高等几何习题集及参考解答第一章仿射几何的基本概念1、证明线段的中点是仿射不变性，角的平分线不是仿射不变性。

证明：设T 为仿射变换，根据平面仿射几何的基本定理，T 可使等腰△ABC （AB=AC ）与一般△A'B'C'相对应，设点D 为线段BC 的中点，则AD ⊥BC ，且β=γ，T （D ）=D'（图1）。

∵T 保留简比不变，即（BCD ）=（B'C'D'）=-1，∴D'是B'C'的中点。

因此线段中点是仿射不变性。

∵在等腰△ABC 中，β=γ。

设T （β）=β'，T （γ）=γ'，但一般△A'B'C'中，过A'的中线A'D'并不平分∠A'，即B'与γ'一般不等。

∴角平分线不是仿射不变性。

在等腰△ABC 中，设D 是BC 的中点，则AD BC ，由于T(△ABC)=△A'B'C'（一般三角形），D'仍为B'C'的中点。

由于在一般三角形中，中线A'D'并不垂直底边B'C'。

得下题2、两条直线垂直是不是仿射不变性？答:两直线垂直不是仿射不变性。

3、证明三角形的中线和重心是仿射不变性。

证明：设仿射变换T 将△ABC 变为△A'B'C'，D 、E 、F 分别是BC 、CA ，AB 边的中点。

由于仿射变换保留简比不变，所以D'=T(D)，E'=T(E)，F'=T(F)分别是B'C',C'A',A'B'的中点，因此A'D'，B'E'，C'F'是△A'B'C'的三条中线（图2）。

设G 是△ABC 的重心，且G'=T(G)∵G ∈AD ，由结合性得G '∈A'D'；又∵（AGD ）=（A'G'D'）即31AD A D GD G D ′′==′′3311BE B E CF C F GE G E GF G F ′′′′====′′′′同理可得：，∴G'是△A'B'C'的重心。

4、证明梯形在仿射对应下仍为梯形。

证明：设在仿射对应下梯形ABCD （AB⁄⁄CD ）与四边形A'B'C'D'相对应，由于仿射对应保持平行性不变，因此A'B'⁄⁄C'D'，所以A'B'C'D'为梯形。

5、证明两个全等矩形经过仿射变换为两个等积平行四边形。

证明：设T 为仿射变换，A 1B 1C 1D 1与A 2B 2C 2D 2为两个全等矩形，其面积分别以S 1=S 2。

)1(图2图由于T 保留平行性，所以：T （A 1B 1C 1D 1）=平行四边形A'1B'1C'1D'1,面积记为：S'1T （A 2B 2C 2D 2）=平行四边形A'2B'2C'2D'2,面积记为：S'2，且S'1=K S 1，S'2=KS 2，1112221S KS S S S KS ′′′⇒==⇒=′∴A'1B'1C'1D'1与A'2B'2C'2D'2是等积的平行四边形。

6、经过A （-3，2）和B （6，1）两点的直线被直线X+3y-6=0截于P 点，求简比（ABP ）解：设P 点的坐标为（x 0，y o ）()AP AP ABP BP PB λ==−=−∵（分割比），00362,11x y λλλλ−++==++而:且P 在直线x+3y-6=0上，362()3()6011λλλλ−++∴+−=++解得λ=1，即P 是AB 中点，且（ABP ）=－1。

7、证明直线Ax+By+C=0将两点P 1（x 1，y 1）和P 2（x 2，y 2）的联线段分成的比是1122Ax By CAx By C ++−++证明设分点为P （x 0，y 0），则分割比λ=AP PB，121200,(1)11x x y y x y λλλλλ++==≠−++∵P （x 0，y 0）在直线Ax+By+C=0上，1212()()011x x y y A B C λλλλ++∴++=++Ax 1+By 1+C+λ(Ax 2+By 2+C)=01122Ax By CAx By C λ++⇒=−++8、证明一直线上二线段之比是仿射不变量。

证明：若直线a 上两线段AB 和CD 经仿射变换T 后与直线a'上的两段A'B'和C'D'对应图（3）,AB AB BC A B B C A B CD BC CD B C C D C D ′′′′′′∴=⋅=⋅=′′′′′′得证。

9、证明图形的对称中心是仿射不变性，图形的对称轴和对称平面是不是仿射不变性？证明：设仿射变换T 将中心对称图形F 变为图形F'，点O 是F 的对称中心，A ，B 为图形F 上关于点O 对称的任意一对对称点。

设T （O ）=O'，T （A ）=A'T （B ）=B'。

∵T （F ）=F'，由结合性，点A'，B'在图形F'上；)3(图由简比不变性，（ABO ）=(A'B'O')。

所以F'是中心对称图形，从而图形的对称中心是仿射不变性。

如果点A 、B 关于直线l （平面π）对称，则线段AB ⊥1（AB ⊥π）。

但仿射变换不保留角的度量，所以当T （A ）=A'，T （B ）=B'，T （1）=1'（T （π）=π'）时，线段A'B'不一定垂直线1'（平面π'）。

10、在仿射坐标系下，直线方程是一次的。

证明：设在笛氏坐标系下直线方程为：Ax+By+C=0（1）（x,y ）为笛氏坐标，（x'，y'）为仿射坐标。

笛氏到仿射的变换式为：12120120120(2)x x y y x y αααααβββββ′=++⎧≠⎨′=++⎩设其逆变换为：12120120120(3)a a x a x a y a yb x b y b b b ′′=++⎧≠⎨′′=++⎩将（3）式代入（1），得A （a 1x'+a 2y'+a 0）+B (b 1x'+b 2y'+b 0)+C=0,即：(A a 1+Bb 1)x'+(A a 2+Bb 2)y '+A a 0+Bb 0+C=0，记为：0Ax ByC ′′++=是x',y'的一次式。

其中A =Aa 1+Bb 1,B =Aa 2+Bb 2，C =Aa 0+Bb 0+C 0且,A B 不全为0，若不然，Aa 1+Bb 1=0，Aa 2+Bb 2=01212121200a a a a b b b b ⇒=≠与矛盾。

11、利用仿射变换式，试求在仿射变换下，三角形的面积是怎样改变的？（从而明确1.2定理5所指常数的意义）。

解：ΔA 1A 2A 3和ΔA'1A'2A'3的面积分别以S,S'表示，11223311121x y S x y x y ′′′′′=′′=11112113211221231121221321222223113123132132232311121a x a y a a x a y a a x a y a a x a y a a x a y a a x a y a ++++++++++++11112122122233132310110211x y a a x y a a x y a a =12D S =()S DS ′⇒=常数这结果与§1.2系2一致，三角形（从而多边形或曲线形）的面积经仿射变换后乘以一个常数k ，此地进一步明确了这常数就是仿射变换式的行列式的绝对值，仿射变换式不同，这常数也不同。

12、在等腰梯形中，两底中心，两对角线交点，两腰（所在直线）交点，这四点显然共线（在对称轴上），试用仿射变换于此图形，得出什么推广了的命题？解：设E ，F ，Q ，P 分别是等腰梯形ABCD 下底，上底的中点，对角线交点，要腰所在直线交点，T 为仿射变换，则梯形ABCD T→梯形A'B'C'D'，E T→E'为B'C'中点，F T→F'为A'D'中点。

∵（BDQ ）=（B'D'Q'）,(ACQ)=（A'C'Q'）,（BAP ）=（B'A'P'）,(CDP)=(C'D'P')且E ，Q ，F ，P 共线，∴由结合性得E'，Q'，F'，P'四点共线，但直线P'E'已不是对称轴（图4）。

由此得出，任意梯形上、下底中点，对角线交点，两腰所在直线交点凡四点共线。

13、求仿射变换{3442x x y y x y′=−+′=−的自对应点和自对应直线；解：求自对应点：设x=x',y =y'，因此得{240430x y x y −+=−=解得自对应点的坐标为x=-6，y=-8。

求自对应直线，设任意直线l （u,v,w ）在所给的变换下的像1'的方程为：u'x'+v'y'+w'=0u'(3x －y+4)+v'(4x －2y)+w'=0，或（3u'+4v'）x －(u'+2v')y+4u'+w'=0。

若1为自对应直线，则u=λu'，v=λv'，w=λw'，因此()()()34034220(1)4410u v u v u u v v u v u w w u w λλλλλλ′′−+=⎧′′′+=⎧⎪⎪′′′′′−−=⇒−−+=⎨⎨⎪⎪′′′+=′′+−=⎩⎩因为u'，v'，w'不全为零，所以方程组(1)有非零解。

故3401200401λλλ−−−−=−解得λ1=2，λ2=－1，λ3=1，将λ1=2代入方程组(1)，得u'=4,v'=－1，w'=16。