例2 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是BB1、 D1 B1的中點，求證：EF⊥ DA1
例3 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是BB1、 CD的中點，求證：D1F⊥ 平面ADE
例4 如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，已知
B1E1
D1F1
1 4
AB
，與BE1與DF1所成的角的余弦值。
BC=1，AA1=√6，M是棱CC1的中點，
求證：A1B⊥AM
C1
B1
A1
M
C
B
A
3、在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別
是DD1，DB中點，G在棱CD上，CD=4CG，H是C1G的
中點，
z
(1) 求證：EF⊥B1C ；
D1
C1
A1 E
B1 H
D
G
C y
F
A
B
x
3、在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別
| a| | b |
a12 a22 a32 b12 b22 b32
(2) 空間兩點間的距離公式 在空間直角坐標系中，已知A(x1 , y1 , z1),
B(x2 , y2 , z2)，則
AB (x2 x1, y2 y1, z2 z1)
| AB | AB AB (x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
是DD1，DB中點，G在棱CD上，CD=4CG，H是C1G的
中點，
z
(2) 求EF與C1G所成的角的余弦； D1
C1
(3) 求FH的長。A1 EB1 H NhomakorabeaD
G
C y
F
A
B
x
(09廣東理)已知正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為2，點E
是正方形BCC1B1的中心，點F、G分別是棱 C1D1, AA1的
1、在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是BB1、
D1B的中點，求證：EF⊥ DA1
D1 A1
F
C1
B1
D A
E
C B
練習
1、在正方體ABCD-A1B1C1D1中， 求證：DB1⊥ 平面ACD1
D1 A1
AD
C1 B1
C B
2、在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90º， ∠BAC=30º，
d( A,B) (x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
2、兩個的向量夾角公式
a b|
a|
|
b|
cos
a, b
cos
a,
b
|
a a|
b |b |
a1b1 a2b2 a3b3
a12 a22 a32 b12 b22 b32
例1 已知A(3,3,1),B(1,0,5) ，求： (1) 線段AB的中點坐標和長度； (2) 到A、B兩點距離相等的點P(x , y , z)的坐標 x , y , z滿足的條件。
O
y
uFuGuur1 0 ,1，1，FE 1 ,1，1，
uFuEuur1 uuu0r ,1，1， uuuur uuuur
x
FG1 FE 0 1 1 0, FG1 FE1 0 1 1 0
FG1 FE,FG1 FE1
又FE I FE1 F
FG1 面FEE1
(09廣東理)已知正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為2，點E
學習目標
1、掌握兩點間的距離公式和空間向量的夾角 公式；
2、能利用向量法證明線線垂直和線面垂直問 題；
3、能利用向量法求兩異面直線所成角。
1、距離公式
(1) 向量的長度(模)公式
設
a
(a1,
a2
,
a3
),
b
(b1
,
b2
,
b3
)，則
|
a|2
a
a
a12
a22
a32
| b |2 b b b12 b22 b32
中 (2)點證．明設：點直E線1,FGG1分1⊥別平是面點FEE,EG1在；平面DCC1D1z內的F正投影
(3)求異面直線E1uGuur1與EuuAur所成uu角uur的正弦值.
(2)证明：分别以 DA 、 DC 、 DD1 为单位 正交基底建立空间直角坐标系Oxyz ，则 G
G1
E1 E
G1u(u0uur,0,1),F 0,1, 2uu,urE1(0, 2,1),E 1, 2,1
是正方形BCC1B1的中心，點F、G分別是棱 C1D1, AA1的
中 (2)點證．明設：點直E線1,FGG1分1⊥別平是面點FEE,EG1在；平面DCC1D1z內的F正投影
(3)求異uuu面ur直線E1G1與uuEurA所成角的正弦值.
(3)u解uuu：rE1uGuu1r 0 ,2，0，EA 1 ,2，1，
G1
Eu1uGuu1r EA 0uuu1r 22 01 4 , G
E1 E
| E1G1 | 2 , | EA| u6uuu.r uuur
O
y
cos
uuuur E1G1
,
uuur EA
|
uuEu1uGr1 EuAuur E1G1 | | EA |
4 2
6
6 3
.
x
uuuur uuur sin E1G1 , EA
1 ( 6 )2 3
3 3
因此，E1G1与EA所成角的正弦值是
3 3
.
課堂小結
1、基本知識： (1) 向量的長度公式與兩點間的距離公式； (2) 向量的夾角公式。
2、思想方法：用向量坐標法計算或證明幾何問題 (1) 建立直角坐標系；
(2) 把點、向量坐標化； (3) 對向量計算或證明。