2017-2018学年第一学期北京科技大学
微积分AI 期中考试试题答案
一、填空题（本题共40分，每小题4分）
1、14x ≤≤. 2.不能. 3. ()2,10,11,01
1,1
x x x f x x x
x ⎧>⎪=⎪⎪=⎨-<<⎪⎪=-⎪⎩. 4.0. 5.5021225250cos 2sin 2sin 22x x x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ 6. 9
4. 7.12
8.()250! 9.2e - 10.2π
二、单项选择题（本题共40分，每小题4分）
(1).D. (2) .B (3).C. (4) .A. (5) .D.
(6).B (7).C (8) .B (9) . A. (10) .D.
三、解答题（共14分，每小题7分）
1、1、设()1sin ,00,0
x x f x x x α⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，试确定α的取值范围，使得()f x 分别满足：（1）在0x =处右连续；（2）在0x =处右导数存在；（3）导函数()f x '在0x =处右连续.
解：（1）要使()f x 在0x =处右连续，则必须()()++001lim lim sin 00→→===x x f x x f x
α，所以0α> 2分 （2）要使()f x 在0x =处右导数存在，则必须()()++10001lim lim sin -→→-=x x f x f x x x
α存在，所以1α> 2分 （3）当0x ≠时，()1211sin cos f x x x x x
ααα--'=- -------- 1分 要使()f x '在0x =处右连续，则必须()f x 在0x =处右导数存在，由（2）得1α>，并且
()()++12+001100lim lim sin cos --→→⎛⎫''===- ⎪⎝⎭
x x f f x x x x x ααα，所以2α>. -------- 2分
2、利用泰勒展开式求极限()30e sin 1lim x x x x x x →-+
解：由于分母为3x ，因此，先求分子的3阶麦克劳林展开式，
()2233211sin 11()()26x e x x x x x o x x x o x x x ⎛⎫⎛⎫-+=+++⋅-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
331()3x o x =+ --------4分 所以，()3333001()sin 113lim lim 3x
x x x o x e x x x x x →→+-+== -------- 3分
四、证明题（6分）以下两题，任选一题
1、设函数()f x 在[]0,1上有界，且对10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣
⎦
，有()()22f x f x =. 证明：（1）()00f =；（2）()0lim 0x f x +→=. 证明：（1）将0x =带入()()22f x f x =得()()020f f =，所以()00f =. -------- 3分 （2）当10,
2n x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，有()()22n n f x f x =，可记()[],0,1f x M x ≤∈，于是， 当10,2n x ⎡
⎤∈⎢⎥⎣⎦时，有()()1222
n n n M f x f x =≤，所以()0lim 0x f x +→=. -------- 3分 2、设()f x 在[0,]a 上存在三阶导数，且()()00f f a ==，设()()3F x x f x =.证明：存在一点(0,)a ξ∈，使得()0F ξ'''=
证明：由所给条件知，()F x 在[0,]a 上满足罗尔定理条件，
所以，存在1(0,)a ξ∈，使得1()0F ξ'=， -------- 1分 由于()()()233F x x f x x f x ''=+，()00F '=.所以，()F x '在1[0,]ξ上满足罗尔定理条件，因此，存在21(0,)ξξ∈，使得2()0F ξ''=， -------- 2分 再由()()()()()()()()2232363366F x xf x x f x x f x x f x xf x x f x x f x '''''''''=+++=++， 得()00F ''=,所以，()F x ''在2[0,]ξ上满足罗尔定理条件，因此，存在2(0,)(0,)a ξξ∈⊂，使得()0F ξ'''=. -------- 3分。