在平行 于AB 的直线上，贝
I 」•」=k (定值)，反之也亠' 我们把直线AB 以
及与直线AB 平行的直线 (2) 当等和线在0点和直线AB 之间时,
k (0,1)；
(3) 当直线AB 在点O 和等和线之间时, (4) 当等和线过O 点时，k=0 ；
(5)
若两等和线关于o 点对称，则定值k 互 为相
反数；
和线。

(1)
当等和线恰为直线AB 时，
【解题步骤及说明】
1、确定等值线为1的线；
2、平移（旋转或伸缩）该线，结合动点的可行域，
分析何处取得最大值和最小值；
3、从长度比或者点的位置两个角度，计算最大值和
最小值；
说明：平面向量共线定理的表达式中的三个向量的起点务必一致，若不一致，本着少数服从多数的
原则，优先平移固定的向量；若需要研究的两系数的
线性关系，则需要通过变换基底向量，使得需要研究
的代数式为基底的系数和。

【典型例题】
例1、给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的
C 夹角
为1200，如图所示，点C在以O为圆心的圆弧
变动。

若= xOA yOB，其中X, y R，则x y的最大值是
跟踪练习：已知O为ABC的外心，若cos ABC，
原=為+庞，则…的最大值为 ______________
例2、在平面直角坐标系中，O为坐标原点，两定点A,B 满足|OA|=|OB|=OA OB =2 ，贝y点集{PI O? = OA • mu R}所表示的区域面积为
例3、如图，在扇形OAB中，AOB=6O0, C为弧AB上不与A,B 重合的一个动点，
OC =xOA yOB，若u =x ‘ y ( ‘ 0)存在最大值，则，的取值范围为 ________________ .
跟踪练习：在正方形ABCD中，E为BC中点，P为以
AB为直径的半圆弧上任意一点，
设XE = yXAD yAP ，贝2x y的最小值为
【强化训练】
1、在正六边形ABCDEF中，P是三角形CDE内（包括边界）
的动点，设= xAB yAF，则x y的取值范围.
2、如图，在平行四边形ABCD中，M,N为CD边的三
等份点，S为AM,BN的交点，P为边AB上的一动
点，Q为SMN内一点则x+y的取值范围
L
D N*M （含边界），若P^ = xAM yBN
3、设D,E 分别是ABC 的边AB , BC 上的点，AD 冷AB , 的值为 ________________
4、梯形 ABCD 中，AD —AB , AD = DC = 1 , AB = 3 , P 为三 角
形BCD 内一点（包括边界），= xAB yAD ，则 x+y 的取值范围 _______________________ . 5、已知|OA F1,|OBF 3， OAOB"，点 C 在 AOB 内，且
AOC =30° ，设 OC 二 mOA nOB ，贝 m 的值为 n
6、在正方形ABCD 中，E 为AB 中点，P 为以A 为圆心，
AB 为半径的圆弧上的任意一点，设 A^^xDE yAP ，则x y 的最小值为
BE
誇 BC , 若 DE i AB 2AC （'1，'2为实数）,则■ -2
7、已知 |OM|=|ON|=1，OP=xOM yON （x,y 为实数）。

若 PMN
为以M 为直角顶点的直角三角形，贝U x-y 取 值的集合为 _________
8平面内有三个向量OA,OB,OC ,其中 1200 , OA,OC 的夹角为 300，且 |OA^OB|=1 , |OC 戶 2血，若 的 值 为
OA,OB 夹角为 OC = mOA nOB
10、已知O 为ABC 的夕卜心,若A(0,0), B(2,0), AC h, BAC
ii
、已知a,b
是两个互相垂直的单位向量，且9、如图，A,B,C 是圆0上的三点，CO 的延长线与线 段BA 的延长线交于圆O 外的点D ,若 AO Y AB 」AC
.46 .4C - 4a 4 C
则对任意的正实数t , |C ta y 的 最小值为。