圆锥曲线综合测试题
班别 座号 成绩
一、选择题（每小题5分，共60分。
）
1.双曲线1322
2=-y x 的离心率为 （ ）
A ．13
2 B ．13
3 C ．102 D ．103
2.在y ＝2x 2上有一点P ，它到A (1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是( ) A ．(－2,1) B ．(1,2) C ．(2,1) D ．(－1,2)
3. 已知1F 、2F 为双曲线C:14x 2
2=-y 的左、右焦点,点P 在曲线C 上,∠21PF F =060,
则P 到x 轴的距离为（ ）A ．55 B ．155 C ．2155 D ．15
20
4. 已知动点(,)M x y 的坐标满足方程2222
558()()x y x y ++--+=，则M 的轨迹
方程是（ ）
A.221169x y +=
B.221169x y -=
C. 2210169()x y x -=>
D. 22
10169()y x y -=> 5.设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为1
e 2=，右焦点为(0)F c ，，方程20ax bx c +-=的两个实根分别为1x 和2x ，则点12()P x x ，（ ）
Ａ．必在圆
222x y +=
Ｂ．必在圆
22
2x y +=上 Ｃ．必在圆
22
2x y +=外 Ｄ．以上三种情形都有可能
6. 设双曲线)0,0(122
2
2>>=-b a b y a x 的虚轴长为2，焦距为32，则双曲线的渐近线方
程为（ ）A
x y 2±= B x y 2±= C
x y 22±
= D x y 21
±=
7.已知等边△ABC 中，D 、E 分别是CA 、CB 的中点，以A 、B 为焦点且过D 、E 的椭圆和双曲线的离心率分别为1e 、2e ，则下列关于1e 、2e 的关系式不正确的是( )
A ．221=+e e
B ．212=-e e
C ．221=e e
D 212
>e e .
8已知F 为抛物线py x 22
=)0(>p 的焦点，M 为其上一点，且p MF 2||=，则直线MF
的斜率为( )．
A ．－33
B ．±3
3 C ．－ 3 D ．± 3 9. 已知两定点
()()
2,0,1,0A B -，如果动点P 满足
2PA PB
=，则点P 的轨迹所包围的
图形的面积等于（ ）A 9π B 8π C 4π D π
10.设(P x 、)y 是曲线
2
2
1
259x y +
=上的点，12(4,0),(4,0)F F -，则必有 （ ）
A ．
12||||10
PF PF +≤ B
12||||10PF PF +< C
12||||10
PF PF +≥ D ．
12||||10
PF PF +>
11.已知AB 为半圆的直径，P 为半圆上一点，以A 、B 为焦点且过点P 做椭圆，当点P 在半
圆上移动时，椭圆的离心率有( )
A ．最大值12
B ．最小值12
C ．最大值22
D ．最小值2
2
12.过抛物线
24y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点,点O 是原点,若3AF =;则AOB ∆的面积为（ ）
A ．2
B ．2
C ．32
D ．22
二、填空题（每题5分，共20分）
13. 椭圆的焦点是F 1（－3，0）F 2（3，0），P 为椭圆上一点，且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，则椭圆的方程为_
14. 已知:35<<p m ，:q 方程22
1
25x y m m +=--表示双曲线，则p 是q 的 条
件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）
15.过双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点作圆x 2＋y 2＝a 2的两条切线，切点分别
为A ，B .若∠AOB ＝120°(O 是坐标原点)，则双曲线C 的离心率为 ．
16. 抛物线
24y x =的焦点为F ，准线为l ，经过F 3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK l ⊥，垂足为K ，则AKF △的面积是
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 17.如图，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2),
),(11y x A , ),(22y x B 均在抛物线上.
（1）求该抛物线方程；
（2） 若AB 的中点坐标为)1,1(-，求直线AB 方程
18. 已知双曲线22
22100(,)x y a b a b -=>>，1A 、2A 是双曲线的左右顶点，00(,)M x y 是
双曲线上除两顶点外的一点，直线1
MA 与直线2MA 的斜率之积是144
25，
（1） 求双曲线的离心率；
（2） 若该双曲线的焦点到渐近线的距离是12，求双曲线的方程.
20. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于不同的A 、B 两点． （1）如果直线l 过抛物线的焦点，求OA →·OB →
的值；
（2）如果OA →·OB →
＝－4，证明直线l 必过一定点，并求出该定点．
21. 如图，直线y ＝kx ＋b 与椭圆2
21
4x y +=交于A 、B 两点，记
△AOB 的面积为S ．
（1）求在k ＝0，0＜b ＜1的条件下，S 的最大值； （2）当｜AB ｜＝2，S ＝1时，求直线AB 的方程．
22. 已知ABC △的顶点A B ，在椭圆
2234x y +=上，C 在直线2l y x =+：上，且AB l ∥．
（1）当AB 边通过坐标原点O 时，求AB 的长及ABC △的面积； （2）当90ABC ∠=，且斜边AC 的长最大时，求AB 所在直线的方程．
圆锥曲线综合测试题参考答案
一、1-12: CBBCA CABCA DC
13、 22
1
3627x y += 14、必要不充分条件 15、2 16、
19. 解：（1）设椭圆长半轴长及分别为a,c,由已知得
{1,7.a c a c -=+= 解得a=4,c=3, 所以椭圆C 的方程为22
1.
167x y +=
（2Ⅱ）设M （x,y ）,P(x,
1
y ),其中
[]4,4.
x ∈-由已知得
222
122.x y e x y +=+而34e =，故2222
116()9().x y x y +=+ ①
由点P 在椭圆C 上得 22
1
1127,16x y -= 代入①式并化简得
2
9112,y = 所以点M 的轨迹方程为
47
44),y x =-≤≤轨迹是两条平行于x 轴的线段．
21. (I)解：设点A 的坐标为(
1(,)
x b ，点B 的坐标为
2(,)
x b ，
由2
214x y +=，解得21,2
21x b =±-
所以222121
||2111
2S b x x b b b b =-=-≤+-=
当且仅当
2
b =
时，．S 取到最大值1．
（Ⅱ）解：由22
1
4y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得
222(41)8440k x kbx b +++-= 2216(41)k b ∆=-+ ①
｜AB
22
22
122
16(41)
1||12
41
k b
k x x k
k
-+
+-=+=
+②
又因为O到AB的距离
2
2
1
||
1
S
d
AB
k
===
+所以221
b k
=+③
③代入②并整理，得
42
4410 k k
-+=
解得，
22
13
,
22
k b
==
，代入①式检验，△＞0
故直线AB的方程是
26
y x
=+
或
26
y x
=-
或
26
y x
=-+
或
26
y x
=--
．
又因为BC 的长等于点(0)m ，到直线l
的距离，即
BC =
所以
2
2
2
22210(1)11
AC AB BC m m m =+=--+=-++．
所以当1m =-时，AC 边最长，（这时12640∆=-+>） 此时AB 所在直线的方程为1y x =-．。