（ 2）解：原式＝
x＋ 1 x－ 1 x x＋ 1
x － 2x＋ 1 x－ 1 ÷ ＝ 2 x x
2
x x－ 1
2
＝
1 . x－ 1 2 解方程得 x － 2x－ 2＝ 0 得，
x 1＝ 1＋ 3>0， x2＝ 1－ 3<0. 当 x＝ 1＋ 3时， 1 1 3 原式＝ ＝ ＝ . 1＋ 3－ 1 3 3
23、 （本题 12 分）如图，△ ABC内接于⊙ O ，且 AB=AC ，点 D 在⊙ O上， AD ⊥ AB 于点 A， AD 与 BC交于点 E， F 在 DA的延长线上，且 AF=AE ． （ 1）试判断 BF 与⊙ O的位置关系，并说明理由； (2 ）若⊙ O的半径为 2．∠ F=60，求弓形 AB 的面积
二．填空题 13. 答案 解析 14. 答案 15. 答案 解析 16. 答案 解析 ≠3 因为分式有意义，所以 2a( a＋ 2 9.63 3 10 105° 如图，∵ (60 °＋∠ CAB ) ＋ (45 °＋∠ ABC ) ＝ 180°，∴∠
－5
3－ x ≠ 0，即 x ≠ 3. 2)
－5
2)( a－ 2
17．若一次函数 y＝ (2 m － 1) x＋ 3－ 2m的图象经过 一、二、四象 限，则 m的取值范围是 ________． 18． 将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放， 请仔细观察， 第 n 个图形有 ________个小圆 . ( 用含 n 的代数式表示 )
三、解答题（本大题 7 个小题，共 90 分） 19． （本题共 2 个小题，每题 8 分，共 16 分） 0 －1 （ 1） . 计算： ( 2011－ 1) ＋ 18sin45 °－ 2
2018-2019 年最新长沙市一中自主招生考试 数学模拟精品试卷 （第一套）
考试时间： 90 分钟总分： 150 分
一、选择题（本题有
12 小题，每小题 3 分，共 36 分）
下面每小题给出的四个选项中， 只有一个是正确的， 请你把正确 选项前的字母填涂在答题卷中相应的格子内． 方法来选取正确答案 ． 1．下列事件中，必然事件是 ( ) A．掷一枚硬币，正面朝上 B． a 是实数， | a| ≥ 0 C．某运动员跳高的最好成绩是 20.1 米 D．从车间刚生产的产品中任意抽取一个，是次品 2、如图是奥迪汽车的标志，则标志图中所包含的图形变换没有的是 （ ） A．平移变换 B ．轴对称变换 C ．旋转变换 D ．相似变换 注意可以用多种不同的
的解集为－
(1 ，－ 1) ，
最高点 (3,3) ，函数有最小值－ 1，最大值 3.
y ＝－ x ＋ 4x ＝－ ( x － 2) ＋ 4，抛物线开口向下， 函数有最
解析
由图知：抛物线与
x 轴有两个不同的交点，则△＝
b－
2
4ac>0，故①正确．抛物线开口向上，得 a>0；又对称轴为直线 x ＝－ b ＝ 1， b＝－ 2a<0. 抛物线交 y 轴于负半轴，得 2a
（ 2） ．描述证明 海宝在研究数学问题时发现了一个有趣的现象：
将上图横线处补充完整，并加以证明．
21． （本题 12 分）某初中学校欲向高一级学校推荐一名学生，根 据规定的推荐程序： 首先由本年级 200 名学生民主投票， 每人只能推 荐一人 ( 不设弃权票 ) ，选出了票数最多的甲、乙、丙三人．票数结果 统计如图一：
其次，对三名候选人进行了笔试和面试两项测试． 表所示：
各项成绩如下
测试项目 测试 测试 测试成 成绩 成绩 / 绩/ 分 /分 分 甲 乙 丙 笔试 92 90 95 面试 85 95 80 图二是某同学根据上表绘制的 一个不完全的条形图． 请你根据以上信息解答下列问题： (1) 补全图一和图二； (2) 请计算每名候选人的得票数； (3) 若每名候选人得一票记 1 分，投票、笔试、面试三项得分按 照 2∶ 5∶ 3 的比确定， 计算三名候选人的平均成绩， 成绩高的将被录 取，应该录取谁？
B O E D C A F
k 2 24． （本题 12 分）已知双曲线 y ＝ 与抛物线 y＝ ax ＋ bx＋ c 交于 x A(2,3) 、 B( m,2) 、 c( － 3， n) 三点． (1) 求双曲线与抛物线的解析式； (2) 在平面直角坐标系中描出点 A、点 B 、点 C ，并求出△ ABC 的 面积．
（ 2）如图，在直角坐标系中， O为坐标原点 . 已知反比例函数 y
k ＝ ( k >0) 的图象经过点 A(2 ，m ) ，过点 A 作 AB ⊥ x 轴于点 B，且△ AOB x 1 的面积为 . 2
(1) 求 k 和 m的值；
k (2) 点 C ( x， y ) 在反比例函数 y＝ 的图象上，求当 1≤ x≤ 3 时函 x 数值 y 的取值范围； k (3) 过原点 O的直线 l 与反比例函数 y ＝ 的图象交于 P、 Q两点， x 试根据图象直接写出线段 PQ 长度的最小值 .
A． 2.5 B ． 2 2C. 3 D. 5 10．长沙市一中广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面 为 x 轴，出水点为原点， 建立平面直角坐标系， 水在空中划出的曲线 2 是抛物线 y＝－ x ＋ 4x ( 单位：米 ) 的一部分，则水喷出的最 ． 2 米 D ． 1 米 11、两个大小不同的球在水平面上靠在一起， 则该几何体的左视图是（ ）
3．如果□３ 3ab＝ 3a b，则□内应填的代数式 () A． ab B ． 3ab C ． a D ． 3a 4．一元二次方程 x ( x－ 2) ＝ 0 根的情况是 ( ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 5、割圆术是我国古代数学家刘徽创造的一种求周长和 面积的方法：随着圆内接正多边形边数的增加，它的周
2 2 2 2
B 据绝对值的意义，一个数的绝对值是一个非负数， | a| ≥
C □＝ 3a b÷ 3ab＝ a. A
2
x ( x － 2) ＝ 0， x ＝ 0 或 x－ 2＝ 0， x1＝ 0， x2＝ 2，方程有两
个不相等的实数根．
B 观察数轴，可知－ 1<x <3，只有
x＋ 1>0，
3－ x>0
2
)
6 小题，每小题 4 分，共 24 分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案 1 13．当 x______时，分式 有意义． 3－ x 3 14．在实数范围内分解因式： 2a － 16a＝ ________.
15．在日本核电站事故期间， 我国某监测点监测到极微量的人工 放射性核素碘－ 131 ，其浓度为 0.0000963 贝克 / 立方米．数据 “ 0.0000963 ”用科学记数法可表示为 ________． 16．如图， C 岛在 A 岛的北偏东 60°方向，在 B 岛的北偏西 45° 方向，则从 C 岛看 A 、 B 两岛的视角∠ ACB ＝ ________.
7．如图，数轴上表示的是某不等式组的解集，则这个不等式组可能 是( )
A.
x ＋ 1>0， x － 3>0 x ＋ 1<0， x － 3>0
B.
x＋ 1>0，
3－ x>0
C.
D.
x＋ 1<0，
3－ x >0
8．已知二次函数的图象 (0 ≤ x≤ 3) 如图所示， 关于该函数在所给自变 量取值范围内，下列说法正确的是 ( )
25． （本题共 2 个小题，每题 7 分，共 14 分） （ 1）观察下列算式： 2 ① 1 3 3 － 2 ＝ 3－ 4＝－ 1 2 ② 2 3 4 － 3 ＝ 8－ 9＝－ 1 2 ③ 3 3 5 － 4 ＝ 15－ 16＝－ 1 ④ __________________________ …… (1) 请你按以上规律写出第 4 个算式； (2) 把这个规律用含字母的式子表示出来； (3) 你认为 (2) 中所写出的式子一定成立吗？并说明理由．
0.0000963 ＝ 9.63 3 10 .
CAB ＋∠ ABC ＝ 75°，在△ ABC 中，得∠ C ＝ 105° . 1 17. 答案 m < 2
解析 1 之，得 m < . 2 18. 答案 解析 因为直线经过第一、二、四象限，所以 2m － 1<0， 3－ 2m >0， 解
n( n＋ 1) ＋ 4 或 n ＋ n＋ 4
2018-2019 年最新长沙市一中自主招生考试 数学模拟精品试卷答案 （第一套）
1. 答案 解析 0. 2.C 3. 答案 解析 4. 答案 解析 5.C 6.A 7. 答案 解析 1<x <3. 8. 答案 解析 9. 答案 解析 解析 大值 4. 11.D 12. 答案 D 10. 答案 C 当 0≤ x ≤ 3 时，观察图象，可得图象上最低点 D 在 Rt △ OAB 中，∠ OAB ＝ 90°，所以 OB ＝ 1 ＋2 ＝ 5 A
22． （本题 12 分）如图，已知直线 AB与 x 轴交于点 C，与双曲 k 20 线 y ＝ 交于 A(3 ， ) 、 B ( － 5， a) 两点． AD ⊥ x 轴于点 D ， BE ∥x 轴 x 3 且与 y 轴交于点 E.
(1) 求点 B 的坐标及直线 AB的解析式； (2) 判断四边形 CBED 的形状，并说明理由．
A．有最小值 0，有最大值 3 B．有最小值－ 1，有最大值 0 C．有最小值－ 1，有最大值 3 D．有最小值－ 1，无最大值 9．如图，矩形 OABC 的边 OA长为 2 ，边 AB 长为 1， OA在数轴上， 以原点 O 为圆心，对角线 OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则 这个点表示的实数是 ( )
c <0，所以 abc>0，②正确．根据图象，可知当
x ＝－ 2 时， y>0，即