•
•
把初始条件 x（0）x0 x（0） x0 代入式(3-12)，便可求出常数A和B，得到系
统在简谐激励力作用下的响应。单自由度有阻尼系统在简谐力作用下的瞬态响
应、稳态响应和完整解如图3-2所示。
(1)系统的运动是频率为 d和频率为的简谐运动的组合；
(2)频率为 d 的自由振动由于阻尼 的存在而逐渐衰减至零，它只在有限的时间
x x 1 x 2 e - （ n t A co d t B s sid t） n （ k F - 0 m s（ 2 i ） 2 n t （ -c ） ） 2 (3-12)
式(3-12)右端的第一部分代表衰减的自由振动，因随时间增加不断减小，最终趋于 零而称为瞬态响应。第二部分代表与外力激振频率相同的简谐振动，即阻尼振 动系统在简谐力作用下的稳态响应。
内存在，故叫做瞬态振动；
(3)频率为 的稳态响应不因阻尼而衰减，其振幅和相角与初始条件无关。
例 3-1 设一机器可简化为一单自由度系统，其参数如下：
m=10kg，c20N•sm ，40k0=0N m x（0），
•
=x（00.）01m， =0
根据以下条件求系统的响应：
（1）作用在系统的外激励F（ 为t） F0cots =1F0（0t）
x 1e-（ n t A codts Bsdti） n
（3-2）
式中， c 2 mk 为阻尼比n， k m
为固有d 频1率-，2n
为有阻尼自由振动频率，A和B是由初始条件确定的常数。
非齐次方程的特解为x2Xsi（ nt-）
（3-3）
为了式求出振幅X和F 0e 相it位角F （ 0c，o 将t s激is 励 i力t） n和响应均表示为复数形
X e i（ t- ） X （ c（ ots -） is（ itn -））
（3-4）
m• x•cx •kxF0eit
（3-5）
m•x （•3c-x 6• ）kxF0eit
将复数形式的响应代入式（3-6）可得
（ k-m2ic） X e- iF 0
Xe-i （k-mF20） ic
由式（3-8）右端的复数表达式，可得振幅和相角为
X
F0
（k-m2） 2 （c） 2
arctanc k-m2
于是式(3-1)的非齐次方程的特解可以表示为
x2
F0si（ nt-） （ k-m 2） 2 （ c） 2
从而得到式(3-1)的完整解为
x x 1 x 2 e - （ n t A co d t B s sid t） n （ k F - 0 m s（ 2 i ） 2 n t （ -c ） ） 2
在本章讨论的系统是时不变、集中参数的线性系统。对于线
性系统，叠加原理成立，即各激励力共同作用所引起的系统稳
ห้องสมุดไป่ตู้
态H向应为各激励力单独作用时引起的系统各稳态响应之和，
这一点是分析任意周期激励的基础。由于简谐激励比较简单，
而其得到的结F论F具0s有i（ n重t要的） 工程应用价值，并F 0且任意的周期形 式的激励都可以通过谐波分析分解为若干简谐激励，因此本章
第三章机械振动
在自由振动中，作用于振动物体上的力只有恢复力与阻尼 力，二者都随物体的运动而改变，振动频率与系统的固有频率 相同。研究自由振动的目的是获得系统的固有特性。实际工程 问题中，系统都是在某些激励作用下发生相应的响应，对激励 的响应是振动分析的另一个重要课题。系统在持续的随时间变 化的激励力或激励位移、激励速度下发生的振动称为强迫振动 。作用力和位移激励本质上可能是简谐形式、非简谐但为周期 性形式、非周期或随机形式。其中简谐激励下系统的响应称为 简谐响应。非周期激励可能经历或长或短的一段时间。系统对 突加非周期激励的响应称为瞬态响应。
（k-m2） 2 （c） 2
•
x0
-
nAdB
F0sin （k-m2） 2 （c） 2
将 x（0）=0.01m，x（• 0）=0 代入上式可得
相同，与激励同时存在。由单自由度简谐激励下的响应获得了
频率响应函数、机械阻抗等基本概念。将单自由度简谐振动的
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7
第二章 单自由度系统的自由振动
简谐激励作用下的响应 3.8 基础激励与隔振
频率响应函数
3.9 测振仪原理
机械阻抗的基本概念 3.10 任意周期激励下的稳态
结构阻尼和库仑阻尼
响应
等效阻尼 旋转失衡
3.11 任意激励作用下的瞬态 响应
转子旋曲与临界转速 3.12 冲击响应
3.1 简谐激励作用下的响应
考虑如左图所示的单自由度系统受简谐激励的力
学模型。根据牛顿运动定律，质量在受到弹簧
恢复力-kx，粘性阻-尼c x•力 下的运动微分方程为
和F0外sin力t
1 -r2
1 -02.5
X0
F0 100 0.0（ 2m 5） k 4000
X
X 0
0 .025 0 .0（ 3 m ） 33
（ 1 -r2 ） 2 （ 2r） 2 （ 1 -02 .） 2 0 （ 2 5 0 .5 0 .0 ） 2 5
根据式（3-12）和初始条件可得
x（0）A
F0cos
作用
•• •
mxcxkxF0si nt
（3-1）
式中，m为质量；c为阻尼系数；k为刚度系数。上 式是一个非齐次二阶微分方程，在一般情况下
，还要考虑初始条件
•
•
x（0）x0 x（0） x0
的作用
为研究系统的运动规律，需确定上式的解。解由 齐次方程的通解和非齐次方程的特解组成。
对于小阻尼系统，齐次方程的通解为
先讨论单自由度系统在简谐激励
的响应（其
中 为激励力的幅值， 为激励频率，由外界条件决定，与
物体本身的振动无关），通常取 =0 。简谐激励下的强迫振
动包含稳态响应和瞬态响应，其中瞬态响应与系统固有频率相
同的振动，由于阻尼的存在而逐渐衰减至零，它只在有限的时
间内存在，通常可以不加以考虑；稳态响应的频率与激励频率
F
0，其中
=
10ra0dNs ，
（2） =0 时的自由振动。 解：（1）n 根据m k已知4参10数00 可02得（ 0rads）
c 20 0.05
2mk2400 10 0
d1 - 2 n1 -0 .02 52 0 1.9 97
r 100.5 n 20
ar2 crt ar n2 c 0 .t0a 0 5 n .3 .5 8