高三数学连堂练习
第二轮专题(一)(函数、不等式、导数)训练
一、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上
1.设()y f x =
的图象如右图所示，
则反函数1()f x -= ．
2.若函数2()f x x bx c =++对任意实数t ，都有(2)(2)f t f t +=-, 则(0),(2),(3)f f f 从小到大排列是______________.
3.已知函数ax x x f +-=3)(在区间(1,1)-上是增函数, 则实数a 的取值范围是___________.
4.]1,0[,2)34()(∈-+-=x a b x a x f ，若0()2f x ≤≤恒成立，
则a 的取值范围为_____．
二、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

5. (本小题满分12分)求函数x x x f ln )(2-=的单调区间.
6. (本小题满分12分)已知函数()3x
f x k =+(k 为常数),(2,2)A k -是函数1
()y f x -=图象上的
点,
(Ⅰ)求实数k 的值; (Ⅱ)函数1
()y f
x -=的解析式；(Ⅲ)将1
()y f x -=的图象按向量(3,0)a =
平移，得到函数y =g(x )的图象,若12(3)()f x g x --≥1恒成立，试求实数m 的取值范围.
7. (本小题满分14分)已知：定义在R 上的函数)(x f 为奇函数, 且在),0[+∞上是增函数. (Ⅰ)求证：)(x f 在)0,(-∞上也是增函数；
(Ⅱ)求对任意R ∈θ,使不等式0)sin 2()32(cos >-+-θθm f f 恒成立的实数m 的取值范围.
8. (本小题满分14分)如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花园AMPN ，要求B 在AM 上，D 在AN 上，且对角线MN 过C 点，|AB |＝3米，|AD |＝2米， (I )要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，则AN 的长应在什么范围内？
(II ) 若AN 的长度不少于6米，则当AM 、AN 的长度是多少时，矩形AMPN 的面积最小？并求出最小面积．
9. (本小题满分14分)
函数432()41f x x x ax =-++在[)0,1上单调递增, 在[)1,2上单调递减. ⑴求a 值.
⑵实数k 取何值时, 函数()1g x kx =+与()f x 的图象恰有三个公共点?
10. (本小题满分14分) 设函数()f x 是定义在[)
(]1,00,1-上的奇函数，当[)1,0x ∈-时，f (x )=2ax +21
x (a ∈R ).
(1)求函数f (x )的解析式；
(2)若a ＞－1，试判断f (x )在(0,1］上的单调性；
(3)是否存在a ，使得当x ∈(0,1］时，f (x )有最大值－6.
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第二轮专题(一)(函数、不等式、导数)训练答案
1.[]1()2(1,2)f x x x -=-+∈
2.(2)(3)(0)f f f <<
3.3a ≥
4.15,44
⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
5.2121()2x f x x x x
-'=-=(2分) , 2
21
()00x f x x -'>>当时,即.
(0,)+∞又定义域为)∴+∞解集为, ())f x ∴+∞的单调增区间为(6分) 当)
2
2,0()()2
2,0(0)(的单调减区间为同理可知解集为x f x f ∴<'(10分) 综上所述,函数)(x f 的单调增区间(+∞,22)单调减区间(2
2,0)(12分)
(注：没有考虑定义域只得6分) 6.解：(Ⅰ)∵(2,2)A k -是函数1
()y f x -=图象上的点,∴(2,2)B k -是函数y =f (x )上的点.(2
分)
∴-2k =32+k , ∴k =－3(3分), (Ⅱ)∵k =－3, ∴y =f (x )=3x －3 ,∴1
()y f x -==log 3(x +3)(x >－
3).(6分)
(Ⅲ)将1()y f x -=的图象按向量(3,0)a =平移，得函数y =g(x )=log 3x (x >0),(8分)
要使12(3)()f x g x --≥1恒成立，即使332log (log 1x x -≥恒成立.
所以有3m x x +
+在x >0时恒成立(10分)，只须min (3m
x x ++≥,
又m x x +≥(当且仅当x =m x x
m =即时取等号)∴（x +m x m
2+）m in =4m ,
只须4m ≥3，即m ≥16
9
.(11分)
∴实数m 的取值范围为9,16⎡⎫+∞⎪
⎢⎣⎭
.(12分) 7.(Ⅰ)证明：设)0,(,21-∞∈x x ，且21x x <，则),0(,21+∞∈--x x ，且21x x ->-.(2分) ∵)(x f 在),0[+∞上是增函数，∴)()(21x f x f ->- 又)(x f 为奇函数，∴12()()f x f x ->- (4分),∴)()(21x f x f <,∴)(x f 在)0,(-∞上也是增函数。

(6分)
(Ⅱ)∵函数)(x f 在)0,(-∞和),0[+∞上是增函数，且)(x f 在R 上是奇函数. ∴)(x f 在),(+∞-∞上是增函数.(7分)∵0)sin 2()32(cos >-+-θθm f f ， ∴)sin 2()32(cos θθ-->-m f f ,∴)2(sin )32(cos m f f ->-θθ，
∴m 2sin 32cos ->-θθ， ∴2sin sin 222++>θθm ，(10分)∴16
1541sin 2
+⎪⎭
⎫ ⎝
⎛+>θm .
∵当1sin =θ
时，161541sin 2
+
⎪⎭⎫ ⎝
⎛+θ的最大值为212，(12分)∴当212>m 时，不等式恒成立.(14分)
8.解：设AN 的长为x 米(x >2)(1分)
∵|DN||DC|
|AN||AM|
=
，∴|AM |＝32x x -,(2分)∴S AMPN ＝|AN |•|AM |＝232x x - (3分) (I )由S AMPN > 32 得 2
32
x x - > 32 (5分)，
∵x >2，∴2
332640x x -+>，即(3x －8)(x －8)> 0
∴8283x x <<
> 或 即AN 长的取值范围是8
(2)(8)3
∞，，+.(7分) (II ) 令y ＝2
32x x -，则y ′＝222
6(2)334)(2)(2)
x x x x x x x ---=--（(9分) ∴当x > 4，y ′> 0，即函数y ＝2
32x x -在(4，＋∞)上单调递增，(10分)
∴函数y ＝2
32
x x -在[)6,+∞上也单调递增.(11分)
∴当x ＝6时, y ＝2
32
x x -取得最小值即S AMPN 取得最小值27(平方米)(12分)
此时|AN |＝6米，|AM |＝4.5米 .(14分)
9.解:⑴32()4122f x x x ax '=-+(2分)
又
∵
[)[)4
3
()f x =
-
在0,1上单调递增,在1,2单调递减.(
f '∴.(7
分)
⑵432141kx x x ax +=-++有三个实数根,即32440x x x k -+-=①有两个非零的实根,(9分) 记3
2()44g x x
x x k =-+-,则方程①有一个根是32()44g x x x x k =-+-的极值点.(11分)
12232()0,2()327
g x x x k k '==
==令解得代入①得或=0不合(14分) 10.(1)解：设(]0,1x ∈,则[)1,0x -∈-,∴f (－x )=－2ax +2
1
x ,(1分) ∵f (x )是奇函数.∴f (x )=()f x --(2分)
∴当x ∈(0,1］时, f (x )=2ax －21x ，(3分)∴(][)2
2
120,1()121,0ax x x f x ax x x ⎧-∈⎪⎪=⎨⎪+∈-⎪⎩
(4分)
(2)当(]0,1x ∈时,∵33
21()22()f x a a x x
'=+=+(6分),∵a >－1, x ∈(0，1］，31
x >1，∴a +
3
1
x >0. 即()0f x '> (8分).∴f (x )在(]0,1上是单调递增函数. (9分) (3)解:当a >－1时,f (x )在(0,1］上单调递增.f (x )max =f (1)=－6,∴ a =－2
5
(不合题意,舍之),(11分)
当a ≤－1时,()f x '=0，得x =31a -
(12分).如下表：f max (x )=f (31
a
-)=－6,解出a =－22. ∴x =
2
2
∈(0,1)
(13分)
∴存在a =－22，使f (x )在(0，1］上有最大值－6.(14分)。