2 2 2
例 5 求证以 M 1 ( 4,3,1) 、 M 2 ( 7,1,2) 、 M 3 ( 5,2,3) 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.
解 M1 M 2 (7 4)2 (1 3)2 (2 1)2 14,
2
M 2 M 3 (5 7)2 (2 1)2 (3 2)2 6,
N C A1 M C1 B1
A
B
解答; ⑴∵CA=CB=1,∠BCA=90,又AA1=2,N是其 中点。 ∴AB= 2 ,AN=1 ∴BN= 3 ⑵将 BA 与CB 平移后相交后即可以求解 ⑶同理，将C1M投射到地面为CM1,则所求角 额为A1B与CM1的夹角。显然为直角
M
1
2
1
2
例题：
• 例8正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a,高 为 ，求AC1与侧面ABB1A1所成的角
y
B1 P(x,y) 1
O
B(x2,y2)
结论1:一个向量的坐标 等于表示此向量的有 向线段终点的坐标减 去始点的坐标。
a
b
x
A (x1,y1) A 1
j
i 1
夹角、
cos a, b a b | a ||b |
a1b1 a2b2 a3b3 a1 a2 a3 b1 b2 b3
a b a1b1 a2b2 a3b3 0;
问 1 :设 a AB, a 的坐标与 A、B的坐标有何关系? 若 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), 则 AB ( x x , y y ) 2 1 2 1
问2:什么时候向量的坐标和点的坐标统一起来？ 问3:相等向量的坐标有什么关系？
y B(-1,3))
4 3
C(3,4)
2
A(-2,1)
-6 -4 -2
D(x,y)
1
O
-1 -2
2
4
6
x
-3
-4
例4：已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标 分别是（- 2，1）、（- 1，3）、（3，4），求 y 顶点D的坐标. 解：设顶点D的坐标为（x, y) C
AB (1 (2),3 1) (1,2)
数学与信息学院 2007080140216
简岳
知识结构框架图及分析
平面向量与平 面直角坐标系
平面向量的 坐标表示 平面向量直 角坐标运算
平面向量坐标运算
类比结论
空间向量坐标运算
类比方法
二元
平面图形
模仿公式应用
应用公式 类比方法
模仿公式应用
应用公式
三元
空间图形
向量的直角坐标运算
a b (a1b1 , a2 b2 , a3 b3 );
2
M 3 M1
2
(4 5)2 (3 2)2 (1 3)2 6,
原结论成立.
M 2 M 3 M 3 M1 ,
例 6 设 P 在 x 轴上，它到 P1 ( 0, 2 ,3) 的距离为 到点 P2 ( 0,1,1) 的距离的两倍，求点 P 的坐标.
解 因为 P 在x 轴上， 设P点坐标为 ( x ,0,0),
B D x A DC (3 x,4 y) O 有AB DC得：（ ， 3-x, 4 y) 1 2）（
x 2 1 3 x 2 4 y y 2 顶点D的坐标是（， 22 ）
空间两点间的距离公式、
在空间直角坐标系中， 已知A( x1 , y1 , z1 ), B ( x2 , y2 , z 2 ),则 | AB | AB AB ( x2 x1 ) ( y2 y1 ) ( z 2 z1 ) ;
2 2 2 2 2 2
;
a b a1b1 a2b2 a3b3 ;
| a | a a a1 a2 a3
2 2 2 2
| b | b b b b2 b3
2 2 1 2
2
解： b (2,1) (3,4) (1,5) a a b (2,1) (3,4) (5, 3)
1
1
1
2
2
3 a 4 b 3(2,1) 4( 3, 4) (6, 3) ( 12,16) ( 6,19)
例2：已知 a (2,1), b ( 3, 4), 求a b, a b, 3a 4b 的坐标.
例3：已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C 的坐标分别为（-2，1）、（-1，3）、（3，4）， 求顶点D的坐标。
C1 z
A1 C O A x
B1
B y
• • • • • • • • •
解:建立如图示的直角坐标系,则 A( ,0,0),B(0, ,0) A1( ,0,). C(- ,0, ) 设面ABB1A1的法向量为n=(x,y,z) a 3 AB ( , a,0), AA (0,0, 2a) 由 得 2 2 a 3 x 3 y x ay 0 0 2 2 ，解得 z 0 ， 2az 0 取y= 3 ,得n=(3, 3 ,0) 而 AC (a,0, 2a) | 3a 0 0 | 3a 1 sin | cos n, AC | ∴ 2 3 3a 2 9 3 0 a 0 2a ∴ 30.
设a (a1, a2 , a3 ),b (b1 , b2 , b3 )则
a b (a1b1 , a2 b2 , a3 b3 );
a (a1 , a2 , a3 ), ( R);
a b a1b1 a2b2 a3b3 ;
a // b a1 b1, a2 b2 , a3 b3 ; ( R);
PP1 x 2 2 2 32 x 2
2
x 2 2,
PP1 2 PP2 , x 2 11 2 x 2 2
x 1,
所求点为 (1,0,0), ( 1,0,0).
例题7：
如图：直三棱柱ABC A1 B1C1 , 底面ABC中， CA＝CB＝1，BCA＝90o，棱AA1＝2，M、 N分别为A1B1、AA1的中点， 1)求BN的长； 2)求 cos BA1 , CB1 的值； 3)求证：A1B C1M。